Функция Н Больцмана условиям

Даже линеаризованное уравнение Больцмана ие так-то просто решить, поскольку оно остается интегральным уравнением. Общий подход заключается в разложении поправки к равновесной функции распределения по полному набору взаимно ортогональных функций. Выбор этих функций определяется тем соображением, чтобы можио было эффективно использовать нх ортогональность прн получении уравнений для коэффициентов разложения. Так как условие ортогональности должно содержать, как было сказано выше, и равновесную функцию распределения, т. е. максвелловскую экспоненту, требуется выбрать функции, для которых весовая функция в условии ортогональности была бы экспонентой. Как известно из математической физики, таковыми функциями являются обобщенные полиномы Лагерра. В кинетической теории газов обычно используют так называемые полиномы Сонина, отличающиеся от обобщенных полиномов Лагерра только нормировочным множителем. [c.215]

Вид этих выражений показывает, что статистика Ферми - Дирака перешла в статистику Максвелла - Больцмана. Физически это означает, что вьшолнястся условие (3.1), являющееся критерием невырожденности полупроводника. Итак, для невырожденных полупроводников можно пользоваться функциями f y fp, определяемыми из выражений (3.4), [c.53]

Оно совпадает с функцией Максвелла — Больцмана (3.88). Это свидетельствует о том, что при выполнении условия (3.76) или <3.101) вырождение у электронного газа снимается и он становится невырожденным. С таким электронным газом приходится иметь дело, например, в невырожденных полупроводниках. [c.123]

Вид функции Х) определялся из условия, что полная объемная плотность энергии равновесного излучения, определяемая как интеграл (2-42) по всему спектру частот, должна находиться в соответствии с законом Стефана — Больцмана, т. е. [c.72]

При формулировке П. о. предполагается, что кинетич. ур-ние можно вывести из ур-ний механики без привлечения к.-л. вероятностных гипотез. В действительности в выводе Больцмана неявно содержится предположение вероятностного характера о том, что число столкновений пропорц. произведению функций распределения сталкивающихся частиц, т. е. состояния между каждым столкновением не коррелируют (гипотеза молекулярного хаоса ). Более строгий вывод кинетич, ур-ния, данный Н. Н. Боголюбовым в 1946 [3], явно использует граничное условие ослабления корреляций , имеющее вероятностный смысл. [c.529]

Для того чтобы сравнивать полученное нами в этом параграфе кинетическое уравнение с уравнением Больцмана в форме (85.23), следует учесть, что функция Р г, V, /) и функция/(г, V, /), фигурирующая в (85.23), подчинены разным условиям нормировки для функции Р г, V, /) имеем [c.490]

Если отказаться от условия пространственной однородности и считать функцию / зависящей также от координат, то, как показал Боголюбов, возникает уравнение, несколько отличающееся от уравнения Больцмана. [c.491]

Легко видеть, что уравнения этой системы будут совместными только при условии отсутствия взаимодействия между частицами = 0. Следовательно, в случае разреженного газа корреляциями нельзя пренебрегать даже в нулевом приближении. Собственно говоря, этого следовало ожидать, так как для разреженного газа а 1 хорошим кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции р2 в бесконечном прошлом . [c.494]

Распределения Больцмана и Максвелла—Больцмана широко используют для анализа стационарных случайных колебаний нелинейных систем. Условием применимости этих соотношений является широкополосный характер внешних случайных воздействий, позволяющий представлять их в виде дельта-коррелированных функций (белых шумов). Для практических расчетов можно использовать распределения (1.41), (1.42) и (1.46), если время корреляции внешних воздействий т значительно меньше характерного времени системы То = 2я/мо, где (Оц — частота собственных колебаний. Учитывая, что некоторые реальные системы обладают высокими фильтрующими свойствами, можно считать, что спектральная плотность широкополосного воздействия мало изменяется в интервале, который соответствует преобладающему частотному диапазону выходного процесса (рис. 1.11). При этом внешнее воздействие может быть аппроксимировано при помощи дельта-коррелированных случайных функций [24].. [c.20]

