Гомоклиническая структура

Что можно сказать о виде области притяжения, кроме того, что она полностью исчерпывается областью б (j) при t -> — оо В некоторых случаях она довольно проста и могут быть указаны и приближенно вычислены поверхности, из которых составлена ее граница. Но возможны случаи, когда она необычайно сложна. Соответствующие примеры будут приведены ниже в связи с рассмотрением так называемых гомоклинических структур. А сейчас вернемся к рассмотрению особых точек 0 [c.246]

Отметим еще, что эти исследования точечного отображения TL обнаружили не только случаи превращения фазовой траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия, в периодическое движение, но и более сложные бифуркации, изучение которых примыкает к рассмотрению гомоклинических структур, о чем будет довольно подробно в дальнейшем рассказано. [c.264]

Под гомоклинической структурой понимается некоторое множество седловых периодических движений одного и того же типа и двоякоасимптотических к ним движений 7. . Фазовая траектория у, двоякоасимптотическая в том смысле, что при t — оо она асимптотически приближается к периодическому движению а при [c.314]

Непосредственно ясно, что граф гомоклинической структуры можно предполагать связным и что наибольший интерес представляют гомоклинические структуры, графы которых содержат замкнутые контуры. [c.315]

Уточним теперь определение окрестности рассматриваемой гомоклинической структуры. Эта окрестность, назовем ее б, составлена из окрестностей б ,. .., б седло-вых замкнутых фазовых траекторий Г Гш и окрестностей Ьц отрезков V,/ двоякоасимптотических фазовых траекторий уц. Окрестность б определим как совокупность отрезков фазовых траекторий, начинающихся и кончающихся на секущей поверхности 5, в точках и , и ) и (й, v ), удовлетворяющих условиям [c.321]

Таким образом, вопрос об изучении движений, целиком расположенных в окрестности б гомоклинической структуры, свелся к изучению последовательностей точечных отображений. [c.323]

Теорема 7.4. Для всякой допустимой последовательности (7.80), в которой все отображения Ту повторяются не менее чем п раз, в окрестности б гомоклинической структуры имеется одна и только одна фазовая траектория, отвечающая этой последовательности точечных отображений. [c.324]

Доказанная теорема дает полное описание всех движений, целиком находящихся в достаточно малой окрестности гомоклинической структуры. Совокупность этих движений достаточно сложна. При достаточной малости окрестности б гомоклинической структуры все эти движения седлового типа. Среди них бесчисленное множество пе зио-дических движений, отвечающих всевозможным периодическим последовательностям вида (7.80), асимптотических к этим периодическим, устойчивых по Пуассону непериодических. Несмотря на необычайную сложность этого множества движений оно не изменяет своей структуры при малых гладких возмущениях правых частей дифференциальных уравнений, поскольку его описание с помощью [c.324]

Как уже говорилось, под гомоклинической структурой понимается содержащая циклы совокупность нескольких седловых периодических движений и двоякоасимптотических к ним движений. Гомоклиническая структура в своей окрестности содержит очень сложную совокупность [c.331]

Назовем гомоклиническую структуру поглощающей или устойчивой, если из некоторой ее окрестности фазовые траектории при возрастании времени не могут выходить и все близкие к ней фазовые траектории в нее входят. [c.332]

Приведем примеры динамических систем с притягивающими гомоклиническими структурами. [c.332]

Нетрудно видеть, что каждый из изображенных на рис. 7.73 вариантов поведения инвариантных кривых можно реализовать с помощью подбора соответствующих функций / и g, и что при этом можно предполагать сколь угодную малость добавков vf и vg. При пересечении инвариантных кривых возникает гомоклиническая структура, состоящая [c.334]

Численные эксперименты на ЭВМ по изучению притягивающих гомоклинических структур. Статистические закономерности описанных выше блужданий могут быть получены путем численного эксперимента. [c.341]

Заканчивая описание численных экспериментов притягивающих гомоклинических структур, рассмотрим еще движения, принадлежащие областям <3 , G , , G , соответствующим различным концевым классам сообщающихся состояний. [c.345]

Целью дальнейшего является обнаружение естественности возникновения притягивающих гомоклинических структур у многомерных динамических систем, обычности их как установившихся движений. Этой цели может служить рассмотрение малых неавтономных возмущений двумерной динамической системы. Этот вопрос имеет значительный самостоятельный интерес, так как является простейшей моделью взаимодействия динамических систем. [c.347]

В области между кривыми р = О и = О (рис. 7.124) сепаратрис-ные кривые пересекаются, образуя гомоклиническую структуру. Отображение T jt в этом случае рассматривалось ранее в 4. [c.373]

Проведенное рассмотрение малых неавтономных периодических возмущений автономной системы второго порядка обнаружило естественность появления с переходом от двумерных к многомерным динамическим системам притягивающих гомоклинических структур и, в частности, стохастических синхронизмов. [c.377]

И. Баталова 3. С., Неймарк Ю. И., Об одной динамической системе с гомоклинической структурой. Межвузовский сб.. Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика, вып. 1, Горький, 1973. [c.381]

