Бифуркационное значение параметра

О С Я, < 1/4 система обладает двумя со- Рис. 2.14. стояниями равновесия устойчивым и не-, устойчивым, а при Я, < О (знак X изменяется при изменении направления одного из токов) — одним устойчивым состоянием равновесия. В точке Q-U, /4) производная ( , Я) == О, поэтому X == V4 есть бифуркационное значение параметра. Для построения фазового портрета рассматриваемой системы напишем интеграл энергии. В безразмерных величинах интеграл энергии имеет вид [c.35]

Из рассмотрения этой табл. 3 легко получить как бифуркационные значения параметров, так и характер изменения стационарных движений генератора при увеличении амплитуды внешнего воздействия. [c.184]

То, что этими случаями исчерпываются все возможности, можно убедиться путем следующего рассуждения. Пусть не имеет место ни один на иих, тогда при бифуркационном значении параметра кривая Г — не точка, расположена в ограниченной области, в ее достаточно малой окрестности net особых точек и поэтому для нее существует секущая S и 1 очечное отображение Т [le только при бифуркационном значении параметра, но и в его малой окрестности. Чего не должно быть. [c.262]

Для решения системы уравнений (15.10), (15.11) можно воспользоваться методом Бубнова — Галеркина, который приводит задачу к решению системы однородных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов Атп, бтп- Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы, находим условие для определения бифуркационных значений параметра нагрузки N. Иногда это условие можно получить непосредственной подстановкой выражений (15.13), (15.14) в уравнения бифуркации (15.10), (15.11). [c.326]

Последовательность бифуркационных значений параметра, соответствующих выходу в комплексную область мультипликаторов цикла периода 2", возникающего в каскаде удвоений, имеет вид e = 6 +0(6 a ), где б — константа Фейгенбаума, а — максимальное сжимающее собственное значение линеаризации оператора удвоения в неподвижной точке G, с — константа, зависящая от семейства. [c.85]

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Теорема . 1. В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на S , г 2, k l, встречается не более счетного множества бифуркационных значений параметра (в окрестности которых семейство топологически перестраивается). При остальных значениях параметра поле грубое. [c.99]

Однопараметрическая деформация соответствующей бифуркационному значению параметра системы, определенная типичным семейством, при значениях параметра, близких к бифуркационному, топологически нереальна и структурно устойчива любая другая деформация топологически эквивалентна индуцированной из данной, любая близкая однопараметрическая деформация топологически эквивалентна данной. [c.100]

Две деформации векторных полей с носителями бифуркации 2i и Ег называются эквивалентными или слабо эквивалентными на носителях, если существуют такие сколь угодно малые окрестности носителей и (зависящие от них) окрестности бифуркационных значений параметров, что ограничения семейств на эти окрестности носителей топологически эквивалентны или слабо эквивалентны над этими окрестностями бифуркационных значений. [c.107]

Для простоты, дальнейшее изложение будем вести на языке однопараметрических семейств динамических систем. Итак, пусть / —поток, зависящий от скалярного параметра. Предположим, что 1) при 0 е<Ё существует аттрактор Ле, для которого существует поглощающая область Be, такая что для любого е < е, int( и Ве)=Ве , 2) е — бифуркационное значение параметра, [c.159]

Бифуркационное значение параметра 5ц = Sg отвечает точке экстремума зависимости s,, = S(,(6 ) 6 = i9 , <9 = /2Е . Бифуркационная ситуация отсутствует, если Ej и одного знака если 2 < О, т. е. < О и , < О, то тепловое поле всюду устойчивое при (9 > 0 при > О и 2 > О неустойчивое при всех в>0. Эти результаты аналогичны линейному случаю [c.110]

Дифференциальные уравнения (7.13.6) совместно с краевыми условиями (7.13.9), (7.13.10) дают формулировку однородной краевой задачи условия существования ее нетривиальных решений определяют бифуркационные значения параметра р наименьшее из них представляет критическое давление. Аналогичные вычисления позволяют сформулировать краевую задачу, относящуюся к разысканию критического наружного давления в случае полого круглого цилиндра. [c.797]