Если в кристалле существует градиент концентрации носителей, то функция распределения в любой точке образца уже не будет одинаковой. Выберем координатную систему так, чтобы направление градиента концентрации электронов совпадало с направлением оси Z. При этих условиях кинетическое уравнение Больцмана (13.8.1) для стационарного состояния примет вид [c.345]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

В частности, функция / (t, х, %) не меняется на расстояниях порядка d, т. е. выполняется условие о равновесности столкновений с любыми прицельными расстояниями, которое мы использовали при выводе уравнения Больцмана в предыдущем параграфе. [c.52]

Как мы видели выше, для получения уравнения Больцмана необходимо выполнение условия хаоса лишь до столкновения молекул. Покажем ), что это одностороннее условие хаоса сохраняется, если в начальный момент корреляции отсутствовали. Введем корреляционные функции [c.55]

На ограничивающих область течения поверхностях S необходимо задать функцию распределения молекул, летящих от границы в сторону течения. Если х—некоторая точка границы и п х) — направленная в сторону течения нормаль к граничной поверхности в точке д , то необходимо задать функцию f t, х, ) 0 для скоростей , удовлетворяющих условию I 0. Тогда функция распределения во всех внутренних точках течения и в точках граничной поверхности для I. га О определится из решения уравнения Больцмана. [c.76]

Во всяком случае справедливо следующее утверждение. Для аппроксимирующей функции типа (2.7) или (4.4), приспособленной к граничным условиям и дающей точное решение уравнения Больцмана в свободномолекулярном пределе, получающаяся граничная задача является корректной для соответствующих этой функции моментных уравнений независимо от их выбора. При этом, конечно, предполагается, что при заданных микроскопических граничных условиях уравнение Больцмана имеет решение и что аппроксимирующая функция не вносит в интеграл столкновений особенностей, несвойственных этому интегралу. К числу функций, удовлетворяющих поставленным условиям, относится, например, обобщенное двухстороннее максвелловское распределение (5.4). [c.125]

Естественно, возникает вопрос, каким начальным и граничным условиям должны удовлетворять справедливые во внутренних точках уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. п. Легко видеть, что решение гидродинамических уравнений, полученное по начальным гидродинамическим данным, вычисленным по истинной начальной функции распределения, отличается на величину порядка от асимптотического решения, к которому стремится при t— и >0 решение модельного уравнения Больцмана, хотя это последнее решение асимптотически Удовлетворяет тем же гидродинамическим уравнениям. Действительно, запишем (6.3) и (6.4) соответственно в виде [c.130]

Хотя каждое ф, -решение при t = Q является функцией от , комбинируя их, оказывается возможным удовлетворить начальным условиям, не зависяш,им от . Приведенная процедура позволяет, в принципе, удовлетворить произвольным начальным условиям, и поэтому решение (7.31) дает обш,ее решение уравнения (7.21), в то время как процедура Гильберта позволяла удовлетворить лишь специальным начальным условиям и построить лишь специальный класс решений уравнения Больцмана. Но из (7.31) видно, что при общее решение экспоненциально стремится к ф , т. е. к решению Гильберта. Однако это предельное гильбертово решение отлично на величину порядка от решения, которое получилось бы при непосредственном отыскании решения Гильберта с теми же начальными условиями. Действительно, так как начальная функция распределения (7.30) не зависит от , то в методе Гильберта необходимо принять, что о< )(0, лО = 0 при А > О, в то время как при построении решения (7.31) в общем случае О ). Для нахождения правиль- [c.142]

Больцмана стремится к некоторому решению Энскога — Чепмена при гидродинамические начальные условия для которого отличаются на величину порядка б от начальных гидродинамических величин, вычисленных по начальной функции распределения /. Для установления правильных начальных и граничных условий необходимо исследование структуры начального или граничного слоев О 0(6)1). [c.154]

Таким образом, решения уравнений Эйлера, удовлетворяющие условию равенства нулю вектора потока тепла и тензора напряжений, а следовательно, являющиеся одновременно и решениями уравнений Навье — Стокса, являются точными решениями уравнения Больцмана с локально-максвелловской функцией распределения. [c.246]

