Локально равновесное распределение

Локальное равновесное распределение Максвелла в газе наступает до установления полного равновесного однородного или абсолютного максвелловского распределения атомов по скоростям. Оно определяется из решения функционального уравнения [c.136]

Локально равновесное распределение имеет вид [c.687]

В этом параграфе понятие квазиравновесного распределения иллюстрируется несколькими типичными примерами. Мы введем локально-равновесное распределение для классической жидкости, квазиравновесные распределения для классических и квантовых газов, диагональное квазиравновесное распределение для квантовых систем и квазиравновесное распределение для систем, состоящих из слабо взаимодействующих подсистем. [c.88]

В данном случае общее выражение (2.1.20) для квазиравновесного распределения принимает вид локально-равновесного распределения [c.89]

Рассмотрим теперь функционал энтропии (2.1.23) для локально-равновесного распределения (2.2.5). Используя опять формулу (2.2.10), где это распределение записано в новых фазовых переменных, находим, что [c.91]

Производную Df /Dt в правой части уравнения (ЗА.22) можно явно выразить через гидродинамические переменные. С этой целью подействуем оператором D/Dt на локально-равновесное распределение Максвелла (ЗА. 19) и затем исключим производные гидродинамических переменных по времени с помощью уравнений баланса (ЗА.14) - (ЗА.16). Тензор давления и поток тепла [см. (ЗА.17)] вычислим в нулевом приближении по 5/, т. е. полагая / = /о- Для теплового потока при этом получаем q = О, а для тензора давления = Р 6 , где [c.237]

Отметим, что в данном случае локально-равновесное распределение Qi t ) и микроскопические потоки J r t ) в формуле (8.1.10) зависят от времени только через медленно меняющиеся термодинамические параметры Поэтому, пренебрегая эффек- [c.161]

Сначала займемся параметрами t), сопряженными локальным динамическим переменным а г) [см. (8.2.18)]. Запишем локально-равновесное распределение для жидкости в виде [c.166]

С помощью оператора U локально-равновесное распределение (8.2.20) можно записать в виде [c.170]

Из-за взаимодействия между молекулами различных сортов плотности энергии вс (г) и плотности импульса j (r) отдельных компонентов не сохраняются. Если на макроскопической шкале времени обмен энергией и импульсом между компонентами происходит медленно, то можно рассматривать парциальное локальное равновесие, которое характеризуется средними величинами ёс г)) и пс г))К Это означает, что компоненты имеют различные локальные температуры Т (г, ), массовые скорости v (r, ) и химические потенциалы /х (г, ). В этом случае уравнения баланса будут описывать не только процессы переноса, но и релаксационные процессы, т. е. установление локального равновесия между компонентами. В дальнейшем мы ограничимся достаточно медленными процессами, в которых все компоненты имеют одну и ту же локальную температуру T r,t) = l/P r,t) и общую массовую скорость v(r, ). Тогда в качестве квазиравновесного распределения можно взять локально-равновесное распределение [c.179]

Все динамические переменные в локально-равновесном распределении (8.3.11) удовлетворяют законам сохранения. В матричной форме соответствующие уравнения движения выглядят как [c.179]

В результате канонического преобразования (8.3.16) локально-равновесное распределение (8.3.11) в новых фазовых переменных принимает вид [c.180]

При выводе локально-равновесного распределения будем следовать обычной процедуре, основанной на принципе максимума информационной энтропии для заданного набора наблюдаемых. В данном случае роль наблюдаемых играют величины (8.4.19) и (8.4.23). Поэтому, вводя множители Лагранжа, ищем абсолютный экстремум функционала (фиксированный аргумент t для краткости опустим) [c.192]

Из условия экстремума SS = S lg - - Sg] — S lg ] = О находим локально-равновесное распределение [27] [c.192]

Локальные термодинамические соотношения. Чтобы выяснить физический смысл параметров в локально-равновесном распределении (8.4.25), выведем термодинамические равенства для сверхтекучей жидкости. [c.193]

В принципе, может быть вычислена с помощью локально-равновесного распределения (8.4.37). [c.195]

