Нормальные решения кинетических уравнений

Здесь мы дадим вывод уравнений гидродинамики разреженного газа путем построения так называемых нормальных решений кинетического уравнения Больцмана. Эти [c.233]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

Нормальные решения кинетических уравнений 173 [c.292]

Пока мало известно о свойствах классических кинетических уравнений с интегралом столкновений, в котором учитываются коррелированные многочастичные процессы (см. раздел 3.3.3 первого тома). В частности, для вычисления коэффициентов переноса с учетом неаналитических поправок по плотности нужен метод построения нормальных решений таких кинетических уравнений. [c.283]

Обычные методы, использующие кинетическое уравнение, с помощью которого изучается, например, остаточное сопротивление нормального металла, оказываются непригодными для решения поставленного выше вопроса. Поэтому мы ниже вновь обратимся к методам квантовой теории поля. [c.423]

Как и в диэлектрических кристаллах, конечность кинетических коэффициентов идеального (без примесей или дефектов) металлического кристалла связана с существованием процессов переброса. С учетом одних лишь нормальных процессов, идущих с сохранением суммарного квазиимпульса электронов и фононов, кинетические уравнения имели бы паразитные решения, отвечающие движению электронной и фононной систем как целого относительно решетки. Это—решения вида [c.408]

Решение. Лифт совершает поступательное движение, поэтому достаточно рассмотреть движение его центра тяжести. Отбросим связи. На лифт действуют С — сила тяжести лифта с грузом Р — силы трения на колодках N — нормальные реакции с обеих сторон. Составим уравнение изменения кинетической энергии тела на пути торможения [c.224]

В работе сделана попытка построить модель двухкомпонентной системы, основываясь на предположении, что движение совокупности твердых частиц в потоке жидкости или газа можно представить как случайный процесс с независимыми приращениями. Полученное на основе этого предположения кинетическое уравнение для функции распределения твердых частиц имеет тот же вид, что и предложенное ранее в [1]. Построено решение кинетического уравнения, которое позволяет получить систему гидродинамических уравнений псевдогаза — совокупности твердых частиц. Отличие полученных уравнений от ранее предложенных в работах [2, 3] состоит в наличии добавочных членов, связанных с относительным движением компонент и обусловливающих анизотропию поля нормальных напряжений в псевдогазе. [c.437]

Эквивалентно, функция % (q, v f) в уравнении (13,2.10) имеет такой же вид.] Любая функция распределения, зависящая от q и t только через макроскопические параметры п, и, Т, будет называться нормальной функцией распределения. Таким образом, решение кинетического уравнения в гидродинамическом режиме равнозначно нахождению соответствуюш ей нормальной фунгащи распределения, удовлетворяющей этому уравнению. [c.94]

Решающий шаг в этой области был сделан, однако, лишь после введения понятия нормальных решений и вытекающих из него методов разложения. Эти методы открыли возможность систематического вычислениякоэффициентов переноса при произвольных потенциалах взаимодействия. Кроме того, эти методы можно непосредственно применить или приспособить для решения кинетических уравнений, отличных от уравнения Больцмана. [c.121]

Высшие поправки. Существенно, что МР С/<") содержит, кроме основного слагаемого ге-го порядка по заряду электрона, еще поправки высших порядков, происхождение которых ясно из процедуры нормального упорядочения (12). Примером поправки четвертого порядка к является первое слагаемое в (5.4.9). Такие поправки в квантовой теории поля интерпретируются как результат рождения и уничтожения виртуальных фотонов. Чтобы точно рассчитать эффект порядка и, необходимо просуммировать бесконечное число поправок порядка п + 2к. Для этой процедуры разработан ряд приемов, использующих диаграммы Фейнмана, теорему Вика и т. д. [152J. Фактически при решении кинетического уравнения ( 4.5) также суммируются высшие поправки. [c.156]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