При микроскопическом описании никаких соотношений вводить не нужно единственная неизвестная / уже содержит всю информацию о плотности, скорости, температуре, напряжениях и тепловом потоке Разумеется, это возможно потому, что / зависит от 7 переменных, а не от 4. Макроскопический подход (5 функций от 4 переменных) проще микроскопического (1 функция от 7 переменных), и, если только он возможен, его следует предпочесть. Таким образом, одна из задач теории, основанной на уравнении Больцмана, состоит в выводе для газа при обычных условиях некоторой приближенной макроскопической модели и в отыскании пределов применимости этой модели. Эту часть теории мы изучим в гл. 5. [c.63]

До сих пор мы пе пытались исследовать условия, которым должна удовлетворять функция распределения для газа, находящегося в соприкосновении с твердым телом. Однако ясно, что такие условия необходимы, так как в уравнение Больцмана входят пространственные производные от /. Эти условия очень важны, поскольку они описывают взаимодействие молекул газа с молекулами твердого тела, т. е. взаимодействие между телом и газом, следствием которого являются сила, действующая на тело со стороны газа, и теплопередача между газом и границей твердого тела. [c.64]

С помощью приспособленной к граничным условиям аппроксимирующей функции граничные условия могут быть удовлетворены точно. Однако вид функции распределения отраженных молекул определяется свойствами поверхности. Удовлетворяя точно граничным условиям с помощью приспособленной к этим граничным условиям функции распределения, мы полностью определяем граничные значения ВХ0ДЯН1ИХ в аппроксимирующую функцию моментов, т. е., по существу, формулируем граничную задачу независимо от самих момент-ных дифференциальных уравнений, получаемых из уравнения Больцмана с помощью Этой аппроксимирующей функции. Очевидно, что [c.124]

Интересно отметить также и результат, полученный по отношению к величине р = Х/в. Мы ввели температуру в в томе 1, гл. 1, 2, п.2 как характеристику равновесной системы, выражающую общее свойство транзитивности этого состояния в томе 1, гл. 1, 4 мы имели возможность определить обратную температуру р = /в как универсальный интефирующий множитель дифференциальной формулы I начала термодинамики теперь эта величина выступила в третьей ипостаси — как множитель Эйлера, обеспечивающий фиксацию энергии в вариационной задаче на максимум энтропии. Надо только отдавать себе отчет, что структура исходного функционала для 5 была в этой постановке задачи задана, так сказать, сверху. Результат предыдущей задачи 17 5 = -1п и строился на уже известных выражениях для ( и использовался иами как трамплин к условию задачи 18. Забегая очень сильно вперед, можно было бы заметить, что в кинетической теории (см. том 3, гл. 5) возникает подобная конструкция как Я-функция Больцмана (только с противоположным знаком), которая, как показал Больцман, имеет общее свойство релаксировать к некоторому предельному минимальному значению. Если это предельное значение сопоставить со взятой со знаком минус энтропией равновесной системы, то условие нашей задачи получает мощную поддержку. > [c.103]

Молекулярно-кинетический подход к исследованию опирается на изучение молекулярного (микродискретно-го) строения газа и поэтому лучше соответствует реальным условиям. Однако использование дифференциальных уравнений в частных производных требует возврата к гипотезе о квазисплошности среды и квазинепрерывности полей ее характеристик. Возникающее противоречие снимается с помощью перехода к макроскопическому описанию свойств и процессов через микроскопические свойства отдельных молекул среды, структура и элементарные процессы в которой дискретны. Этот переход осуществляется с помощью функций распределения Максвелла или Больцмана. При этом свойства среды выступают как осредненные по всем молекулам и как непрерывные функции координат и времени. [c.26]