Предельное значение параметра I, при котором якобиан /(д )) меняет знак, является бифуркационным. Бифуркационное значение параметра характеризует верхнюю критическую нагрузку, если в точке х положительный знак перед I(х) меняется на отрицательный. Переход от минуса к плюсу соответствует нижней критической нагрузке.. При /(д )-НЗ равновесие [c.143]

Основным элементом такого исследования является прослеживание фазового портрета и его изменений при непрерывном изменении параметра р. вдоль некоторой кривой в пространстве параметров. Оказывается, что при прохождении некоторых точек на этой кривой происходит качественная перестройка фазового портрета. Такие точки получили название точек бифуркации фазового портрета, а отвечающие им значения параметров — бифуркационных значений параметров. Через одну и ту же точку пространства параметров может проходить много различных кривых и заранее ниоткуда не следует, что изменение фазового портрета не зависит от кривой, по которой меняются параметры. Значит, понятие бифуркации зависит еще и от пространства параметров, т. е. можно обнаружить, расширяя его, новые бифуркации, сужая — какие-то бифуркации потерять. Выяснение того, с каким именно случаем мы имеем дело при исследовании той или иной динамической системы, требует уточнений. [c.99]

Понятие бифуркации и бифуркационного значения параметра будет дано в гл. 10. [c.124]

Мы уже говорили, что (см. 8 гл. 8) Пуанкаре фактически пользовался понятием грубости двумерных консервативных систем (в классе консервативных систем) и рассматривал изменение качественной структуры таких систем при изменении параметра ). Им же введены термины бифуркация , бифуркационное значение параметра , которые использовались впоследствии в [2, 3] (и в настоящей книге) в более широком смысле. [c.164]

Однако для задач из приложений при рассмотрении бифуркаций основной интерес представляет следующий вопрос какова последовательная смена качественных структур при изменении параметров вдоль кривой в пространстве параметров, проходящей через бифуркационное значение параметров и переходящей из одной грубой области в другую [c.184]

V. Рассмотрим случай смены устойчивости фокуса без рождения предельного цикла, когда бифуркационному значению параметра Я = Яо соответствует консервативная система. [c.189]

Здесь X,- — параметры, которые в принятой идеализации соответствуют тем реальным параметрам, которые были учтены при написании дифференциальных уравнений. В случае автоколебательных систем эти уравнения заведомо нелинейны и, кроме того, заведомо неконсервативны. Кроме того, как мы ун е говорили ранее, такие системы, вообще говоря, за исключением некоторых бифуркационных значений параметров, являются грубыми. Реальные автоколебательные режимы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями вида (А ), математически соответствуют устойчивым предельным циклам. Наличие таких предельных циклов в соответствующей системе дифференциальных уравнений является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе. [c.218]

Это интересное для радиотехники (а также для других областей науки) явление жесткого возбуждения колебаний получает здесь на языке состояний равновесия, предельных циклов и бифуркационных значений параметра естественное адекватное объяснение. Значения параметра Я1 и Яо, соответствующие сложному фокусу и двукратному предельному циклу, являются, очевидно, бифуркационными ). [c.224]

С другой стороны, нетрудно показать, что при значениях параметров в области III у системы вокруг неустойчивого фокуса нет предельных циклов. (При переходе из точки, где R= = = О, 2 > О, на часть линии i = О, где L] > О, циклы не рождаются, и в силу сделанных выше замечаний не рождаются при переходе в область III.) Но> тогда при движении в пространстве параметров из области III в область II непременно должны встретиться бифуркационные значения параметров, при которых у системы существует двукратный цикл. На рис. 120 линия в пространстве параметров, соответствующая двукратным предельным циклам, изображена штрихами. Аналогичное рассмотрение может быть проведено и в случае 2 < О (рис. 120,6 и рис. 122, а — в). [c.233]