До сих пор остается открытым вопрос об определении термодинамических величин в случаях, когда при описании процессов переноса нужно учитывать эффекты нелокальности и памяти ). В так называемой расширенной неравновесной термодинамике [94,134] для учета эффектов памяти в набор наблюдаемых включаются не только локальные термодинамические величины, но и их потоки. Эта идея имеет долгую историю и восходит к работе Максвелла по кинетической теории классических газов [127], где впервые была сделана попытка учесть память в уравнениях переноса с помощью релаксационного уравнения для тензора вязких напряжений. Следующий важный шаг был сделан Грэдом [74], который разработал метод моментов для построения нормальных решений уравнения Больцмана ). [c.280]

Стоит упомянуть о применении метода неравновесных статистических ансамблей к релятивистским квантовым системам. В настоящей книге этот вопрос не рассматривался по двум причинам. Во-первых, объединение идей неравновесной статистической механики и релятивистской квантовой теории поля является далеко не тривиальной проблемой, обсуждение которой привело бы к неизбежному увеличению объема книги ). Другая, более важная, причина состоит в том, что релятивистская статистическая механика находится еще в процессе развития и ее принципы пока не разработаны в той же мере, что и принципы нерелятивистской статистической механики. В настоящее время более или менее завершенным разделом является релятивистская кинетика, основанная на обобщениях уравнения Больцмана с учетом квантовых и релятивистских эффектов. Путем построения нормальных решений релятивистского кинетического уравнения иногда удается вычислить коэффициенты переноса [61], а метод моментов [90], аналогичный методу Трэда в нерелятивистской кинетической теории, позволяет распространить релятивистскую гидродинамику на случай быстрых процессов, когда необходимо учитывать конечную скорость распространения термических возмущений. [c.282]

Подчеркнем прежде всего, что в пренебрежении процессами переброса, при отличном от нуля градиенте температуры, кинетическое уравнение вообще не имело бк решения. Действительно, умножим уравнение (69,5) на к, проинтегрируем по А/(2я) и просуммируем по всем ветвям спектра фононов.. Поскольку нормальные столкновения сохраняют полный квазнимпульс, то член Iif yju) обратится в результате в нуль, так что остается [c.358]

Скорость нормального распространения планени теоретически может быть определена из решения уравнения теплопроводности, если известно кинетическое уравнение реакции. Решение для Пп. было впервые получено в 1938 году Зельдовичем Я.Б. и Фрэнк-Камбнвфим ДЛ, которые разработали тепловую теорию ламинарного распространения пламени. На основе физической модели тепловой теории устанавливаются простыв соотношения,связывающие нормальную скорость с размерами зоны горения и характеристиками. [c.56]

Метод элементарных решений связан с методом Чепмена — Энскога по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, разложение решения на дискретную и непрерывную части отражает (по крайней мере в простейших модельных уравнениях) отделение решения Чепмена — Энскога (справедливого вдали от твердых границ и некоторого начального состояния) от решения в переходной области, описываемой кинетическими слоями. Во-вторых, элементарные решения особенно эффективны при исследовании задач связи для методов Гильберта и Чепмена — Энскога (особенно для установления граничных условий). Это продемонстрировано нахождением коэффициента скольжения для модельного уравнения БГК. Для более общих модельных уравнений задачу определения граничных условий аналитически решить, вообще говоря, нельзя. Но всегда можно получить довольно точное описание решения, оценивая коэффициенты разложений или поправки к модельным уравнениям низшего порядка. В частности, отделяя нормальные и поперечные степени свободы, можно найти в квадратурах температурный скачок (Черчиньяни [10] гл. 6), результат оказывается очень близким к точному. [c.214]

Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Г амильто а — Якоби. [c.8]

Другим направлением практикума является исследование установившихся колебаний в нехшнейных системах. Здесь студенты должны привести предложенные системы с быкновенных дифференциальных уравнений к канонической форме при этом большое внимание уделяется приведению квадратной матрицы к нормальной форме Жордана и сведению матриц коэффициентов кинетической и потенциальной энергий к диагональной форме. Предлагаются работы, при выполнении которых используются метод Бубнова—Галеркина и метод Ляпунова построения периодических решений. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...