Г р у 3 д е в В. П., Н е й м а р к Ю. И., Символическое описание движений в окрестности негрубой гомоклинической структуры, Укр. матем. ж. 27, вып. 6 (1975). [c.382]

Гистерезисная петля 17 — 19 Гомоклиническая структура 96 Грубость системы 33 Грубый минимум 61, 219 [c.348]

Рассмотренное выше преобразование (3.7) является простейшим примером, в котором осуществляется такая бесконечная последовательность преобразований в окрестностях седловых неподвижных точек и Оа. Дальнейшее описание гомоклинических структур и их роли в образовании хаотических движений содержится в гл. 4 и 6, а в гл. 7 и 9 приводятся разнообразные примеры их проявления. [c.75]

Схематически гомоклиническую структуру можно представить в виде, показанном на рис. 4.8. Внутри областей В, находятся седловые периодические движения Г,. В их окрестности элементы фазового пространства испытывают растяжения и сжатия. Растяжения происходят вдоль поверхности 5 и сжатия — вдоль поверхности [c.88]

Напомним еще, что простой пример такого движения ужо рассматривался и отмечалось, что именно гомоклиническая структура порождает стохастичность движений системы Лоренца (1.23) (гл. 1). [c.90]

Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениям , с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий — седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепара-трисных кривых уже описывалась. [c.315]

После этих предварительных пояснений перейдем к обш,е-му изучению движений, находящихся в малой окрестности б произвольной гомоклинической структуры. Для этого прибегнем к методу точечных отображений, для чего каждую замкнутую фазовую траекторию Vf в некоторой ее точке Ос пересечем секущей S.. Фазовые траектории, близкие к порождают на секущей Si точечное отображение Г/. В окрестности б точки О,- на секущей 5,- в подходящим обра- [c.316]

Притягивающие гомоклинические структуры и стохастические колебания. Перейдем теперь к описанию возможных общих механизмов самогенерирования стохастичности динамической системой. Они связаны с появлением в фазовом пространстве динамической системы гомоклини-ческих структур, появление которых так же, как и возникновение автоколебаний и многопериодических колебаний, вызвано возникновением в системе неустойчивости [24, 25, 42]. [c.331]

Седловые движения гомоклинической структур)ы могут быть сжимающего или расширяющего типов в зависимости от того, происходит ли уменьшение или увеличение фазового объема в их окрестности. Седловое периодическое движеиие сжимающее, если сумма его характеристических показателей отрицательна, и расширяющее, если эта сумма положительна. [c.332]

Основные отличия многомерных систем проявляются уже при переходе от двумерной системы к трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к трехмерному фазовому пространству. Поведение фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве может быть запутанным и не поддающимся непосредственному восприятию. Поэтому рассмотрение трехмерного фазового пространства во многих случаях следует сводить к двумерному точечному отображению, геометрическое изображение которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на траектории фазовой плоскости. Эти геометрические каргинки могут быть такими же, как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисиых кривых седловых равновесий, образующими голюоинцческце структуры 4, 45]. Эти отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохастический синхронизм —- это автоколебание со стохастически меняющейся фазой. Соответствующая ему фазовая картина изображена на рис, 18. [c.96]

Как показывают конкретные примеры, такое сочетание действительно возможно. Более того, если оно возможно, то теоретически устанавливается, что оно типично, т. е. что такая возможность сохраняется и для всех близких динамических систем, не разрушается малыми изменениями динамической системы. Ответ на вопрос, как такое может быть, основывается на выявлении роли так называемых гомоклинических структур. Гомоклиниче-ские структуры мы рассмотрим в дальнейшем, а нона ограничимся констатацией двух существенно разных вариантов поведения фазовых траекторий [c.44]

Каждый шар, лежащий в 6 , в свою очередь, с ростом времени Ь преобразуется в вытянутый эллипсоид и т. д. В результате первоначально шаровая окрестность бо со временем будет все более и более вытягиваться в направлениях неустойчивости и сжиматься в направлениях устойчивости. Но вытягивающаяся окрестность в силу глобального сжатия должна оставаться в ограниченной области и, следовательно, не может не начать изгибаться и как-то складываться. Для трехмерных гладких динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, единственным механизмом такого вытягивания, изгибания и, укладки является гомоклиническая структура. В гомокли- [c.74]

Исследование гомоклинических структур и выяснение их роли в образовании сложных хаотических и стохастических движений детерминированных динамических систем. Кривые, названные А. Пуанкаре гомоклиническими и гетероклиническими [312], были обнаружены им в ограниченной проблеме трех тел — задаче о движениях трех притягивающихся по закону Ньютона материальных точек в предположениях, что это движение плоское и что одна из масс исчезающе мала и не оказывает влияния на движение двух остальных. (Эта проблема и после Пуанкаре неоднократно привлекала внимание многих исследователей.) [c.86]

В 1967 г. эта сложная картина получила описание [263, 266]. Одновременно было отмечено, что некоторые сочетания гомоклинических и гетерокли-нических кривых могут образовывать структуры, порождающие весьма сложные движения стохастического характера, которые могут представить интерес для описания турбулентности течений жидкостей и газов. Сами эти сложные образования бьши позднее названы гомоклиническими структурами [268]. [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...