Уже сам Больцман подчеркивал, что вывод газокинетического уравнения основывается не только на законах механики, но и на чуждом механике вероятностном предположении при вычислении числа столкновений (5 552аЫапза12), согласно которому вероятность данной молекуле иметь при столкновении скорость V не зависит от вероятности другой молекуле иметь скорость Уь Однако такой ответ не содержал прямой связи между уравнением Лиувилля и кинетическим уравнением Больцмана. Вывод кинетического уравнения Больцмана методом функций распределения Боголюбова позволяет установить, на каком этапе этого вывода вносится неинвариантность уравнения Больцмана относительно обращения времени. Именно использование при решении уравнения для нулевого приближения бинарной функции распределения 2 (необходимое для получения газокинетического уравнения) в качестве граничного условия ослабления корреляции в отдаленном прошлом (7.10) (до столкновения частиц), проводя различие между прошлым и будущим, вводит в кинетическую теорию необратимость. Вследствие этого граничного условия мы получаем необратимое по времени кинетическое уравнение Больцмана при его выводе из обратимого уравнения Лиу- [c.126]

Кинетическое уравнение Власова (7.71) совместно с (7.72) для плазмы, как и кинетическое уравнение Больцмана для газа, является нелинейным интегродифференциальным уравнением. Однако в отличие от уравнения Больцмана кинетическое уравнение Власова обратимо по времени. Это обусловлено тем, что используемое при его выводе условие мультипликативности бинарной функции распределения (7.66) не выделяет какой-либо момент времени в эволюции плазмы. [c.129]

Согласно кинетической теории газов среднее значение энергии осциллятора е находится для условий термодинамического 1равновесия, исходя из (функции распределения осцилляторов по энергиям, которая подчиняется статистике Больцмана. Согласно этой статистике [c.73]

Рейнольдса, Эйлера и Фруда и безразмерная функция распределения скорости среды во входном сечении камеры горения Во, Ей, S — радиационные критерии Больцмана, Бугера и Шустера — поглощательная способность стенок камеры сгорания (поверхность стенок является серой и изотропно отражающей) Рг = =-vi/ai — критерий Прандтля, определяемый по температуре и составу газовой смеси во входном сечении камеры горения Ргд=Г1/Ог1— диффузионный критерий Прандтля для тех же условий T plTi — отношение температуры охлаждающей стенку среды к температуре горючей смеси на входе в камеру горения lIRph — критерий теплообмена потока с охлаждающей стенку средой (Rf — термическое сопротивление стенки поверхности нагрева, Xi — теплопроводность газовоздушной смеси на входе в камеру) Ar = EIRTi — критерий Аррениуса [c.415]

Закон излучения Стефана—Больцмана, так же как н рассмотренные выше законы теплопроводности Фурье и конвекции Ньютона—Рихмана, справедлив для реальных условий только в том случае, когда лараметрические величины, входящие в него в качестве коэффициентов пропорциональности, рассматриваются как сложные функции, зависящие от большого количества различных факторов. Такой сложной функцией для случая теплового излучения является коэффициент излучения. Закон Стефана — Больцмана оказывается применимым не только для черного и серого, но и для селективного излучения, если все отклонения от него учитывать соответствующей величиной коэффициента излучения. [c.285]

В жидкостях теряют смысл понятия времени и длины свободного пробега частиц (неприменимо кинетич. ур-ние Больцмана для одночастичной ф-ции распределения). Аналогичную роль для жидкости играют величины Т1 II 1 — время и длина затухания пространственно-временных корреляционных функций динамич. переменных, описывающих потоки энергии и импульса Т1 и характеризуют затухание во времени и пространстве взаимного влияния молекул, т. е. корреляций. Для жидкостей полностью остается в силе понятие гид-родинамич. этапа Р. и локально-равновесного состояния. В макроскопически малых объемах жидкости, но ещё достаточно больших по сравнению с длиной корреляции локально-равновесное распределение устанавливается за время порядка времени корреляции (т т ) в результате интенсивного взаимодействия между частицами (а не только парных столкновений, как в газе) эти объёмы по-прежнему можно считать приближённо изолированными. На гндродивамич. этапе Р. в жидкости термодинамич. параметры и массовая скорость удовлетворяют таким же ур-ниям гидродинамики, теплопроводности и диффузии, как и для газов (при условии малости изменения термодинамич. параметров и массовой скорости за время т, и на расстояниях [c.328]

