Инвариантная кривая

Рассмотрим, как преобразуется в случае пересечения сепаратрисных кривых Sf и Si седловой неподвижной точки О изображенная на рис. 7.65 область Gq. В окрестности седловой точки происходит сжатие по оси и, касательной к сепаратрисной инвариантной кривой 5[, и растяжение вдоль оси V, касательной к кривой Поэтому область G(, перейдет в область G . Затем она преобразуется в область Gi, область G — в Gg и т. д. При этом придем к первой картинке рис. 7,61. Согласно этой картинке, [c.315]

При V = О инвариантные кривые седловой точки идут из седла в седло. При v 9 О в отношении их поведения возможен один из шести представленных на рис. 7.73 случаев. [c.333]

Нетрудно видеть, что каждый из изображенных на рис. 7.73 вариантов поведения инвариантных кривых можно реализовать с помощью подбора соответствующих функций / и g, и что при этом можно предполагать сколь угодную малость добавков vf и vg. При пересечении инвариантных кривых возникает гомоклиническая структура, состоящая [c.334]

Таким образом, разбиение плоскости инвариантными кривыми точечного отображения дает наглядное о нем представление и может быть полезным для его исследования. Во многом оно похоже на разбиение фазовой плоскости на траектории. Однако имеются и существенные отличия. [c.358]

Сформулируем основные свойства разбиения плоскости на инвариантные кривые. Прежде всего заметим, что задание фазовой точки в случае, когда ее движение определяется дифференциальными уравнениями, однозначно определяет проходящую через нее фазовую кривую. Такого положения для инвариантных кривых нет. Задание точки определяет лишь последовательность точек [c.358]

Поэтому приближение гладких инвариантных кривых к устойчивым неподвижным точкам может иметь особенности, не свойственные фазовым кривым состояний равновесия гладких дифференциальных уравнений. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. Введем в окрестностях [c.361]

Помимо этих изменений, у обычного синхронизма возможно нарушение гладкости тороидальной интегральной поверхности. У соответствующего точечного отображения при этом нарушается гладкость вхождения сепаратрисных инвариантных кривых седел в узлы. Причина такого изменения была описана выше. Соответствующее изменение синхронизма видно из рис. 7.1 П. [c.364]

Для простого синхронизма соответствующие фрагменты разбиения плоскости на инвариантные кривые изображены на рис. 7.113 и 7.114. Рис. 7.113 соответствует случаю, когда слияние седел и узлов происходит у обычного синхронизма с гладким тороидальным интегральным многообразием, а на рис. 7.114 — с негладким. [c.366]

Бифуркации в исходном семействе существенно сложнее. Гомеоморфная окружности инвариантная кривая действительно рождается, но не является гладкой. Ограничение диффеоморфизма на нее не обязательно эквивалентно повороту. Число вращения диффеоморфизма на инвариантной кривой зависит от параметра и стремится к со/2л, когда параметр стремится к критическому значению 0. [c.47]

Тогда в локальном семействе (f О, 0) при прохождении е через О (вправо, если Rel (O) Rea<0 и влево при обратном неравенстве) рождается инвариантная кривая, гомеоморфная окружности и обходящая 0. Гладкость этой кривой, вообще говоря, конечна, но стремится к бесконечности при е- 0. [c.47]

Нелокальные бифуркации в однопараметрических семействах диффеоморфизмов. Число вращения диффеоморфизма семейства (4) на его инвариантной кривой меняется с измене- [c.47]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Этот параграф начинается с перечня вырождений, встречающихся в типичных двупараметрических семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и соответствующих изолированным значениям параметров. Бифуркации неподвижных точек с мультипликатором 1 или—1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах во многом напоминают бифуркации особых точек с собственным значением 0. Напротив, бифуркации в случае пары комплексно сопряженных мультипликаторов при дополнительном вырождении в нелинейных членах, наряду с появлением замкнутых инвариантных кривых, приводят к совершенно новым эффектам. [c.52]

Рис. 22. Зоны существования замкнутых инвариантных кривых вблизи линии Г закрашены черным. Зоны, где возмущенное отображение имеет столько же замкнутых инвариантных кривых, сколько и невозмущенное, заштрихованы

