Вывод кинетического уравнения

Мы изложим здесь вывод кинетического уравнения Больцмана, исходя непосредственно из первого уравнения цепочки Боголюбова (7.3), используя некоторые упрощающие предположения. [c.110]

Для квантовых систем схема вывода кинетических уравнений методом Боголюбова остается без изменений. Подобно классическому случаю исходным при этом выводе является цепочка урав- [c.134]

При выводе кинетического уравнения можно привлечь и термодинамические соображения. Это позволяет, в отличие от эвристического подхода, или подхода, основанного на тех или иных аналогиях, процесс разрушения твердого тела при необратимой деформации пытаться описать адекватно. [c.597]

Вывод кинетического уравнения. Рассмотрим движение совокупности большого числа частиц в потоке жидкости или газа. Изменение скорости движения каждой из частиц происходит под действием трех типов сил внешних массовых сил, силы взаимодействия между частицей и несущим потоком, а также в результате взаимных столкновений. Каждая движущаяся частица вызывает возмущения в движении несущего потока, меняя при этом условия взаимодействия других частиц с этим потоком. Поэтому условия движения отдельной частицы будут зависеть, вообще говоря, от движения всех других частиц. [c.437]

В связи со сказанным целесообразно подойти более строго к проблеме вывода кинетического уравнения и к его возможным обобщениям. Это можно сделать с помощью весьма общего и строгого метода, предложенного Н. Н. Боголюбовым [38, 39], к краткому изложению которого мы и переходим. [c.474]

Таким образом при выводе кинетических уравнений необходимо учитывать, что имеется разница между поверхностной концентрацией и объемной. Наряду с этим, необходимо принять во внимание, что на изменение энергии иона водорода, находящегося на расстоянии ионного радиуса, оказывает влияние не общий потенциал электрода ф, а потенциал в той плоскости, где находится центр иона, т. е. ф — ф1.Поэтому энергия активации процесса разряда ионов водорода определится уравнением [c.31]

Кроме изложенных выше соображений при выводе кинетических уравнений реакции выделения водорода необходимо также иметь в виду, что на скорость реакции, протекающей на границе раздела фаз металл — электролит, в условиях, когда на электроде имеется определенный заряд, большое влияние оказывает электростатическое взаимодействие между этим зарядом и разряжающимся ионом. Прямым следствием указанного взаимодействия является изменение концентрации реагирующих частиц на поверхности металла, а следовательно, и изменение скорости самой электрохимической реакции. [c.109]

В качестве первого примера последовательного использования диаграмм при выводе кинетического уравнения в явной форме рассмотрим газ частиц с произвольно сильным межчастичным взаимодействием. Разумеется, зто значительно более реалистическая задача, чем задача о газе со слабым взаимодействием, решавшаяся в гл. 18, хотя бы вследствие того, что у потенциалов взаимодействия любых молекул имеется жесткая короткодействующая часть, соответствующая твердой сердцевине. Однако, чтобы эту задачу [c.270]

Б. При явном выводе кинетического уравнения используется весьма тонкая процедура разложения по степеням малого параметра, например по плотности. (Этот аспект соответствует реализации процедуры, описанной в гл. 19.) [c.281]

Наш подход к теории неравновесных процессов основан на следующем свойстве макроскопических систем, тесно связанном с неустойчивостью классических фазовых траекторий X t) = q t) p t)) и квантовых состояний Ф( )) если нас интересует поведение системы на не слишком малых интервалах времени, то микроскопические детали ее начального состояния становятся несущественными и количество параметров, необходимых для описания системы, уменьшается. Эта идея сокращенного описания многочастичных систем была впервые высказана Боголюбовым и использована им для вывода кинетических уравнений из уравнения Лиувилля [7]. [c.79]

