Разрывные предельные циклы

Но тогда при R ф I и Y О одновременно точечное отображение сжимающее, и согласно теореме Брауэра [121 на полупрямой > О, дг = О существует единственная неподвижная точка точечного отображения Т ,. Это и доказывает, что в системе всегда существует единственный разрывный предельный цикл (разрывный — в силу гипотезы о мгновенном ударе частицы об электроды конденсатора). [c.187]

Так как на кривой медленных движений, получающейся из (58) при 1=0, направление движения изображающих точек определяется уравнением ф = со, то очевидно, что на плоскости ф, со имеется единственный устойчивый разрывный предельный цикл а, Ь, с, d, описывающий разрывное автоколебательное движение колодки. Участок ей автоколебательного движения соответствует равномерному вращению колодки. При повороте колодки возрастает момент сил упругости пружин. Когда момент упругой силы становится равным максимальному моменту силы трения колодки о вал (в точке d на рис. 23). происходит скачкообразное изменение скорости колодки при неизменном растяжении пружин и т. д. [c.190]

Докажем при сделанных предположениях относительно системы уравнений (10.15а), что в достаточно малой окрестности разрывного предельного цикла Со (эта окрестность может быть выбрана сколь угодно малой) лежит единственный и устойчивый предельный цикл системы (10. 15а), если только положительный параметр [А достаточно мал. Иначе говоря, докажем, что каждый разрывный предельный цикл является предельным положением только одного и притом устойчивого предельного цикла системы (10.15а) при i,- 4-О [60] ). [c.764]

Прежде всего выделим на плоскости х, у некоторую ограниченную односвязную замкнутую область D, которая содержит внутри себя разрывный предельный цикл Со и в которой фуикции F x, у), 0(х, у) и их производные (до нужного нам порядка) непрерывны и, следовательно, ограничены. Ниже мы будем полагать х выбранным настолько малым, чтобы строящаяся нами область (е) лежала целиком внутри области D. [c.764]

Эта теорема для частного вида уравнений (10.15а) (для G x, v) = x, y) = G(x) — у) доказана в [196]. a) Заметим, что линия F(x, y) = - - / G лежит слева от участков медленных движений А В/, разрывного предельного цикла Со, а линия F(x, у) = - Gff, — справа от них, так как на участках F (х, у) = 0 [c.764]

Доказанная теорема, очевидно, позволяет использовать разрывный предельный цикл системы [c.771]

При боле е детальном рассмотрении [93, 94, 158, 159] хода фазовых траекторий системы (10.15а) вблизи разрывного предельного цикла можно получить асимптотические разложения уравнения предельного цикла, периода автоколебаний и т. д. В частности, для периода автоколебаний получается выражение вида [c.771]

К которой, как нетрудно убедиться хотя бы путем построения лестниц Ламерея , сходятся все последовательности точек пересечения траекторий системы с полупрямыми Г1 и Г соответственно в фазовом пространстве существует единственный и устойчивый разрывный предельный цикл, к которому приближаются (при —-[-сх)) все остальные траектории. Таким образом, при — 1 (при в мультивибраторе устанавливаются одни и те же периодические разрывные колебания (разрывные автоколебания) при любых начальных условиях, т. е. имеет место мягкий -режим установления разрывных автоколебаний. [c.884]

Скорость изменения параметра а должна быть настолько малой, чтобы в каждый момент времени режим работы мультивибратора мало отличался от стационарных режимов при соответствующем постоянном значении а, т. е. чтобы изображающая точка оставалась вблизи устойчивого состояния равновесия или устойчивого разрывного предельного цикла, несмотря на изменение параметра о. [c.885]

Разрывные предельные циклы [c.251]

Это уравнение уже учитывает существование встречных волн в среде с дисперсией. При У < Уо это уравнение Ван-дер-Поля, имеющее единственный предельный цикл, который и соответствует автоколебаниям в виде периодических стационарных волн. Видно, что при /3(Уо — У )/7 1 эти волны будут релаксационными (на фазовой плоскости разрывный цикл). При слабой дисперсии (/3 0) это условие выполнено при всех У < Уд , т. е. релаксационными будут и медленные (короткие), и быстрые (длинные) волны ((Уд = (2тг/Л) , [c.445]

В системе всегда существует только одна замкнутая траектория — устойчивый разрывный предельный цикл Рассмотрим точечное отображение точек полупрямой у > О, Аг = О в себя, осуществляемое траекториями системы уравнений (41)—(43) Пусть отобрамсение начальной точки в конечную, т е точки а в точку а, осуществляется по траектории ab da (рис 19) Тогда отображение точки а в точку а можно представить в виде произведения промежуточных отображений, так что [c.187]