Для идеальной сверхтекучей жидкости средние значения в (8.4.61) и (8.4.62) вычисляются с локально-равновесным распределением, т. е. система гидродинамических уравнений записывается в виде [c.197]

ЧТО С ПОМОЩЬЮ локально-равновесного распределения все члены в гидродинамических уравнениях для идеальной сверхтекучей жидкости довольно легко находятся из тождества (8.4.53) и правил преобразования операторов потоков ). [c.200]

Начнем с доказательства тождества (8.2.55). Для упрощения обозначений будем записывать й (г) в виде предполагая, что суммирование по т включает интегрирование по координатам. Тогда локально-равновесное распределение (8.1.5) принимает вид (фиксированный аргумент t опускаем) [c.210]

Она напоминает локально-равновесную фазовую функцию распределения, которая уже встречалась в гидродинамике [см. формулу (8.2.20)]. Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что физический смысл самих функций (8.2.20), (9.2.4) и входящих в них величин совершенно различен. Напомним, что локально-равновесное распределение g t) описывает состояние жидкости, задаваемое средними значениями базисных переменных (а (г)) , зависящими от времени. Эти средние связаны с параметрами /5(г, ), /х(г, ) и v(r, ) локально-равновесными уравнениями состояния. С другой стороны параметры /5(г), /х(г) и v(r) в распределении (9.2.4) определяются условиями (9.1.67) и, следовательно, являются функциями (или функционалами) от переменных ft (r). Тем не менее, формальное сходство локально-равновесного распределения (8.2.20) с распределением (9.2.4) позволяет распространить термодинамические соотношения на крупномасштабные флуктуации. [c.232]

Локально-равновесное распределение 159 [c.291]

Величина в члене релаксации есть локальное равновесное распределение, т. е. первый член (3.20). Допустим, что электрическое поле направлено по оси. с и является единственной силой, входящей в уравнение. В выражении для д//дг мы оставим только член наинизшего порядка, который можно получить, продифференцировав первое слагаемое в (3.20) по.г-. Для уравнения Больцмана тогда получим [c.295]

Единственный рассматриваемый нами случай, когда локально-равновесное распределение отлично от однородного равновесного распределения (13.1) (с постоянными Т и ц),— это измерение теплопроводности, при котором путем соответствующего подключения источников и (или) стоков тепла мы устанавливаем изменяющуюся в пространстве температуру Т (г). В этом случае, поскольку плотность электронов п должна оставаться постоянной ( для сохранения электрической нейтральности), химический потенциал также должен зависеть от пространственных координат, чтобы выполнялось условие ц (г) = (гед (п, Т (г)). Вообще говоря, локальная температура и химический потенциал могут зависеть не только от координат, но и от времени. См., например, задачу 4 в конце этой главы и задачу 1, п. б в гл. 16. [c.246]

Поскольку столкновения не меняют числа электронов, локально-равновесное распределение, фигурирующее в приближении времени релаксации (13.3), должно отвечать реально имеющейся мгновенной локальной плотности п (г, I). Следовательно, даже при постоянной температуре следует считать, что локальный химический потенциал имеет вид [c.261]

Более подробный анализ показывает, что этц требования должны выполняться лишь для уровней в интервале О кд Т) вблизи энергии Ферми. Это происходит потому, что окончательный вид функции распределения отличается от локально-равновесного распределения лишь в таком интервале энергий см., например, формулу (13.43). Поэтому последующий анализ относится не только к идеальному газу свободных электронов, но и к щелочным металлам, поверхности Ферми которых с высокой точностью сферичны,— необходимо лишь, чтобы при энергиях вблизи фермиевской рассеяние было достаточно изотропным. [c.324]

В статистич. физике А. т. входит в каноническое распределение Гиббса /=Z exp(—HikT), где Н — ф-ция Гамильтона системы, Z — статистич. интеграл. В статистич. теории неравновесных процессов А. т, вводится с помощью локально-равновесного распределения, подобного распределению Гиббса, но с А. т., зависящей от пространственных координат и времени. [c.10]

