Локальная топологическая структура

Вопрос о характере зависимости движений с кратными ударами от параметров остается открытым. Данная проблема относится к так называемым С-бифуркациям [44]. В [41-44] рассмотрены некоторые случаи поведения неподвижной точки отображения (16) при изменении параметра /i в предположении, что для значений /i < О такая точка существует в области С , а при /i = О она попадает на поверхность 0(х) = 0. Полученные результаты вывести ряд необходимых условий структурной устойчивости, т. е. сохранения локальной топологической структуры фазового портрета при достаточно малых /i > 0. [c.250]

Локальная топологическая структура. Мы ужо касались в п. 14 1 и в и. 2 3 вопроса о характере разбиения на траектории в малом . Здесь мы остановимся на этом вопросе подробнее и введем естественно напрашивающееся понятие локальной топологической структуры. [c.131]

Локальная топологическая структура может существовать также в точке, являющейся состоянием равновесия. Нетрудно показать, что это имеет место во всех примерах, рассмотренных в п. 14 1. [c.132]

Если в точке, являющейся состоянием равновесия, существует локальная топологическая структура, то мы будем называть ее топологической структурой состояния равновесия. [c.132]

В настоящей книге в основном рассматриваются динамические системы, имеющие локальную топологическую структуру во всех точках. Так как в точках, отличных от состояний равновесия, локальная топологическая структура всегда существует, причем одна н та же, то, очевидно, системами, имеющими локальную топологическую структуру, являются системы, у которых состояния равновесия имеют локальную топологическую структуру. [c.132]

Достаточно рассмотреть плоское изображение, так как нас интересует только локальная топологическая структура. Проведем направленные пунктирные линии сил ( нити ), проходящие через всю структуру в направлении стрелок в каждой молекуле. Для каждого атома кислорода такая линия может иметь одно из двух направлений. Б образце, содержащем N молекул, при заданной конфигурации Бернала — Фаулера существует 2 таких направленных линий. Если Wp—полное число конфигураций Бернала — Фаулера, то полное число направленных линий есть [c.319]

До сих пор мы говорили о глобальных свойствах векторных полей на многообразиях. Можно анализировать локальное топологическое поведение траекторий векторных полей. Для векторных полей из некоторого открытого плотного подмножества в пространстве Х М) можно описать поведение траекторий в окрестности каждой точки многообразия. Кроме того, локальная структура траекторий не меняется при малых возмущениях поля (так называемая локальная грубость). Таким образом, получается полная классификация через топологическую сопряженность. [c.146]

Из замечания 1, очевидно, следует, что в случае конечного числа особых траекторий всякое состояние равновесия имеет определенную топологическую структуру в смысле определения, данного в 5, и что локальная схема описывает топологическую структуру состояния равновесия. При этом очевидно (см. лемму 7 18), что когда схемы двух состояний равновесия различны, то различны и их топологические структуры. [c.356]

Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы. Внося точный смысл в интуитивно ясное понятие качественной. (топологической) структуры состояния равновесия, прежде всего нужно отчетливо сформулировать различие между собственной, или локальной, окрестностью состояния равновесия и областью, которая уже не является собственной окрестностью состояния равновесия. На рис. 30, а область внутри окружности, содержащая одно только состояние равновесия, очевидно, не является его собственной окрестностью, в то время как на рис. 30, б соответствующая область является собственной окрестностью состояния равновесия. [c.57]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Данный вывод можно считать положительным, так как имеется возможность выбора произвольного порядка формирования главной матрицы МГЭ - вектора начальных параметров X. Это значит, что для данной стержневой системы существует множество вариантов топологической матрицы С, матриц Л и Б. В этой связи возникает проблема оптимального построения матриц X и С, которая сводится к проблеме рационального обхода узлов. Если в МКЭ направление обхода узлов существенно влияет на ширину ленты матрицы коэффициентов и связанную с этим трудоемкость решения задачи [258], то в МГЭ направление обхода узлов (ориентированный граф) влияет на трудоемкость расчета значительно слабее. Связано это с тем, что по МГЭ ориентированный граф незначительно изменяет лишь топологическую матрицу С, а структура матрицы А остается неизменной. Тогда трудоемкость решения различных вариантов уравнения (2.23) будет иметь незначительные отклонения от оптимальной. В отличие от МКЭ, алгоритм МГЭ исключает операции перехода от локальных систем координат к глобальной и наоборот. [c.386]

