Интегралы Основные свойства

Интегралы системы дифференциальных уравнений. Теперь, после того как мы изучили основные свойства автономной системы второго порядка (т = 2), перейдем к системе общего вида [c.401]

I у I означает малость q , а также малость 5 .) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/i, 1/2,. . ., Ут-, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных z/j, г/2,. . ., г/ , содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений [c.472]

Основные свойства двойных интегралов [c.179]

Составляя интеграл (97), убедимся, что интегралы по малым окружностям с центрами в точках А я В при стремлении радиусов этих окружностей к нулю также стремятся к нулю, а интеграл Коши (97) сводится к разности определенных интегралов в пределах (—с, с), вычисляемых в положительном направлении оси Ох по верхней и нижней стороне разреза АВ. По основному свойству вихревого слоя, расположенного в этом общем случае вдоль дужки, или, с ошибкой второго порядка малости, по разрезу АВ, будут выполняться условия (95), так что в разности интегралов слагаемые, содержащие и (5,+0) и и (1,-0), сократятся, а слагаемые с к ( ,+0) = [c.198]

Отметим основное свойство Г-интегралов (свойство инвариантности) [c.148]

Ниже соотношение (20,2) применяется для рассмотрения следующих интегралов движения энергии, импульса, момента количества движения, его проекции, четности. Предполагается, что основные свойства этих интегралов движения читателю известны ). Кроме того, при разборе примеров мы применяем аппарат сложения моментов к еще одному важному [c.117]

На последнем заседании Академии г. Фукс прочитал свою работу, которая, кажется, замечательно хороша. Я ее не читала, так как она еще не появилась в печати, но я познакомилась с нею частью по рассказам Кронекера и частью по рассказу самого Фукса. Представьте себе, что Фуксу удалось найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы нелинейное дифференциальное уравнение обладало основным свойством линейных уравнений, именно чтобы критические точки его интегралов не зависели от начальных данных. Не правда ли, что это замечательно Особенно замечательно то, что Фукс никому никогда не рассказывал об этой работе, и еще за несколько дней до заседания он говорил, что сделает свое сообщение против желания. Странный человек этот Фукс. Теперь ясно, что Вейерштрасс прав и что в Фуксе гораздо больше материала , чем можно было предполагать. .. [c.21]

I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ [c.236]

Подробные сведения о свойствах эллиптических функций можно найти в работах [29, 66-68]. Эллиптические функции зависят от переменной 2 и вещественного параметра (модуля) к, который удовлетворяет условию О /г 1. Дополнительный модуль к — (1 — к ) . Здесь мы перечислим основные свойства эллиптических функций зп г, к), сп х, к), 6т х, к) (или сокращенно 8п(2г), сп г), п х)) в действительной области переменной 2 . Эллиптические функции определяются как функции, обратные по отношению к интегралам, представленным в лежандровой нормальной форме [c.381]

Полученные результаты легко обобщаются на произвольный контур L (см. начало настоящего пункта) при дополнительном условии отсутствия точек возврата на оси симметрии. В итоге получим, что обобщенные интегралы типа Коши обладают основными свойствами обычных интегралов типа Коши. А именно, функция Ф( ), определенная равенством (31.1), непрерывна вплоть до контура L. Для любых двух точек И 2) принадлежащих одной и той же окрестности линии L и находящихся на конечном расстоянии от ее концов, имеет место неравенство [c.281]

Основные свойства квантовой консервативной системы характеризуются структурой ее энергетического спектра, который определяется набором квантовых чисел. .., Пм. Эти числа являются интегралами движения, и их число Поэтому разрушение [c.209]

Общие теоремы позволяют ввести ряд новых физических понятий, таких, как энергия, импульс, работа, что позволяет полнее раскрыть закономерности механического движения. Практическая ценность общих теорем состоит в возможности установления признаков, на основании которых сразу можно заключить о существовании отдельных первых интегралов движения. Постоянство же соответствующих величин имеет глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени оно отражено в законах сохранения. [c.110]

Хотя интегралы Фурье дают точные решения, все же их поведение трудно определить непосредственно. Если рассматривать асимптотические выражения для больших х и t, то это поведение становится яснее, а основные свойства диспергирующих волн понятнее. Рассмотрим сначала типичный интеграл [c.356]