Это эргодическое условие означает, что в отдаленном прошлом Д/ -частичная функция распределения распадается на произведение одночастичных функций. Иначе говоря, условие (2.4.37) соответствует предположению, что эволюция системы начинается из состояния, в котором отсутствуют корреляции между частицами. Корреляции затем восстанавливаются благодаря динамическим процессам в системе. Фактически точно такое же предположение было использовано Боголюбовым при выводе кинетических уравнений из уравнения Лиувилля [7]. В дальнейшем метод Боголюбова был развит многими авторами (см., например, [35, 57]). Важно подчеркнуть, однако, что эргодическое условие (2.4.36) является значительно более общим, чем условие Боголюбова (2.4.37), так как распределение Qq t) может описывать состояние, в котором уже [c.131]

Хорошо известно, что простейшими моделями в равновесной статистической механики ЯВЛЯЮТСЯ системы с малой плотностью или со слабым взаимодействием, так как изучение каждой из них можно начинать с очень простого нулевого приближения — системы свободных частиц. Аналогичная ситуация имеет место и в теории неравновесных процессов. Как отмечено в разделе 2.1.1, для разреженного газа и для систем со слабым взаимодействием можно ввести кинетическую шкалу времени или, как ее иногда называют, кинетическую стадию эволюции. На этой стадии все многочастичные функции распределения полностью определяются одночастичной функцией распределения. При этом основная задача состоит в том, чтобы получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения. В настоящей главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к выводу кинетических уравнений для классических систем и рассмотрим несколько типичных примеров. [c.163]

В настоящее время классическую кинетическую теорию можно считать хорошо разработанным разделом неравновесной статистической механики. Благодаря усилиям многих авторов, существует различные подходы к выводу кинетических уравнений из первых принципов статистической механики (см., например, [35, 57, 138]) и математические методы, позволяющие получить аналитические решения кинетических уравнений или, по крайней мере, вычислить коэффициенты переноса [66, 78]. [c.163]

Зависимость приведенных функций распределения от концентрации п = N/V будет играть важную роль при выводе кинетических уравнений. Из формулы (3.1.14) ясно, что fg пропорциональна В частности, одночастичная функция распределения fi x,t) имеет первый порядок по концентрации ). [c.167]

Кинетическое уравнение Больцмана. В качестве простого применения цепочки уравнений (3.1.16) рассмотрим вывод кинетического уравнения Больцмана для разреженного газа. В этом случае безразмерный параметр плотности п = пгц предполагается настолько малым, чтобы можно было оборвать цепочку, используя некоторое приближение по этому параметру. [c.168]

Если вычислить интеграл столкновений (3.4.14) с точностью до второго порядка по взаимодействию, то мы получим кинетическое уравнение Ландау. Фактически большая часть этой работы уже проделана нами в разделе 3.2.4 при выводе кинетического уравнения для систем со слабым взаимодействием. Поэтому здесь нам предстоит лишь уточнить некоторые детали, связанные с наличием частиц нескольких сортов и спецификой кулоновского потенциала. [c.220]

Рассеяние электронов на примесях в кристаллах. В качестве еще одного примера применения групповых разложений в квантовой кинетической теории, рассмотрим вывод кинетического уравнения для электронов, взаимодействующих с примесными атомами. Отметим, что электронно-примесные системы довольно часто встречаются в неравновесной статистической механике. Во-первых, во многих случаях проводимость металлов и полупроводников существенным образом зависит от рассеяния электронов на примесях, которые всегда присутствуют в кристалле. Во-вторых, электронно-примесные системы относительно просты и могут служить для иллюстрации и сравнения различных методов в теории необратимых процессов. [c.274]

Перейдем теперь к выводу кинетического уравнения для электронно-примесной системы. Прежде всего нам нужно ввести одночастичную матрицу плотности. [c.276]

Все эти предположения кажутся вполне естественными, если взаимодействие в системе можно считать слабым. Используем их теперь для вывода кинетического уравнения. [c.309]