Для любой пары (е, а) из разности U W отображение имеет столько же замкнутых инвариантных кривых, сколько и Ne,a эти кривые гладки класса . [c.55]

Эти случаи соответствуют притягивающим гомоклини-ческим структурам, состоящим из двух седловых неподвижных точек с различным образом пересекающимися инвариантными кривыми. Соответствующие им отображения Т, так же как и в предыдущем случае, могут быть гладко распространены на всю плоскость. [c.338]

Сказанное позволяет указать инвариантные кривые точечного отображения, которые не могут самопересекаться,— это продолжения инвариантных кривых неподвижных узловой точки и фокуса, а также сепаратрисных инвариантных кривых седловой неподвижной точки. [c.360]

Перейдем теперь к вопросу о взаимных пересечениях этих инвариантных кривых. Инвариантные кривые, полученные продолжением локальных инвариантных кривых неподвижных точек, стремящихся либо в сторону возрастания времени, либо в сторону его убывания к одной и той же неподвижной точке, не взаимопересекаются. Таким образом, могут пересекаться только инвариантные кривые, имеющие различное асимптотическое поведение, как при возрастании времени, так и при его убывании. [c.360]

Из этого факта следует, что динамическая система, определяемая точечным отображением плоскости в плоскость с простейшими установившимися движениями и некратными неподвижными точками, может быть описана дифференциальными уравнениями второго порядка тогда и только тогда, когда ее сепаратрисные кривые седловых неподвижных точек не взаимопересекаются. Заметим, что требованию некратности можно всегда удовлетворить, заменяя отображение некоторой его степенью. На рис. 7.105 приведены точечные отображения с простейшими установившимися движениями. У одного из них сепаратрисные инвариантные кривые седловых неподвижных точек не пересекаются, и оно может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка, причем без периодических движений. У второго такие пересечения имеются, и оно уже не может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка. [c.360]

Это утверждение, очевидно, обобщается на точечные отображения любой размерности. При этом требование отсутствия взаимных пересечений сепаратрисных инвариантных кривых заменяется требованием непересекаемости всех инвариантных кривых седловых неподвижных точек. [c.361]

СЛИ из одной неподвижной точки 0 идет инвариантная кривая V в другую неподвижную точку Oj, то существуют [c.362]

Теперь рассмотрим, что произойдет при неавтономном возмущении сепаратрисы, идущей из седла в седло. В этом случае следует заменить рассмотрение фазовых траекторий д-ифференциальных уравнений рассмотрением инвариантных кривых точечного отображения плоскости т = О в себя [c.370]

Дюлака формальной заменой, сохраняющей е. Затем отбрасываются члены достаточно высокого порядка по х (выше трех для н ля с мнимой парой и выше пяти для двух мнимых пар). Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. В классе таких семейств изучается версаль-ная деформация факторсистемы, соответствующей ростку е). Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства. [c.27]

Внутри окрестности W существует близкое к Г канторово множество, для каждой точки (е, а) из которого отображение /е,а имеет единственную замкнутую инвариантную кривую. Кроме того, точка (е, а) является вершиной двойной воронки (закрашена черным на рис. 22). Для всех значений (е а ) из левой (правой) половины воронки отображение /е. а- имеет притягивающую (отталкивающую) замкнутую инвариантную кривую. [c.55]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Центральное многообразие этой системы двумерно исследуем его пересечения с плоскостями е = onst. Система (12) получается добавлением уравнения е = 0 к семейству из последних двух уравнений. При е > О уравнение этого семейства имеет две особые точки седло 5g(]/E,0) и узел Ne — OJ, отношение а собственных значений которого равно 1/2]/ е. Пересечение центрального многообразия системы (12) с плоскостью E = onst содержит (гладкую) сепаратрису седла Sg и фазовую кривую, входящую в узел Ne- Через узел Ne проходят (при нецелом а) ровно две гладкие инвариантные кривые соответствующего уравнения остальные фазсвые кривые входят в узел, имея в точке [c.68]

Смотреть страницы где упоминается термин Инвариантная кривая : [c.214] [c.89] [c.261] [c.270] [c.271] [c.333] [c.333] [c.334] [c.338] [c.354] [c.357] [c.358] [c.358] [c.359] [c.359] [c.361] [c.364] [c.48] [c.48] [c.48] [c.51] [c.52] [c.54] [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...