Сплавы с аморфной структурой привлекают к себе внимание, с одной стороны, как материалы с уникальным комплексом свойств, а с другой — как объект для изучения структуры и свойств неупорядоченных сред. Аморфное состояние — предельный случай термодинамической устойчивости кристаллической решетки металлов [426]. Общее для этих двух крайних состояний (кристаллическое и аморфное) — наличие ближнего порядка. Он является характеристикой топологического (расположение атомов в пространстве независимо от их сорта) и композиционного (распределение атомов различного сорта) упорядочения. Со времени открытия аморфных металлических материалов произошла значительная эволюция представлений о структуре аморфного состояния — от предположения об абсолютной неупорядоченности аморфной структуры до представления о локальной упорядоченности (ближний порядок, микрокристаллическое строение), не идентифицируемой существующими методами структурного анализа. Наконец, установлена масштабная инвариантность аморфных структур в широком диапазоне пространственных масштабов. [c.269]

Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12]

Так как конечномерное гладкое многообразие обладает естественной локально компактной топологией, теория гладких динамических систем естественно использует понятия и результаты топологической динамики. Другая, более глубокая, причина зависимости дифференциальной динамики от топологической состоит в том, что при изучении асимптотического поведения гладких динамических систем часто возникают весьма сложные негладкие явления, которые в других ситуациях были бы отброшены как патологические. В частности, некоторые важные инвариантные множества гладких систем, например аттракторы (см. определение 3.3.1), могут не обладать никакой гладкой структурой, и, следовательно, такие множества должны исследоваться с другой, негладкой, точки зрения. Символическая динамика, область, изучающая специальный класс топологических динамических систем, которые возникают как замкнутые инвариантные подмножества преобразования сдвига в пространстве последовательностей (см. 1.9), является особенно важной в этом отношении. Для дальнейшего рассмотрения связей между топологической и гладкой динамикой мы отсылаем читателя к 2.3. [c.22]

Изучение критических точек функций в конечно- или бесконечномерном пространстве имеет два аспекта 1) локальный — описание типов и устойчивости изолированных критических точек 2) глобальный, называемый иногда теорией Морса, — описание взаимосвязей между глобальными топологическими свойствами пространства и структурой критических точек функций, заданных на этом пространстве. [c.342]

Постройте пример совершенного топологически транзитивного гиперболического множества, которое не обладает локальной структурой произведения. [c.584]

Локально множество N имеет структуру гладкого 2й-мерного многообразия. Однако в целом N может иметь сложное топологическое строение. Характер трудностей можно увидеть на примере двумерного тора, расслоенного иррациональными обмотками. Отображение [c.128]

И все же эти соображения ошибочны. Тому есть две причины. Во-первых, не точна оценка свободной энергии, так как большая часть энергии дислокации связана с атомным беспорядком в ее ядре. Структура этого ядра не зависит от относительного расстояния между дислокациями. Следовательно, нет никаких физических оснований для кооперативной катастрофы . Во-вторых, есть и более фундаментальное замечание. Дело в том, что само понятие дислокации —- нарушенного расположения — предполагает наличие некоторого правильного расположения атомов, нарушенного тем или иным способом. Топологическая характеристика данной дислокации имеет однозначный смысл, лишь если остается еще достаточно большой объем, занятый локально идеальной решеткой, по отношению к которой можно определить наличие разрыва непрерывности. Если же допустить, что почти каждый атом попадает в ядро дислокации, то нельзя определить, где же эта дислокация на самом деле находится. Описание топологического беспорядка на языке математической теории дислокаций имеет смысл, только если дислокации расположены достаточно далеко друг от друга, так что каждую из них можно однозначно идентифицировать. В противном случае локальный беспорядок, возникающий повсюду из-за взаимодействия ядер дислокаций, в принципе невозможно отличить от случайной плотной упаковки. Последняя лучше всего описывается на простом атомном языке (рис. 2.17). [c.73]

Практически, однако, микроскопические параметры жидких смесей редко известны настолько хорошо, чтобы оправдать попытку количественного исследования топологически неупорядоченной структуры из первых принципов. Наблюдаемые на опыте свойства жидких смесей обычно интерпретируют феноменологическим путем, выполняя усреднение по параметрам молекул различных компонентов (см., например, [2.84]). С точки зрения общей теории неупорядоченных систем все попытки такого рода суть варианты приближения среднего поля ( 5.2), в котором мы пренебрегаем локальными корреляциями в распределении молекул. [c.290]

