Начальная функция распределения

Полагаем, что начальная функция распределения капель фо задана непрерывной. Тогда на основании [8-8, 8-9] изменение функции распределения из-за коагуляции при учете только парных взаимодействий может быть описано уравнением [c.200]

Разумеется, соотношение (2.2.6) подразумевает определенный выбор функции распределения F q, р) в данный момент времени t = 0) это не механическая задача. Начальную функцию распределения следует выбирать так, чтобы она наилучшим образом представляла всю ту информацию о системе, которой мы обладаем. Обш 1й подход к проблеме такого выбора был качественно рассмотрен нами в разд. 2.1, и к этой проблеме мы еще не раз будем возвращаться на протяжении всей книги. Однако, как только такой выбор сделан, последующая эволюция распределения жестко определена законами точной механики. Рассмотрим этот вопрос несколько детальнее. [c.54]

Если известна начальная функция распределения частиц по размерам, то нелинейный коэффициент ослабления а вычисляется путем интегрирования (4.2). Этот путь эффективен, когда задача [c.100]

Как следует из Я-теоремы, в результате столкновений функция распределения стремится к наиболее вероятной. Предположим, что функция распределения молекул после столкновения является наиболее вероятной при заданных числе сталкивающихся частиц, их импульсе и энергии. Это предположение в какой-то мере оправдывается тем, что свободная система частиц стремится к равновесию по экспоненциальному закону (см. 3.3, 4.1) и характерным временем затухания является время между столкновениями. Уже в результате одного столкновения система с произвольной начальной функцией распределения переходит в состояние, близкое к равновесному. Частица со скоростью I участвует в Ап столкновениях, принося с собой импульс тАп. Следовательно, импульс Р всех столкнувшихся молекул равен [c.74]

Естественно, возникает вопрос, каким начальным и граничным условиям должны удовлетворять справедливые во внутренних точках уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. п. Легко видеть, что решение гидродинамических уравнений, полученное по начальным гидродинамическим данным, вычисленным по истинной начальной функции распределения, отличается на величину порядка от асимптотического решения, к которому стремится при t— и >0 решение модельного уравнения Больцмана, хотя это последнее решение асимптотически Удовлетворяет тем же гидродинамическим уравнениям. Действительно, запишем (6.3) и (6.4) соответственно в виде [c.130]

Если бы функция б была известна, то решение неоднородных гидродинамических уравнений с начальными гидродинамическими данными, вычисленными по заданной начальной функции распределения, представляло бы во внутренних точках решение уравнения Больцмана. [c.130]

То, что решение уравнения Больцмана может быть представлено в виде ряда (7.3) лишь для специального класса функций, видно и из следующего. Пусть ищется решение уравнения (7.1) при начальной функции распределения /(О, х, ), не зависящей от е. Тогда при = О все функции = О для fe > 0. Но так как уравнения (7.14) неоднородны, то при > О функции О и решение f(t, х, е) [c.139]

Хотя каждое ф, -решение при t = Q является функцией от , комбинируя их, оказывается возможным удовлетворить начальным условиям, не зависяш,им от . Приведенная процедура позволяет, в принципе, удовлетворить произвольным начальным условиям, и поэтому решение (7.31) дает обш,ее решение уравнения (7.21), в то время как процедура Гильберта позволяла удовлетворить лишь специальным начальным условиям и построить лишь специальный класс решений уравнения Больцмана. Но из (7.31) видно, что при общее решение экспоненциально стремится к ф , т. е. к решению Гильберта. Однако это предельное гильбертово решение отлично на величину порядка от решения, которое получилось бы при непосредственном отыскании решения Гильберта с теми же начальными условиями. Действительно, так как начальная функция распределения (7.30) не зависит от , то в методе Гильберта необходимо принять, что о< )(0, лО = 0 при А > О, в то время как при построении решения (7.31) в общем случае О ). Для нахождения правиль- [c.142]

Для полного нелинейного уравнения Больцмана решение, с помощью которого можно удовлетворить произвольной начальной функции распределения, можно искать в виде, аналогичном [c.143]