Формула (4.11) является основным инструментом точного вычисления определенных интегралов, в связи с чем существенное значение приобретает нахождение первообразных функций. Техника нахождения первообразных функций основана на применении свойств интеграла, различных подстановок и, в конечном счете, стандартных таблиц (см. табл. 4.2 [41— 43]. [c.100]

Семейства ( j) и (С , образующие в основной плоскости аргументов (х, /) сетку кривых, обладающих тем замечательным свойством, что вдоль них интегралы уравнений в частных производных удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений [в на-ше.м частном случае уже проинтегрированным конеч-кым соотношениям (30) и (31)], называются характеристиками системы уравнений в частных производных угловые коэффициенты этих кривых, определяемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические направления. [c.167]

Основное свойство кривой распределения состоит в том, что если взять на оси абсцисс две точки,, соответствующие двум значениям энергии i и 2, то площадь фигуры Е1АВЕ2 будет представлять собой число молекул энергия которых будет больше Ei, но меньше Е2. Как известно, математически площадь, лежащая под кривой, выражается интегралом, поэтому, интегрируя выражение [c.294]

Для замкнутых, или изолированных систем (такие системы не взаимодействуют с внешними телами и не обмениваются энергией ни в какой форме с внешней средой) сущ,ествуют функции переменных Лагранжа, называемые интегралами движения. Интеграл движения системы называется аддитивным (от латинского addi-iio — прибавление), если он равен сумме интегралов движения составляющих систему частиц. Аддитивных интегралов движения четыре — масса, импульс, момент импульса и энергия. Как показывает опыт, эти четыре величины, характеризующие состояние замкнутой системы, не меняются со временем. Это позволило сформулировать в ньютоновской механике законы сохранения массы, импульса момента импульса и энергии, которые обусловлены основными свойствами материи и движения, а также пространства и времени, как основных форм существования материи. [c.134]

На последнем заседании Академии, — пишет она Миттаг-Леффле-ру 1 июля 1884 г., — г. Фукс прочитал свою работу, которая, кажется, замечательно хороша. .. Представьте себе, Фуксу удалось найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы нелинейное дифференциальное уравнение обладало основным свойством линейных уравнений, именно чтобы критические точки его интегралов не зависели от начальных данных. .. [c.25]

Из основного свойства интегрирования как действия, обратного дифференцированию, следует, что формулы дифференциального исчисления приводят к фор. ыулам интегрального исчисления. Такие интегралы, как правило, приводятся в специальных таблицах (табл. П. 1.3) и называются табличными интегралами. [c.194]

Приведенный выше анализ систем (15) и (16) показывает, ЧТО хотя эти системы аффинно-эквивалентны в комплексной области, свойства их траекторий в веш,ествен-ной области сильно отличаются. Все траектории системы (15) за конечное время уходят в бесконечность. В системах с положительным квадратичным интегралом основную роль играет канонический триплет. [c.295]

Используем общие определения параграфа 2 применительно к векторному соленоидальному полю завихренности и. Тогда из общих свойств векторных полей на основании теоремы Стокса (1.8) следует, что циркуляция Г по любому замкнутому стягиваемому контуру равна алгебраической сумме интенсивностей к всех вихревых трубок, пересекающих поверхность, ограниченную этим контуром. Это справедливо и в частном случае вихревых трубок бесконечно малого поперечного сечения — вихревых нитей. Обратим внимание на то, что понятие вихревая нить и вихревая линия отличны. Вихревая нить — это особая линия в распределении поля завихренности, полностью определяемая значением интенсивности к. В свою очередь — вихревая линия — это линия, касательная к которой в каждый момент времени совпадает с направлением мгновенной оси вращения жидких элементов. Применительно к описанию вихревого движения термины вихревые линии и нити ввел Г. Гельмгольц в (135). Он сформулировал основные свойства интегралов гидродинамических уравнений второго класса (так были названы течения, содержащие отличную от нуля завихренность в отличие от полностью потенциальных течений, весьма детально к тому времени изученных). Сформулированные в виде трех положений, эти свойства в дальнейшем названы законами или теоремами Гельмгольца для в 1хревого движения. Более столетия они встречаются в различных интерпретациях практически во всех учебниках по механике жидкости. Приведем эти законы в формулировках Г. Гельмгольца [c.34]