Ответ заключается в следующем так как уравнения механики обратимы, то необратимость возникает тогда, когда уравнения механики мы дополняем чуждыми самой механике вероятностными гипотезами. В случае уравнений Фоккера - Планка такой гипотезой является предположение о марковском характере процесса (уравнение Смолухов-ского). В выводе уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова роль такой гипотезы выполняет условие ослабления корреляций (87.17), приводящее к появлению асимметрии по отношению к отражению времени и т. д. Введение подобных гипотез теснейшим образом связано с ролью взаимодействия между частицами (в частности, с ролью столкновений). Оно является фактором, вызывающим направленную эволюцию состояния, которое описывается функцией распределения. Не случайно поэтому, что в кинетических уравнениях, при выводе которых взаимодействием частиц, в частности столкновениями, мы пренебрегаем, необратимость не возникает. Примерами подобных уравнений являются уравнение самосогласованного поля ( 89) и уравнение свободно-молекулярного течения ( 88), обратимость которых без труда обнаруживается. [c.547]

Из условия (И.5.2) вытекает и другое, менее очевидное, но важное следствие. При подсчете числа частиц, налетающих на центральную, мы неявно предполагали, что функция распределения не изменяется существенно в течение промежутка Af (в силу предположения At < т,). Поэтому в выражении (И.4.И) можно было использовать функцию / (q, Vx t), взятию в тот же самый момент времени t, для которого вычислялась скорость изменения. Если бы условие (11.5.1) не быполвялось, нам следовало бы использовать в выражении (11.4.11) число частиц в фазовой точке (q, Vj) в предшествующий момент времени t — т, где т — время, необходимое для того, чтобы частица 1 достигла центральной частицы. В результате в окончательном уравнении (11.4.15) скорость изменения / в момент времени t зависела бы не только от одновременного значения /, но определялась бы и ее предшествующим поведением. Такой зффект памяти характерен для немарковского процесса. Резюмируя, мы видим, что условие (11.5.1) обеспечивает марковский характер уравнения Больцмана [c.31]

Напомним, что основы классической кинетической теории были заложены Максвеллом [123] и Больцманом [60] более 100 лет назад. Нри выводе своего знаменитого кинетического уравнения для разреженного газа Больцман выделил два механизма изменения одночастичной функции распределения со временем динамический процесс инерционного движения молекул и стохастический процесс парных столкновений. Больцман привлек гипотезу молекулярного хаоса (Stofizahlansatz), согласно которой перед каждым столкновением между молекулами, участвующими в столкновении, отсутствуют корреляции. Если плотность газа мала, то это интуитивное допущение Больцмана кажется вполне разумным, но оно явно не выполняется для более плотных систем, когда необходимо учитывать многочастичные столкновения. Более общий метод вывода кинетических уравнений был разработан Боголюбовым в его монографии [7], существенно повлиявшей на все последующее развитие кинетической теории. В методе Боголюбова кинетическое уравнение выводится из уравнения Лиу-вилля с граничным условием ослабления начальных корреляций между частицами. Это условие, налагаемое лишь один раз в отдаленном прошлом, заменяет больцманов-ский Stofizahlansatz. Главным достоинством метода Боголюбова является то, что он указал путь к выводу более общих кинетических уравнений, чем уравнение Больцмана или его простейшие модификации. [c.163]

Очевидно, интеграл столкновений J равен нулю, так как для максвелловского распределения f f[ = ffy Однако легко зидеть, что уравнение Больцмана накладывает определенные условия на зависимость функций га. И и Г от и х . Очевидно, что максвелловское распределение удовлетворяет уравнению (5.15), когда макроскопические параметры га. И и Т постоянны. Имеются также локально-максве,ллов-ские решения уравнения Больцмана, в которых гидродинамические переменные га, и Г зависят от координат (см, 4,1), Однако эти решения не удовлетворяют принятому выше условию отсутствия потока Я-функции через границу области D. [c.63]