Как и метод Гильберта, метод Энскога — Чепмена не позволяет решить задачу с произвольной начальной функцией распределения /, так как эта теория учитывает лишь начальные гидродинамические величины (первые моменты от /). В то же время решение уравнения [c.153]

Больцмана стремится к некоторому решению Энскога — Чепмена при гидродинамические начальные условия для которого отличаются на величину порядка б от начальных гидродинамических величин, вычисленных по начальной функции распределения /. Для установления правильных начальных и граничных условий необходимо исследование структуры начального или граничного слоев О 0(6)1). [c.154]

В рассмотренной же выше задаче заданная начальная функция распределения не является решением задачи. Истинная функция распределения начнет перестраиваться. Поэтому естественно ограничить время слежения за выбранной пробной молекулой временем, в течение которого функция распределения меняется мало. Следовательно, для моделирования физического процесса время слежения S.t должно удовлетворять неравенству [c.227]

Назовем процесс слежения за одной пробной молекулой циклом. Время, проводимое каждой из пробных частиц в ячейках, суммируется. Когда отношение этого времени к полному времени испытания (время всех циклов) установится во всех ячейках, можно принять эти установившиеся величины за новую начальную функцию распределения и повторить весь процесс сначала. Расчет заканчивается, когда получаемая функция распределения не отличается с необходимой точностью от функции распределения предыдущего приближения. [c.227]

Скорость СХОДИМОСТИ процесса, конечно, в существенной мере зависит от того, насколько удачно выбрана начальная функция распределения. [c.228]

Так как интегрирование ведется от -]- и — бесконечности, то экспоненциально затухающий член, содержащий начальную функцию распределения, пропадает. [c.303]

Можно определить класс допустимых начальных функций распределения более точно. Пусть начальный опыт выделил какую-либо допустимую , в смысле условий 8 и 17, область АГ(з. Мера точек данного макроскопического состояния (АГ ), приводящих к переходу в менее равновесное состояние, равна мере точек этого менее равновесного состояния. Поэтому отношение мер точек исходной макроскопической области ДГ , приводящих к течению процесса по уравнениям кинетики, к мере точек, приводящих к течению процесса, нарушающему [c.113]

Считая, что в момент i = О одна из ограничивающих поверхностей газа расположена при а = О, а вторая —при х = — имеем для начальной функции распределения выражение [c.91]

Установить связь между заданной начальной функцией распределения и решением по Гильберту, справедливым после начального переходного процесса. [c.129]

Отношение Т /Тц указывает на существование приблизительного термодинамического подобия условий гомогенной нуклеации. Для малых объемов большинства исследованных солей и металлов это отношение лежит в пределах от 0,79 до 0,84. Вероятная эффективная частота зародышеобразования Jl в опытах [147] порядка 10 — 10 см -сек . Но сами авторы принимают гораздо более высокое значение 10 [148]. Они считают, что возможны большие времена запаздывания т з в переохлажденных жидкостях. Их анализ основан на подходе Фриша [52] к расчету Т3. Букле [149] принимает такую начальную функцию распределения [c.166]

В самом деле, неопределенность начальных данных можно учесть тем, что при г = О в фазовом пространстве создается "капля" функции распределения. При дальнейшей эволюции замкнутой системы каждая точка такой капли движется по единственной строго определенной траектории. Траектории разбегаются, так что очень скоро в фазовом пространстве образуется "вата" или "паутина", заполненная точками начальной функции распределения. Чтобы упростить описание этой [c.178]

N,. .. определяется основным кинетическим уравнением (см. задачу 26.3). Предположим, что осциллятор необратимо диссоциирует, как только его колебательная энергия достигает значения (iV + l)/гv. Вычислить среднее время диссоциации (т. е. время достижения этого уровня энергии), если начальной функцией распределения осцилляторов является Р п, 0) = б г. где г — целое число, удовлетворяющее условию О г ТУ. [c.590]

Будем также считать, что начальное возмущение мало начальная функция распределения электронов [c.172]

Если заданы начальная функция распределения р(г, 0) и соот-, ветствующие граничные условия, то решение этого уравнения можно записать в виде [c.235]