Замкнутая разрывная кривая ab da является устойчивым (разрывным) предельным циклом, который соответствует периодическим автоколебаниям колебательной системы (балансира, маятника) часов. [c.211]

Рассмотренные выше траектории и являются математическими образами разрывных колебаний, к которым близки колебания в изучаемых системах при достаточно малых значеьшях паразитных параметров. Среди этих траекторий возможны и замкнутые траектории — разрывные предельные циклы, которые, очевидно, соответствуют периодическим разрывным колебаниям разрывным автоколебаниям). [c.756]

На рис. 523 изображено разбиение фазовой плоскости на траектории для случая жесткого режима возбуждения разрывных автоколебаний, когда на фазовой плоскости наряду с (устойчивым) разрывным предельным циклом АБВГА имеется еще и устойчивое состояние равновесия (на участке линии медленных движений). Замкнутая линия абвга является неустойчивым предельным циклом и делит фазовую плоскость на области притяжения состояния равновесия и предельного цикла АБВГА. Именно, в системе установится состояние равновесия, если изображающая точка находилась в начальный момент времени в области, лежащей внутри кривой абвга если же в начальный момент времени изображающая точка находилась вне этой области, то она придет на разрывный предельный цикл АБВГА, т. е. в системе установятся разрывные автоколебания. [c.762]

Для примера на рис. 524 изображен разрывный предельный цикл АуВуА В А В Ау, для которого 0(х, у) 0 (т. е. j/j>0) на участке медленного движения АуВу, Р(х, у) 0 (т. е. "Р [c.763]

Первый этап доказательства сформулированной теоремы, существенной для теории разрывных колебаний в системах второго порядка, будет состоять, как и в 5 гл. VIII, в построении по заданному достаточно малому j- 0 замкнутой двусвязной области (s) со следующими свойствами 1) в области (г) нет состояний равновесия системы (10.15а) 2) разрывный предельный цикл Q лем<ит внутри этой области, причем область (s) стягивается к С,, при (х -[- О, и 3) траектории системы (10.15а) при заданном значении параметра J. входят (при возрастании t) в область (s). Очевидно, эта область (согласно теореме V 2 гл. VI) будет содержать внутри себя по крайней мере один устойчивый предельный цикл системы уравнений (10. 15а) при заданном значении параметра х. [c.764]

Построив указанным способом гранищл области (в) около каждого из участков разрывного предельного цикла С , мы получим двусвязную область (е), которая содержит внутри себя разрывный предельный цикл, лежит в некоторой его О ( (/ Г) - окрестности и в которую фазовые траектории системы (10.15а) входят при возрастании времени t (для примера область (е) построена на рис. 524). При-достаточно малых л эта область не будет содержать и состояний равновесия системы (10.15а), т. е. таких точек, в которых одновременно Р х,у) = 0 и 0(лг,з ) —О, поскольку таких точек нет на разрывном предельном цикле, а функции Р х,у) и 0 х,у ) суть функции непрерывные. Тогда (при достаточно малых л) построенная область (е) будет содержать внутри себя по крайней мере один устойчивый предельный цикл системы (10.15а). [c.768]

Поэтому движение изображающей точки (начинающееся для определенности из точки а) носит следующий характер (рис. 551) начав двигаться из точки а, изображающая точка придет по фазовой линии Л 1 1 в точку 71, откуда, скачком перейдет в точку Вх на фазовой линии Л . Далее, двигаясь по линии ЛдУз, она снова попадет на кривую Г в точке откуда произойдет скачок в точку В.2, далее движение по фазовой линии до точки 71 и т д. Таким образом, в схеме устанавливаются периодические разрывные колебания переменных х и у т. е. анодных токов ламп и напряжений на сопротивлениях Я), соответствующие разрывному предельному циклу В у В ух Вр состоящему из двух траекторий медленного движения Вху и В у и двух скачков Вх и уа 5. . [c.799]

Предельное (при л->--[ 0) разбиение фазовой поверхности Ф на траектории, к которому близко разбиение этой поверхности при j. l, т. е. при С]< С, для случая самовозбуждающейся схемы приведено на рис. 552. Очевидно, при любых начальных условиях в схеме устанавливаются разрывные автоколебания, отображаемые на фазовой поверхности предельным циклом абвга (его проекцией на плоскость х,у и являлся разрывный предельный цикл [c.804]

Рис. 597. Фотографии разрывного предельного цикла (на плоскости i, и ). I — траектории медленных движений 2 — траектории полубыстрых движений 3—траектории быстрых движений.