Определение Л И. Мы скажем, что динамическая система (I) имеет в данной точке Р локальную топологическую структуру, если существует содержащая точку Р область iV( удовлетворяющая следующему условию-, каково бы ни было е>0, можно найти область w g и отображение Т такие, что, а) область w содержит точку Р и содержится в U , (Р) б) Т является отождествляющи.н отсбражсние.ч, прп котора.м область Wo отображается на Wq и точка Р отображается сама в себя ). [c.131]

Область t 7o, обладающую указанными в определении свойствами, мы будем называть областью или окрестностью) локсньной топологической структуры. В частности, сели взять достаточно малое ео > О, то окрестность UgQ Р) ТОЧКИ Р (в которой динамическая система имеет локальную топологическую структуру) будет окрестностью локальной топологической структуры точки Р. [c.131]

Прежде, чем переходить к примерам существования и отсутствия локальной топологической структуры, дадим определение тождественности локальных топо.гогических структур. [c.131]

Определение VIII. Пусть Р и Р , — точки динамических систем (Aj) и (Аг) соответственно, в которых эти систе.мы имеют локальные топологические структуры. Систе.мы (A ) и (Ап), а также точки Р и Р2 могут совпадать.) Мы будем говорить, что локальные топологические структуры этих точек одинаковы или тождественны, если какую-нибудь окрестность точки можно отобразить на какую-нибудь окрестность точки Ро, причем так, что P переходит в Ро и траектории отображаются в траектории. [c.131]

Легко видеть, что в данном определении достаточно предполагать существование локальной топологической структуры лишь у одной пз точек (/ 1,/ 2)-Если существует указанное в определении отобранчеппе окрестности одной из них на окрестность другой, то вторая точка автоматически будет иметь локальную топологическую структуру, причем такую же, как первая. Из теоремы 8 3 и из элементарных рассуждений следует, что [c.131]

Приведем геометрический пример отсутствия локальной топологической структуры ). Рассмотрим бесконечную последовательность окружностей уменьшающегося радиуса с центром в точке О. Перенумеруем эти окружности в порядке уменьшения радиуса С . Построим следующее семейство линий пусть между окружностями и Сг, С з и и вообще между окружностями 6 2, 1И 72г (Ь 1, 2,...) —все линии ЯВ.ЯЯЮТСЯ замкнутыми, а между всякими двумя окружностями С2/, С21+1 паходится г предельных циклов, лежащих один внутри другого, и больше ни одной замкнуто траектории. Тогда в точке О локальной топологической структуры в указанном выше смысле но существует. [c.132]

Необходимо еще отметить следующий основной, хотя и весьма элемеи-тарпый факт. Знание локальной топологической структуры во всех [c.132]

Явление перехода от локальной связности полидисперс — ной твердой фазы, характерной для сыпучих материалов, к ее глобальной связности — упругому каркасу [82], получило название структурного (топологического) фазового перехода. При этом возникает связь между топологической структурой взаимораспределенных фаз материала и процессами переноса в фазах. В результате топологии фаз определяет структуру потоков в материале, а интегралы потоков в свою очередь изменяют топологию фаз. [c.51]

Рис. 1. Топологические структуры с разной полной кривизной. Полная кривизна поверхности к, которую можно определить пу-тем чисто локальных измерений, есть топологический инвариант, т. е. вблйчина,- которая остается постоянной при любых локаль- ных деформациях данной структуры. Для сферы й = 4л , для тора к = О, для кренделя с двумя дырками =—4л, (Рисунки для статьи выполнены Л. Фульгони.)

Теорема 72. Если локальная схема двух со (а или 0)-предельных континуумов и Кдвух динамических систем различных или совпадающих) тождественна, то топологическая структура разбиения на траектории всяких двух замкнутых канонических окрестностей этих континуумов тюждестеенна. [c.426]

Полная (глобальная) схема предельного континуума. Напомним прежде всего понятие локальной схемы предельного континуума. Мы говорим (см. 24, и. 3), что задана локальная схема предельного континуума или К , если задано перечисление его траекторий и указано, каким именно континуумом он является ю-, а- или О-иредельным. Из теоремы 72 следует, что локальная схема однозначно определяет топологическую структуру разбиения на траектории замкнутой канонической окрестности континуума Далее (см. лемму 1), локальная [c.442]