Теперь мы хотим решить уравнение (4Б.8) и найти зависимость функции распределения /(р) от поля. Однако мы сталкиваемся с новой проблемой. Дело в том, что в изолированной электронно-примесной системе, находящейся во внешнем электрическом поле, не может установиться стационарное состояние из-за выделения джоулева тепла. В реальном кристалле энергия, получаемая электронами от поля, поглощается затем термостатом (атомами кристаллической решетки), но при выводе кинетического уравнения взаимодействие с термостатом не учитывалось. Поэтому физический смысл решения кинетического уравнения (4Б.8) и возможность его использования для вычисления проводимости вовсе не очевидны. Так как джоулево тепло пропорционально квадрату напряженности электрического поля, то фактически уравнение (4Б.8) применимо лишь для вычисления линейной реакции электронов на электрическое поле. [c.331]

Так как равновесные корреляционные функции операторов (5.4.4) зависят от разности пространственных аргументов, при выводе кинетического уравнения удобнее работать с фурье-компонентами [c.387]

Хотя сами ПО себе формулы (6.3.31) являются всего лишь соотношениями между массовым оператором и гриновскими функциями, достоинство уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) состоит в том, что многие важные величины в кинетических уравнениях, включая интегралы столкновений, удается выразить через элементы массового оператора 11(1,1 ). Таким образом, найдя некоторое приближенное выражение для двухчастичной гриновской функции через одночастичные, из формулы (6.3.31) можно найти соответствующее приближение для элементов массового оператора, а затем и для интеграла столкновений. В сущности, это и есть обычный способ вывода кинетических уравнений в технике временных функций Грина. [c.47]

Обобщенное кинетическое уравнение. Мы теперь кратко обсудим схему вывода кинетического уравнения из уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Как уже отмечалось, нас интересует главным образом уравнение для корреляционной функции <(1,1 ). Каждое из уравнений Дайсона, однако, есть на самом деле система связанных уравнений. Поэтому мы должны рассмотреть уравнения для всех функций (6.3.7) - (6.3.10). [c.47]

Нри выводе кинетического уравнения методом функций Грина нас интересует, в основном, поведение корреляционных функций типа (6.3.97) с близкими значениями аргументов и 2, поэтому, как и раньше, удобно отделить медленную и быструю эволюцию в (6.3.98). Для этого введем соответствующие переменные t = + 2)/ и г = — 2, а также положим Т = t. Тогда корреляционная функция записывается как [c.59]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

В реальном газе между частицами есть взаимодействие. Больцман в своем выводе кинетического уравнения основывался на тон факте, что в результате взаимодействия частиц происходят их столкновения [1]. При этом благодаря малой плотности газа можно учитывать лишь столкновения двух частиц друг с другом и полностью пренебрегать влиянием на такое соударение остальных частиц газа. Поскольку и при наличии столкновений по-прежнему имеет место пересечение частицами границ фазового объема, то запишем искомое кинетическое уравнение в виде [c.23]

Мы поставим перед собой задачу показать, как осуществляется переход от механического (или, как чаще говорят, динамического) рассмотрения системы многих частиц к кинетическому, уже использовавшемуся нами, методу описания газов. При этом мы изложим выводы кинетических уравнений, основанные на классической и квантовой статистической механике систем многих частиц. [c.174]

В пособии, написанном в соответствии с программой по теоретической физике, утвержденной Минвузом СССР, приведен материал второй части курса термодинамики и статистической физики (Ч. I Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем — 1986 г.). Излагаются общий метод вывода кинетических уравнений по Боголюбову и получение этим методом газокинетического уравнения Больцмана и кинетического уравнения Власова для плазмы. Рассматриваются вопросы теории брауновского движения, случайных процессов и процессов переноса, а также новые вопросы, определяющие перспективы развития термодинамики и статистической физики самоорганизация сильно неравновесных систем, численные методы в статистической физике — метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики. [c.2]

Поскольку на кинетической и гидродинамической стадиях эволюции свойства неравновесной системы определяются одночастич-яой функцией распределения 1(я, р, t), то центральной задачей неравновесной статистической физики (физической кинетики) является вывод кинетических уравнений для различных систем, их решение и различные приложения. В нашем курсе эта задача решается методом функций распределения Боголюбова. [c.101]

Используя при выводе кинетического уравнения (7.23) или (7.25) предположение о мультипликативности бинарной функции распределения (7.18) до и после столкновения, выражающее пре- [c.114]