При формулировке основных свойств модели предполагалось, что обменные интегралы и отвечающие различным парам спинов, представляют собой фактически независимые случайные переменные с нулеьым средним значением. Вычислим теперь средние по всем узлам образца, в которых есть спины, т. е. выражения типа [c.552]

Интегрируемые задачи механики встречаются крайне редко. Как правило количество первых интегралов уравнений движения недостаточно для получения общего решения. В этой ситуации используются приближенные методы исследования свойств движений, среди которых отметим метод разделения движений и усреднения (асимптотический метод). При этом для описания движения используются быстрые и медленные переменные типа переменных действие-угол. Обсуждаемый метод эффективен при наличии диссипативных сил в механической системе, что обуславливает эволюцию медленных переменных. Если для точных уравнений движения известны аттракторы, к которым стремятся решения, и если приближенная система, полученная на основе обсуждаемого метода, обладает теми же аттракторами, то существует уверенность, что в качественном плане приближенные уравнения ухватывают основные свойства точных решений. Вопрос о количественной близости приближенных и точных решений решается индивидуально и не всегда положительно, если в системе возникают резонансы между частотами, препятствующие определению коэффициентов соответствующих рядов (проблема малых знаменателей). Изложим основные идеи метода разделения движений и проиллюстрируем его на примере эволюции движения деформируемой планеты, представленной в естественном состоянии однородным вязкоупругим щаром. [c.290]

С математической точки зрения основные теоремы динамики — теоремы о движении центра инерции, об изменении количества движения, об изменении кинетического момента и об изменении кинетической энергии дают возможность находить в частных случаях первые интегралы дифференциальных уравнений движения. Возможность получешгя этих интегралов завггеггт от особенностей системы сил. приложенных к точкам материальной системы. Эти свойства были подчеркнуты при рассмотрении соответствующих теоре.м на протяжении последней главы. [c.105]

Вместе с тем, установленная Лагранжам взаимосвязь симметрия — сохранение не была им явно сформулирована в виде некоторого общего результата. Если Ньютон постулировал с самого начала определенные свойства пространства и времени, то Лагранж не высказывался непосредственно о тех принципах пространственно-временной симметрии, которые наряду с общей формулой динамики были им неявно положены в основу аналитической механики. С одной стороны, это было связано с общей тенденцией, характерной для механики XVIII и даже первой половины XIX в., избегать обсуждения аксиоматических основ механики с другой — с известной переоценкой динамических законов типа основных уравнений движения механики и недооценкой принципов пространственно-временной симметрии. Рассмотрение законов сохранения как первых интегралов уравнений движения механических систем могло поддерживать иллюзию, что взаимосвязь симметрия — сохранение имеет лишь формально-вычислительное значение и в своей общности и фундаментальности существенно уступает самим уравнениям движения или иной форме динамического закона (при этом не-оол редко упускалось из виду, что структура уравнений сама, в свою очередь, базировалась на определенных представлениях о свойствах симметрии пространства и времени). [c.230]

Первый член этого выражения представляет собой не что иное как интеграл столкновений Больцмана-Боголюбова [см. выражение (3.1.73)] ). Второй член, описывающий основной вклад эффектов запаздывания, впервые был получен Климонтовичем [34]. Им же была показана необходимость учета этого члена в законах сохранения энергии и импульса, включающих главные поправки по плотности к неравновесным термодинамическим величинам. Более подробное обсуждение свойств кинетического уравнения с интегралом столкновений (3.3.5) читатель найдет в книге [35]. [c.199]

Доказательство справедливости основных формул (36), (37), (48) можно найти в книгах по математике [10—12]. Здесь мы укажем лишь, что их вывод, так же как и некоторые другие свойства рядов и интегралов Фурье, основан на том, что система экспоненциальных функций ехр 2лШх (а также гармонических, чере которые она может быть представлена) является ортогональной. Для этих функций, ортогональных на отрезке [О, а], справедливо условие [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...