Поскольку качественная картина траекторий на фазовой плоскости определяется особыми элементами (особыми траекториями), только те значения параметра Я оказываются бифуркционными, при котор(з1х появляются особые элементы, имеющие негрубую природу. В том случае, когда при бифуркационном значении параметра Я на фазовой плоскости появляется только один особый элемент. [c.49]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Комбинация усилий Nij, при которой впервые возможно выпученное состояние равновесия оболочки либо пластинки, отвечает ее бифуркационному состоянию. Сами усилия Иц носят название бифуркационных. Обычно усилия выражены через один параметр нагрузки N, так, что Nii = —pijN. Тогда задача сводится к отысканию одного бифуркационного значения параметра N. [c.325]

Каскад п-кратных увеличений периода. В двупараметрических системах встречаются столь же неустранимым образом каскады утроений, учетверений, упятерений и т. д. В этих случаях знаменатель геометрической прогрессии, определяющей последовательность бифуркационных значений параметров, — комплексное число, так что бифуркационные значения ложатся асимптотически на логарифмическую спираль (в подходящей евклидовой структуре плоскости параметров). Для утроений это число равно (4,600. ..+i8,981 Вычисления показывают, что для каскада бифуркаций с прохождением пары мультипликаторов через резонанс exp(d=2nip/q) универсальный знаменатель приблизительно равен С р, q) q . Тем самым, с ростом кратности увеличения периода события разворачиваются быстрее [57 56, 57, 58]. [c.81]

При изолированных бифуркационных значениях параметра возможны лишь те нелокальные бифуракции, которые перечислены в теореме пункта 2.1. [c.99]

Точки накопления бифуркационных значений параметра являются их односторонними пределами и могут быть лишь следующих двух типов а) в бифуркационный момент, соответствующий точке накопления бифуракционных значений параметра, векторное поле имеет петлю сепаратрисы седла, являющуюся предельной для устойчивой или неустойчивой сепаратрисы другого седла (рис. 35) б) поле имеет цикл с мультипликатором -[-1. предельный для устойчивой и неустойчивой сепаратрис двух разных седел (рис. 32). К этим точкам накапливаются бифуркационные значения, отвечающие векторным полям, имеющим седловые связки. [c.99]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

В других случаях при бифуркационном значении параметра сразу возникает предельный цикл с конечной амплитудой — окесткое зарождение предельного цикла. [c.32]

На рис. 8, б при бифуркационном значении параметра р — Pi появляется полуустойчивый предельный цикл, а при больших значениях параметра существуют два предельных цикла — неустойчивый и устойчивый. При другом бифуркационном значении параметра р = рз неустойчивый предельный цикл стягивается в особую точку, которая становится неустойчивой. Если р > Pi, то амплитуда, соответствующая устойчивому предельному циклу, тем больше, чем больше значение р. [c.32]

Переменные R, О разделяются также в линейных краевых условиях (7.13.9), (7.13.10) подставив в них найденные значения an R), bn R), придем к системе четырех однородных линейных уравнений для постоянных Ап, Вп, Сп, Dn- Приравняв нулю ее определитель, придем к уравнению, определяющему бифуркационные значения параметра р. Последний войдет в это уравнение также и через выражение функции g R), определяемой по (7.13.7), (7.13.4), причем постоянная С нелинейно связана с р соотношением (7.3.10). Критическое давление является минимальным бифуркационным значением р, определяемым надлежащим выбором числа узлов п искомой формы равновесия при заданном отношении RiIRq. [c.798]