Уже сам Больцман подчеркивал, что вывод газокинетического уравнения основывается не только на законах механики, но и на чуждом механике вероятностном предположении при вычислении числа столкновений (5 552аЫапза12), согласно которому вероятность данной молекуле иметь при столкновении скорость V не зависит от вероятности другой молекуле иметь скорость Уь Однако такой ответ не содержал прямой связи между уравнением Лиувилля и кинетическим уравнением Больцмана. Вывод кинетического уравнения Больцмана методом функций распределения Боголюбова позволяет установить, на каком этапе этого вывода вносится неинвариантность уравнения Больцмана относительно обращения времени. Именно использование при решении уравнения для нулевого приближения бинарной функции распределения 2 (необходимое для получения газокинетического уравнения) в качестве граничного условия ослабления корреляции в отдаленном прошлом (7.10) (до столкновения частиц), проводя различие между прошлым и будущим, вводит в кинетическую теорию необратимость. Вследствие этого граничного условия мы получаем необратимое по времени кинетическое уравнение Больцмана при его выводе из обратимого уравнения Лиу- [c.126]

К приложениям газокинетического уравнения Больцмана мы в дальнейшем еще вернемся, а сейчас изложим вывод кинетического уравнения для плазмы — системы частиц с дальнодейству-ющими силами взаимодействия. [c.127]

Книга Р. Балеску посвящена систематическому изложению равновесной и неравновесной статистической механики классических и квантовых систем. В переводе она разбита на два тома первый из них посвящен равновесной, а второй — неравновесной статистической механике. Автор книги — профессор теоретической физики Брюссельского университета — хорошо известен своими работами по статистической механике заряженных частиц в частности, ему принадлежит вывод кинетического уравнения плазмы с учетом динамической поляризахщи (уравнение Балеску — Ленарда). Его книга Статистическая механика заряженных частиц была опубликована в русском переводе издательством Мир в 1967 г. [c.5]

Изложим вкратце идею вывода кинетических уравнений различного порядка по плотности. Существует большое количество методов этого вывода, но все они представляют собой варианты так называемого разложения по парным столкновениям, введенного в равновесную теорию Сигертом и Терамото, а также Янгом [c.281]

Напомним, что основы классической кинетической теории были заложены Максвеллом [123] и Больцманом [60] более 100 лет назад. Нри выводе своего знаменитого кинетического уравнения для разреженного газа Больцман выделил два механизма изменения одночастичной функции распределения со временем динамический процесс инерционного движения молекул и стохастический процесс парных столкновений. Больцман привлек гипотезу молекулярного хаоса (Stofizahlansatz), согласно которой перед каждым столкновением между молекулами, участвующими в столкновении, отсутствуют корреляции. Если плотность газа мала, то это интуитивное допущение Больцмана кажется вполне разумным, но оно явно не выполняется для более плотных систем, когда необходимо учитывать многочастичные столкновения. Более общий метод вывода кинетических уравнений был разработан Боголюбовым в его монографии [7], существенно повлиявшей на все последующее развитие кинетической теории. В методе Боголюбова кинетическое уравнение выводится из уравнения Лиу-вилля с граничным условием ослабления начальных корреляций между частицами. Это условие, налагаемое лишь один раз в отдаленном прошлом, заменяет больцманов-ский Stofizahlansatz. Главным достоинством метода Боголюбова является то, что он указал путь к выводу более общих кинетических уравнений, чем уравнение Больцмана или его простейшие модификации. [c.163]

Итак, мы видели, что для учета эффектов обрезания траекторий частиц на длине свободного пробега необходимо просуммировать бесконечную последовательность членов в цепочке уравнений для приведенных функций распределения. Типичный подход к решению подобных проблем состоит в применении диаграммной техники , дающей графическое представление рассматриваемых величин и позволяющей сформулировать простые правила, с помощью которых может быть выписан любой член теории возмущений. В классической кинетической теории диаграммная техника такого рода была впервые разработана Балеску [56, 57]. В настоящем разделе будет рассмотрен ее вариант [26], который позволяет в удобной форме учесть граничные условия для приведенных функций распределения. Будут сформулированы правила построения диаграмм для приведенных функций распределения и интеграла столкновений в любом порядке теории возмущений по плотности. Кроме того, мы рассмотрим несколько простых примеров вывода кинетических уравнений с помощью диаграммного метода. [c.181]