По истечении времени t t ( с=0.5) максимум функции распределения сдвигается в сторону больших пузырьков И=1.25 (характерный объем пузырьков теперь равен максимальному объему в начальный момент времени). Через время 2=5.25 (т=0.16) максимум еще больше сдвигается В = 1.75 (см. рис. 54). [c.162]

Общепринятым является разбиение всего диапазона энергий на два интервала первый — от начальных высоких энергий до 80—100 Мэе, где сечение можно считать не зависящим от энергии, и второй — от 80—100 Мэе до самых низких, где сечения существенно зависят от энергии. При решении задачи в целом функция распределения, определенная для первого интервала энергий, является источником в задаче для второго интервала. [c.255]

Таким образом, многочастичная физическая система обладает несколькими резко разграниченными временами релаксации ее приближение к равновесию происходит в несколько этапов. При этом в процессе эволюции через относительно большие промежутки времени сокращается число параметров, необходимых для описания состояния системы. На начальной стадии эволюции системы необходимо знать не меньше, чем Л -частичную функцию распределения, а при приближению к конечной, равновесной, стадии достаточно знать лишь локальные термодинамические функции, дающие менее подробное описание системы. [c.101]

В задаче (4.19) и и х, t) —искомая функция —температура функция ф (х) известна и задает начальное условие — распределение температур и (х, 0) в начальный момент времени t = 0 функции (t), v )2 (t) также известны и вместе с операторами Lri и, Ьг2 и задают краевые условия на концах стержня функция / (х, t) известна и определяет подвод (отвод) тепла в точках стержня если левое краевое условие (4.19)— 1 рода, то функции (f> (х), 5i (О удовлетворяют условию согласованности ф (0) = (0), определяющему температуру на левом конце стержня в момент / = 0 аналогично, если правое краевое условие — I рода, то выполняется условие согласованности ф (I) = 32 (0) множители /ij, /la положительные и могут быть функциями времени или постоянными знак минус при производной в краевом условии [c.129]

Принцип наследственности утверждает, что производство может изменять от образца к образцу начальные значения vo параметров v согласно некоторой функции распределения [c.40]

Сущность метода моментов состоит в следующем. Известно, что параметры функций распределения в большинстве случаев выражаются через начальные или центральные моменты. Обычно берут столько моментов, сколько параметров входит в функцию распределения. По опытным данным вычисляют эмпирические моменты, приравнивают их теоретическим моментам, а затем, решая систему уравнений, связывающую параметры и моменты, получают оценки соответствующих параметров. Например, экспоненциальное распределение имеет один параметр Я [c.124]

Таким образом, задача определения эффективности функционирования системы свелась к задаче определения начальных моментов распределения числа нормально функционирующих исполнительных элементов системы. Как известно, эти моменты легко находятся на основании соответствующих моментных производящих функций. [c.233]

При заданной начальной функции распределения /(ч, р, 0) кинетическое уравнение Больцмана, как показал Т. Карлеман (1932), имеет единственное по- [c.126]

Было проведено десять вариантов расчета без уче та коагуляции. В первых четырех вариантах Шо=10 15 20 25 м/с i o3= 126,1 мкм К —7,62. Начальная функция распределения принималась согласно измерениям [8-6]. Четыре следующих варианта расчета отличались только начальной функцией распределения, соответствующей более тонкому дроблению. Средний объемный радиус для этой функции равнялся 43,6 мкм. В двух последних вариантах Wq— 5 м/с К= 10,67 17,78. Функция распределения Фо взята такой же, как и в первых четырех вариантах. [c.207]

Проблема суш,ествовапия решений уравнения Больцмана изучена лишь для задачи с начальными условиями в безграничной области и для молекул с конечным радиусом взаимодействия (с обрезанным потенциалом взаимодействия). Для пространственно-однородного случая теорема существования доказана как для молекул-шаров 2), так и для псевдомаксвелловских молекул ) для полного нелинейного уравнения Больцмана. Для линейного уравнения доказана теорема существования и изучено асимптотическое поведение решений для задачи с начальными условиями, зависяш.ими от пространственных координат ), Пространственно-неоднородная задача для нелинейного уравнения Больцмана рассмотрена Градом 5). Однако существование решений доказано для времен тем меньших, чем больше начальная функция распределения отличается от равновесной. Таким образом, для времен макромасштаба существование доказано лишь для малых начальных возмущений. [c.79]