В заключение мы рассмотрим класс гиперболических отталкивающих множеств, которые возникают для рациональных отображений сферы Римана ( 17.8). Эти множества называются множествами Жулна и несут в себе большую часть динамической сложности данного отображения. Они подобны универсальному отталкивающему множеству для отображений интервала ( 16.1). Однако топологическая структура этих множеств может существенно отличаться от простой марковской структуры в случае интервала. В частности, эти множества позволяют строить примеры систем, топологически отличных от всех предыдущих примеров, которые локально выглядели либо как канторовские множества, либо как многообразия, либо как их произведения. [c.533]

Фракталами называют самоподобные объекты, инвариантные относительно локальных дилатаций, т.е. объекты, которые при наблюдении при различных увеличениях повторяют один и тот же (самоподобный) рисунок. Фракталы обладают также свойством универсальности. Слово "универсальный" означает "всеобъемлющий", а самоподобный означает подобный сам себе (подобно матрешкам, вложенным друг в друга). Понятия универсальность и самоподобие с развитием синергетики и теории фрактальных структур получили новую жизнь, так как принципы синергетики и фрактальной геометрии объединяют все науки. Универсальность фракталов заключается в том, что они инвариантны к природе объекта - физической, химической, биологической или какой-либо другой. Свойство универсальности фрактальных структуф позволяет использовать фрактальную размерность как единую количественную меру разупорядоченности структуры различной природы. В материаловедении традиционно используется евклидова размерность d, позволяющая описывать точечные дефекты размерностью d=0, отрезки прямых линий - d=l, плоских элементов - d=2, объемных - d=3. Однако, природа изобилует объектами с дробной размерностью, т.е. не отвечающей ни одной из указанных значений. Их структура может быть количественно оценена фрактальной размерностью, которая в силу того, что объект разрежен, всегда больше топологической размерности. [c.77]

В настоящее время принято считать, что все случайные структуры (например, структура стекла, аморфного металла и др.) обладают специфическими топологически устойчивыми линейными дефектами, которые представляют собой род дисклинаций (вращательных дислокаций) и являются собственными антидефектами [106-—109]. У стекловидных материалов сохраняется ближний порядок, т. е. в них имеется непрерывная трехмерная сетка ближних связей, близких по геометрии и по силе к соответствующим связям кристаллических материалов [99]. Поэтому и локальные объемы [c.109]

Казалось бм, сиигулярностп смектической Л-фазы можно по аналогии с нематиками описать с топологической точки зрения. Локально молекулярный порядок в смектике Л описывается директором п и фазовым сдвигом, который указывает положение слоя. Следовательно, пространство смектического Л-параметра порядка представляет собой произведение полусферической оболочки, характерной для нематиков, и другого пространства, описывающего слоистую структуру. Последнее легко представить себе в виде кольца точ ки на кольце будут соответствовать фазе слоев. Ли нейные дефекты, возможные в смектической Л-фазе [c.95]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Определение. Линейной локальной системой над топологическим пространством М называется векторное расслоение над Л1 со слоем С и фиксированной плоской связностью-(то есть с фиксированной локальной тривиализацией этого, расслоения, уважающей структуру С-модуля в слоях, но возможно не продолжающейся до глобальной тривиализацйи этого расслоения). [c.207]

Из сказанного выше следует, что для жидкости статистические функции распределения четырех или большего числа атомов можно с достаточной точностью вычислять с помош ью суперпозиционного приближения высших порядков [типа (2.28)], пользуясь в качестве исходной функции (й) или (1, 2, 3). Так, например, почти коллинеарные конфигурации атомов (до шести атомов в группе ), возникающие в моделях случайных плотно упакованных структур из шаров и спиц [75], можно получить путем свертки упоминавшихся ранее коллинеарных конфигураций из трех атомов (рис. 2.37). Далее, будем называть каноническим делътаэдром выпуклый многогранник с треугольными гранями, составленными из отрезков линий, соединяющих центры геометрических соседей (см., например, [59]). Статистическое распределение таких дель-таэдров представляет собой на самом деле не что иное, как сводку некоторых особых свойств тех же многоатомных функций распределения. Однако разбиение данной случайной плотно упакованной структуры на канонические дельтаэдры не однозначно, т. е. этот способ описания топологически не инвариантен. Соответственно он имеет физическое значение только как демонстрация нерегулярности локального расположения атомов в данной системе. В этом отношении некоторые из оригинальных работ Бернала, посвященные рассматриваемой модели, видимо, заводят нас в тупик. [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...