В этом параграфе мы обсудим некоторые вопросы, связанные с выводом кинетических уравнений для неидеальных газов с сильным межчастичным взаимодействием. Сначала мы рассмотрим немарковские поправки к интегралу столкновений Больцмана и вклад трехчастичных столкновений. Затем будет показано, как методом частичного суммирования диаграмм можно получить сходящийся интеграл столкновений для умеренно плотных газов. Последние два раздела посвящены многочастичным корреляциям в плотных газах, которые учитываются путем введения новых граничных условий для цепочки ББГКИ. [c.197]

Интеграл столкновений для квантовой нлазмы. В качестве первого примера рассмотрим вывод кинетического уравнения для квантовой плазмы в приближении парных корреляций. Напомним, что уравнение Власова (см. раздел 4.1.4) описывает бесстолкновительную плазму. Теперь мы получим выражение для интеграла столкновений с учетом динамической экранировки кулоновского взаимодействия. [c.285]

Квантовое уравнение Энскога. Мы применим теперь квазирав-повеспый статистический оператор (4.3.35) для вывода кинетического уравнения в рамках приближения парных корреляций, сформулированного в разделе 4.3.1. Для определенности будем считать, что система описывается гамильтонианом (4.3.32) или, что то же самое, гамильтонианом (4.2.1). Предположим также, что потенциал Ф соответствует малому радиусу взаимодействия и поэтому эффекты экранирования можно не учитывать. [c.291]

Приведенный вывод кинетического уравнения (4.4.40) довольно прост. Следует, однако, отметить, что в таком виде кинетическое уравнение не всегда оказывается удобным для использования. В частности, возникают серьезные проблемы в пределе а О, который соответствует переходу к статическому полю. Действительно, в выбранной калибровке Ад 00 при а О, если Eq = onst. Поэтому, как видно из (4.4.33), в статическом пределе Лр оо. Ясно, что величины рр/( , t ) определяемые формулой (4.4.39), также расходятся при а 0. Иначе говоря, в области низких частот интегралы столкновений (4.4.41) и (4.4.42) сингулярны. Это обстоятельство сильно затрудняет решение кинетического уравнения. Покажем, что отмеченные трудности устраняются при использовании калибровочно-инвариантной функции Вигнера. [c.304]

Уравнения (6.3.40) и (6.3.42) для временных корреляционных функций известны как уравнения Каданова-Бейма. Чуть нозже мы увидим, что они играют важную роль нри выводе кинетического уравнения для одночастичной матрицы плотности. [c.49]

Связь между функциями Грина и одночастичной матрицей плотности. Уже отмечалось, что при выводе кинетического уравнения методом функций Грина требуется найти выражения для временных корреляционных функций через функцию Вигнера / . В предыдущем разделе эта проблема была решена в простейшем квазичастичном приближении. Результатом являются соотношения (6.3.79) и (6.3.80). Исключая функцию Вигнера с помощью формулы (6.3.64), легко также записать корреляционные функции через одночастичную матрицу плотности. [c.56]

Теперь становится ясно, почему метод функций Грина является эффективным для вывода кинетического уравнения только в тех случаях, когда система достаточно хорошо описывается в квазичастичном приближении. Дело в том, что при использовании разложений по временным производным д/dt неявно предполагается, что свойства g t) близки к свойствам начального статистического оператора т. е. в любой момент [c.60]

Для продуктивного использования функций распределения частиц газа необходимо знать законы, по которым такие функции меняются. Иными словами, следует установить вид уравнений, которым такие функции подчиняются. Такие уравнения называются кинетическими. В следующих параграфах мы запишем такие уравнения, исходя из иитуитивных физических соображений. Впоследствии будет дан вывод кинетических уравнений на основании микросконической динамической теории такой системы многих частиц, каким является газ. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...