Пусть отыскивается решение уравнения Больцмана при заданной функции распределения в момент =0 ). В безразмерных переменных в уравнение Больцмана и в начальную функцию распределения входит для конкретной задачи фиксированной значение числа Кнудсена (параметра д) ). Отыскивая решение уравнения Больцмана в виде ряда по , в конечном счете необходимо положить е равным его фиксированному значению д. Легко видеть, что параметр е можно ввести в начальную функцию распределения бесконечным множеством способов, подчиненных единственному условию, чтобы при = о начальная функция /(О, X, I, ) совпадала с заданной. Введя тем или иным путем в начальную функцию распределения малый параметр е, ее можно представить в виде ряда [c.137]

В истинную начальную функцию распределения длина пробега а гл1 до1 птельно и о- не входит. Однако в рассматриваемую начальную функ-л,и1о распределения вне слоя Кнудсена может входить, так как эта функция получается в результате решения содержащего X уравнения Больцмана [c.137]

Задача существенно упрощается д ш частного случая начальных условий, когда начальная функция распределения /(О, х, ) локальномаксвелловская /ц (X, I). В этом случае Д°>(0, х, ) = 0, а так как уравнение (7.42), которому удовлетворяет функция / ( > однородно, то функция /№ тождественно равна нулю во все мо- [c.144]

Естественный путь отыскания решений интегральных уравнений — это метод итераций. Этот метод применялся к обеим приведенным формам интегральных уравнений для доказательства существования решений уравнения Больцмана при заданной в начальный момент времени функции распределения ). Как уже отмечалось, сходимость метода для конечного интервала времени доказана лишь для пространственно-однородного случая и молекул с конечным радиусом взаимодействия (для сфер — Карлеманом и для псевдомаксвелловских молекул — Моргенштерном). Если начальная функция распределения зависит от X, то сходимость последовательных приближений удается доказать лишь для малого интервала времени (Град). [c.221]

Однако опыт расчетов (см., например, 4.2 и 4.4) показывает, что условие (15.5) является излигпне, жестким и что процесс сходится и при значительно большем времени слежения. Очевидно, что время слежения может быть увеличено, если начальная функция распределения близка к искомой. [c.227]

Показателями безотказности для изделий перемонтируемых или заменяемых после первого нарушения работоспособности могут служить, например, вероятность безотказной работы, интенсивность отказов. Вероятность безотказной работы определяется по формуле Р t) = 1 — F ), где F ) — функция распределения времени работы объекта до отказа. Статистически вероятность безотказной работы определяется отношением числа объектов, безотказно наработавших до момента времени t, к числу объектов, работоспособных в начальный момент времени t = 0. Определение интенсивности отказов базируется на применяемом в теории надежности понятии плотности вероятности отказа в момент t, под которой понимается предел отношения вероятностей отказа в интервале времени от / до -Ь А/ к величине интервала Л/ при Л/ -> 0. [c.31]

НИИ от г до r- -dr от Hei OTOporo начального равно 4лг2р(г)с г. Это выражение называют радиальной функцией распределения атомов. Функция 4лг2р(г)(1г имеет максимумы на расстояниях, соответствующих межатомным. Площадь под каждым пиком радиальной функции распределения определяет координационное число. [c.354]

Дисперсия логарифма скорости развития трещины вдоль линии регрессии изменяется незначительно. Критерий однородности дисперсий по Бартлету проходит с уровнем значимости а от 0,05 до 0,5. Величина осредненной дисперсии логарифма скорости развития трещины составляет в у = 0,0625 и = 0,0502 для левого и правого участков линии регрессии соответственно. Полученные таким образом числовые характеристики рассеивания параметров кинетического уравнения Пэриса (11) и уравнения линии регрессии (13) дают возможность рассчитать функции распределения долговечности N0 элемента конструкции на стадии живучести, т. е. при увеличении длины трещины усталости пли размера начального дефекта от до 4- [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...