Проблема суш,ествовапия решений уравнения Больцмана изучена лишь для задачи с начальными условиями в безграничной области и для молекул с конечным радиусом взаимодействия (с обрезанным потенциалом взаимодействия). Для пространственно-однородного случая теорема существования доказана как для молекул-шаров 2), так и для псевдомаксвелловских молекул ) для полного нелинейного уравнения Больцмана. Для линейного уравнения доказана теорема существования и изучено асимптотическое поведение решений для задачи с начальными условиями, зависяш.ими от пространственных координат ), Пространственно-неоднородная задача для нелинейного уравнения Больцмана рассмотрена Градом 5). Однако существование решений доказано для времен тем меньших, чем больше начальная функция распределения отличается от равновесной. Таким образом, для времен макромасштаба существование доказано лишь для малых начальных возмущений. [c.79]

В 2.9 и 2.10 были сформулированы микроскопические граничные условия для уравнения Больцмана. Моментиые уравнения для конкретной задачи с большей или меньшей точностью заменяют уравнение Больцмана. Необходимо, также приближенно, заменить граничные условия для функции распределения некоторым числом макроскопических условий для моментов. Мои<но построить бесчисленное множество граничных условий для моментов. Действительно, выпишем общее микроскопическое граничное условие (9.6) главы II [c.123]

Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих функций (2.7) или (4.4), являются в общем случае неоднородными квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых числах Кнудсена. По предположению аппроксимирующая функция при определенном выборе ВХ0ДЯИ1ИХ в нее моментов дает точное решение уравнения Больцмана при Кп = оо. т. е. когда правая часть равна нулю. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удовлетворять любой системе однородных (без интегральной части) моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Но так как при Кп = со однородная система моментных уравнений при этих граничных условиях имеет решение, то и для неоднородной системы (т. е. при произвольном числе Кнудсена) справедлива та же постановка граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения. [c.125]

Пусть отыскивается решение уравнения Больцмана при заданной функции распределения в момент =0 ). В безразмерных переменных в уравнение Больцмана и в начальную функцию распределения входит для конкретной задачи фиксированной значение числа Кнудсена (параметра д) ). Отыскивая решение уравнения Больцмана в виде ряда по , в конечном счете необходимо положить е равным его фиксированному значению д. Легко видеть, что параметр е можно ввести в начальную функцию распределения бесконечным множеством способов, подчиненных единственному условию, чтобы при = о начальная функция /(О, X, I, ) совпадала с заданной. Введя тем или иным путем в начальную функцию распределения малый параметр е, ее можно представить в виде ряда [c.137]

Как мы уже отмечали, решение Гильберта строится по некоторым начальным и граничным условиям вне слоя Кнудсена, отличным от истинных условий для функции распределения в начальный момент и на границах. Рассмотрим теперь, каким образом решение уравнения Больцмана, удовлетворяющее истинным граничным и начальным условиям, переходит в решение Гильберта по мере удаления от границы или начального момента, т. е. исследуем решение внутри кнудсенов-ского слоя. Ограничим рассмотрение задачей с начальными условиями для линеаризированного уравнения Больцмана. [c.139]

Пусть Отыскивается решение некоторой стационарной задачи. Зададим в момент =0 некоторую функцию распределения /(О, х, ), которая в общем случае может не удовлетворять граничным условиям. Из физических соображений ясно, что с течением времени функция распределения должна стремиться к некоторому стационарному решению уравнения Больцмана, удовлетворяющему заданным граничным условиям (однако, это строго не доказано, как не доказана и един-стиенностъ такого процесса установления). [c.222]

Характер взаимодействия молекул со стенкой определяет граничные условия для функции распределения на нижней границе кнудсеновского слоя (рис, 44). Поскольку навьс-стоксовская функция распределения представляет решение уравнения Больцмана лишь на некотором расстоянии от стенки, то для установления граничных условий для уравнений Навье— Стокса необходимо исследовать слой Кнудсена. [c.317]

Иногда пытаются улучшить дело, принимая функцию распределения падающих на стенку молекул не в навье-стоксовском, а в бар-неттовском или трлнадцатимоментном приближении. Однако очевидно, что это не может исправить положения, так как сама схема течения, не учитывающая изменений функции распределения в кнудсеновском слое, неверна, и для нахождения правильных условий скольжения необходимо решить уравнение Больцмана в слое Кнудсена. [c.320]