Если существует разрывный предельный цикл при д —> О, то в достаточно малой его окрестности (тем меньшей, чем меньше ц) лежит единственный и притом устойчивый предельный цикл системы (13.1), если только параметр ц достаточно мал. Доказательство этого утверждения, а также более полное изложение теории разрьшных колебаний можно найти в работах [3, 17]. [c.252]

Построение кривой (П.89) и анализ знаков производной (П.90) приводит к фазовым пор третам, представленным на рис.П.98—П.100. При к>1 (см. рис. П. 100) имеется разрывны" предельный цикл AB D, которому отвечают разрывные автоколебания. [c.381]

Подпространство /"=0 есть линия Х= F. Jiy—v)/k (см. рис. П.101 и П. 102). Рис. П.101 составлен для неустойчивого положения равновесия, и в этом случае существует разрывный предельный цикл AB D, а рис. П. 102 соответствует случаю устойчивого положения равновесия. Здесь предельные циклы (и автоколебания груза) невозможны. Точкой О, обозначено положение равновесия. Участки F и F отределяются по знаку произвоцн й dF/ду = -F . Для F > О получается участок F, а для < О - участок F . На рис. П.101 и П.102 участки F заштрихованы. Направление движения изображающей точки по участку F определяется по равенству х = у. [c.382]

Построение графика эквивалентного коэффициента усиления Wn a, if), N) представляет собой сложную задачу, так как комплексная функция Wsia, ij), N) является разрывной функцией трех изменяющихся параметров а, if и N 0 а а акс — при ограниченном числе ступеней характеристики f[a] —oi)iv/2sgil3 (D,Y/2 N 2, так как период Л =2 соответствует наибольшей частоте возможного предельного цикла. [c.231]

В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода п распределение дискретно и представляет собой сумму б-функций в неподвижных точках с коэффициентом 1/п. Для хаотического движения распределение Р (х) может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по л с ненулевым Р (х). [c.444]

В книге [2] дано первое систематическое изложение основ качественной теории дифференциальных уравнений иа плоскости теория автоколебаний предельных циклов), разрывных (релаксационных) колебаний, и разобраны иногочисленные приложения к физике и технике. [c.141]

Этот предельный цикл и является математическим образом разрывных автоколебаний мультивибратора, при которых медленные движения (с конечными скоростями изменения сеточного напряжения и или д ) периодически чередуются с быстры- д ми , скачкообразными (сх-усо при [X 0). Можно показать, что при малых х на фазовой плоскости также существует предельный цикл (рис. 530), близкий к циклу АВА В А, т. е. стягивающийся к нему при X О (см. предыдущий параграф). Осцилло- -х граммы колебаний переменных лг и у, соответствующих фазовой траектории, начинающейся в точке Ад (рис. 529, б), качественно изображены на рис. 531 колебания переменной х, т. е. сеточного напряжения и, носят разрывный характер колебания переменной у, т. е. напряжения V на конденсаторе С, непрерывны Рис. 531. [c.777]

Так как на траекториях медленных изменений состояний и F нет состояний равновесия и изображающая точка движется по ним соответственно к точкам В и D, из которых начинаются скачки силы тока, то при любых начальных условиях в схеме устанавливаются разрывные (релаксационные) автоколебания, которым на фазовой плоскости соответствует предельный цикл AB DA (рис. 542) и при которых колебания силы тока г носят разрывный характер, а колебания напряжения и имеют пилообразную форму (рис. 543). Мы не будем вычислять амплитуд и периода автоколебаний, так как они, очевидно, будут выражаться формулами, полученными в 6 гл. IV. [c.789]

Таким образом, мы приходим к выводу, что на фазовой плоскости существует предельный цикл AB DA, в который переходят все траектории системы. Соответственно в схеме при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания, при которых в отличие от схемы с неоновой лампой разрывный характер имеют колебания напряжения и, а колебания силы тока i имеют пилообразную форму (рис. 547) ). Наибольшие размахи колебаний силы тока и напряжения, очевидно, равны соответственно /д — [c.792]

Следовательно, с прямой х = 4 1 изображающая точка перескакивает по траектории скачка = onst в точку прямой х = — 2k—1), и наоборот, с прямой х = —1—на прямую x = 2k—1. После скачка изображающая точка движется, дальше снова по фазовой траектории медленного движения, пока снова не придет на прямую x = it l. и т. д. Таким путем из кусков фазовых траекторий медленных движений и скачков составляются фазовые траектории (точнее, положительные полутраектории) мультивибратора, отображающие его разрывные колебания (рис. 557 и 558). Покажем, что эти траектории,асимптотически приближаются (при i-> -j-оо) к устойчивому предельному циклу. [c.811]

Смотреть страницы где упоминается термин Разрывные предельные циклы : [c.762] [c.762] [c.767] [c.767] [c.771] [c.771] [c.866] [c.886] [c.888] [c.252] [c.380] [c.382] [c.230] [c.234] [c.268] [c.189] [c.391] [c.391] [c.557] [c.784]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...