Пусть /—установившееся движение, т. е. состояние равповесия, периодическое или стохастическое движение, точнее, пе само движение, а его геометрический образ в фазовом пространстве. Установившееся движение / имеет область притяжения П(/), внутри которой находится /. При непрерывном изменении параметра (х динамической системы меняется как установившееся движение, так и его область притяжения П(7). Возможны два различных случая первый — когда при бифуркационном значении параметра [х = ц существуют сколь угодно малые е-ок-рестности /, которые со временем преобразуются строга внутрь себя, и второй — когда таких окрестностей нет, и любая достаточно малая е-окрестпость / преобразуется в область, у которой есть точки, лежащие вне этой е-окрестности. При этом отброшена возможность граничного случая, когда существуют сколь угодно малые окрестности /, преобразующиеся в себя. Первый случай соответствует мягкому режиму смены установившегося движения, второй — жесткому. В первом случае вновь возникающее установившееся движение отделяется от прежнего установившегося движения /, а его область притяжения непрерывно возникает из области притяжения прежнего установившегося движения /. Во втором случае, напротив, прежнее установившееся движение / теряет устойчивость или исчезает, и фазовые точки из его окрестности с ростом времени переходят к новому установившемуся движению, которое, как правило, существовало и до рассматриваемой бифуркации установившегося [c.166]

Рассмотренный случай интересен еще и тем, что предельное множество бифуркационных поверхностей содержит многообразие коразмерности единица, и это делает достаточно естественным и частым пересечение с ней одномерных кривых, отвечающих изменению какого-нибудь одного скалярного нараметра динамической системы, т. е. в пространстве параметров динамической системы рассматриваемой серии бифуркаций отвечает поверхность коразмерности 1. Теперь уже довольно очевидно, что для последовательности бифуркационных значений параметра, отвечающих пересечениям с поверхностями (2.18), [c.177]

Полученные границы имеют, по нашему мнению, весьма существенный практический интерес. Близость оптимальных и скользящих режимов, доказанная в работе [Л. 13] В. В. Петровым и Г. М. Улановым, позволяет заключить, что наилучшие с практической точки зрения переходные процессы можно получить, выбирая параметры вблизи границ С2 и Сз прострапства параметров. Ввиду того что выше была обоснована нежелательность трехзонных типов установившихся движений, можно еще конкретнее очертить область, где находятся рациональные с практической точки зрения параметры. Эта область расположена выше границы Гз вблизи точки пересечения ее с границей Сг. В этой области автоколебания будут двухзонного типа, а переходный процесс близок к оптимальному. Отметим, что при реализации системы не следует выбирать параметры системы очень близко от границ типа Г, так как эти границы соответствуют бифуркационным значениям параметров и вблизи них систему нельзя считать грубой . Тем не менее наилучшие результаты с точки зрения переходного процесса получаются в районе точки Л о на рис. 55,а, несколько выше ее, чтобы не получился трехзонный предельный цикл. [c.143]

Структура разбиения фазового пространства на траектории зависит от параметров рх, р2,. . Рт и тем самым пространство параметров Р1, р2,. . Рт разбивается на области, соответствующие различным разбиениям фазового пространства на траектории. Границы этих областей соответствуют бифуркационным значениям параметров, т. е. значениям параметров, при переходе через которые возможно какое-то изменение структуры разбиения фазового пространства на траектории. Под структурой пространства параметров понимается топологичесйая структура его разбиения на области, соответствующие различным структурам фазового пространства. [c.139]

В первых двух параграфах настоящей статьи изложен взгляд на состояние дел в инфинитезимальной теории установившихся гравитационных волн. Обсуждение этой теории началось еще в XIX веке. Однака ее первый результат был получен только в 1921 г.— это знаменитая теорема Некрасова. С тех пор прошло почти 50 лет. Мне кажется, что основные вопросы, которые стояли перед ней,— вопросы существования решения, количества возможных решений, исследование множества бифуркационных значений параметров — в основном исчерпаны. Разумеется, можно заниматься усовершенствованием доказательств, видоизменением постановок — и это будет определенным вкладом в теоретическую гидродинамику. Но основное в этой теории уже понятно. [c.60]

Будем называть линию в плоскости параметров Я,] и Яг, все точкп которой соответствуют бифуркационным значениям параметров, бифуркационной кривой. Предположим, что для рассматриваемой динамической системы, правые частп которой зависят от двух параметров, [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...