При установлении связи между статистической механикой и термодинамикой Гиббс предполагает (и это предположение в выводе Гиббса не может быть отброшено), что при адиабатическом изменении внешних параметров ансамбль систем все время находится в состоянии, описываемом канонической функцией распределения. Как и в некоторых названных выше пунктах, это предполоя ение выражает тенденцию сохранить полную аналогию между общей теорией систем в Г-пространстве и больцмановской теорией идеального газа, описываемого при помощи [ .-пространства известно, при адиабатическом изменении внешних условий можно предполагать, что газ проходит через ряд состояний, в каждом из которых осуществляется распределение Максвелла-Больцмана. В противоположность этому, предположение Гиббса в общем случае ошибочно. Как уже отмечалось, если в начальный момент ансамбль изолированных систем имел по энергиям каноническое распределение, то при адиабатическом изменении внешних параметров энергия систем изменяется так, что, вообще говоря, каноническое распределение теряется. [c.49]

Для получения правой части уравнения (52.13) в определенных условиях, как мы увидим ниже, соответствующей интегралу столкновений Больцмана, воспользуемся теперь предположением о малости потенциала взаимодействия пары частиц. Это предположение позволяет вместо уравнения (52.5) использовать приближенное, отличающееся от (52.5) тем, что в слагаемых, содержащих потенциал взаимодействия, вместо двухчастичной и трехчастичной функций распределения используются их приближенные выражения/ а в которых полностью нренебрегается корреляционными эффектами, связанными с силовым взаимодействием частиц. Поэтому в основу нашего рассмотрения в этом параграфе [c.216]

Цель этого — современного — аспекта кинетической теории, который будет представлять для нас основной интерес, состоит вовсе не в выводе макроскопической (в обычном смысле) теории, хотя конечные результаты и будут выражены через измеряемые. и практически нужные величины, такие, например, как сопротивление объекта, движуш егося в разреженной атмосфере. Действительно, современная кинетическая теория рассматривает ситуации, где газ настолько разрежен, что средняя частота столкновений молекул оказывается равной (или меньше) по порядку величины частоте столкновений молекул со стенками, ограничи-ваюш ими исследуемую область, или частоте звукоподобных возмуш ений, распространяюш ихся через газ. Ясно, что в таких условиях нельзя ожидать макроскопического поведения , описываемого просто в терминах таких величин, как плотность, давление, температура, массовая скорость и т. п., хотя все эти понятия сохраняют свое значение (в статистическом смысле). При этом оправдано использование одночастичной функции распределения, а уравнение Больцмана становится очень важным как уравнение, пригодное для описания всего спектра разрежений и, следовательно, поведения газа на режимах от континуального (для умеренно плотного газа) до свободномолекулярного (когда межмолекулярные столкновения практически несуш ественны). [c.35]

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, однако она обладает определенными недостатками. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих видоизменений за счет, правда, простоты модели. Первое видоизменение можно ввести так, чтобы частота столкновений оказалась зависящей от скорости молекулы, а не была просто локально постоянной. Это видоизменение связано с тем, что для упругих сферических молекул, всех потенциалов с конечным радиусом действия и степенных потенциалов с угловым обрезанием (за исключением максвелловских молекул) частота столкновений зависит от скорости молекул. Можно ожидать, что это изменение при больших Скоростях молекул будет существенным. С формальной точки зрения видоизменение очень просто достаточно предположить, что в формуле (1.2) V зависит от I (точнее, от с), но условия (1.1) должны по-преячнему выполняться. Все основные формальные свойства (в том числе и Н-тео-рема) сохраняются, но плотность, скорость и температура, входящие в максвелловскую функцию Ф, теперь уже не локальные плотность, скорость и температура, а некоторые фиктивные локальные параметры, связанньге с пятью моментами функции / с весом V (с). Это следует из того, что в этом случае условия (1.1) дают [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...