Для решения ур-ния (3) разработаны раал. методы, напр, метод Чепмена — Знскога, основанный на получении решении, зависящих от времени лишь через ср. плотность частиц г(г, ср. гидродинамич. скорость м(г, t) и темп-ру Т г, i), т. е. пять первых моментов ф-ции /. Эти решения близки к локально-равновесному распределению Максвелла (1) [c.359]

Возможность возрастания энтропии может быть обоснована методами статистич. механики, к-рая приводит к выражению для положительного локального производства энтропии, связанного с внутр. неравновесно-стью системы, что соответствует термодинамике неравновесных процессов. При этом для кинетических коэффициен пов получаются выражения, пропорц. пространственно-временным корреляц. ф-циям потоков энергии, импульса и вещества (Грина — Кубо формулы). Энтропия системы в неравновесном случае определяется через локально-равновесное распределение /лон ф-лой S = — Jfe <1п/лов)- Она соответствует максимуму информац. энтропии при условии, что средние локально-равновесные значения плотности энергии, импульса и числа частиц равны их средним значениям, причём эти средние вычислены с помощью ф-ции распределения, удовлетворяющей ур-нию Лиувилля (хотя /лок не удовлетворяет). Возрастание энтропии связано с отбором запаздывающих решений ур-ния Лиувилля. Опережающие решения должны быть отброшены, т. к. приводили бы к убыванию энтропии [6]. Отбор запаздывающего решения ур-ния Лиувилля осуществляется введением в него бесконечно малого члена, нарушающего его симметрию относительно обращения времени. [c.530]

В жидкостях теряют смысл понятия времени и длины свободного пробега частиц (неприменимо кинетич. ур-ние Больцмана для одночастичной ф-ции распределения). Аналогичную роль для жидкости играют величины Т1 II 1 — время и длина затухания пространственно-временных корреляционных функций динамич. переменных, описывающих потоки энергии и импульса Т1 и характеризуют затухание во времени и пространстве взаимного влияния молекул, т. е. корреляций. Для жидкостей полностью остается в силе понятие гид-родинамич. этапа Р. и локально-равновесного состояния. В макроскопически малых объемах жидкости, но ещё достаточно больших по сравнению с длиной корреляции локально-равновесное распределение устанавливается за время порядка времени корреляции (т т ) в результате интенсивного взаимодействия между частицами (а не только парных столкновений, как в газе) эти объёмы по-прежнему можно считать приближённо изолированными. На гндродивамич. этапе Р. в жидкости термодинамич. параметры и массовая скорость удовлетворяют таким же ур-ниям гидродинамики, теплопроводности и диффузии, как и для газов (при условии малости изменения термодинамич. параметров и массовой скорости за время т, и на расстояниях [c.328]

Локально-равновесное распределение служит вспомогательным распределением для определения понятия Э. неравновесного состояния, но не описывает необратимых переноса явлений. Потоки энергии и импульса, вычисленные с помощью/)(0, соответствуют потокам этих величин в идеальной гидродинамике. Неравновесная ф-ция распределения может быть получена как формальное решение ур-ния Лиувилля с нач. условием локального равновесия в нек-рый момент времени to f(t o) = exp[-r L(r-ro)]yi((o). Оператор Лиувилля L определяется через скобки Пуассона iLf= H, / . Это решение зависит от нач. состояния, к-рое реальная система должна забывать из-за корреляций между элементами среды. Можно считать, что пучок фазовых траекторий с различными to(—ос<Го<0 реализует ансамбль Гиббса для неравновесных состояний. Предполагая, что нач. состояния распределены с экс1Юненщ1альной вероятностью Г ехр[ — ( — о)/Г] (гипотеза об априорных вероятностях), получим неравновесную ф-цию распределения [c.618]

Хотя данная функция по общей форме и совпадает с функцией распределения Максвелла, ее характерные параметры п (q t), ч (ч t)> Р (ч в общем случае зависят и от координат, и от времени. В результате скорость и (q t) уже нельзя обратить в нуль с помощью преобразования Галилея. Распределение (12.2.30) называют локально равновесным распределением. Важно четко представлять себе, что такое распределение не есть равновесное раС1феделение, подобное однородному распределению Максвелла [c.61]

Локально равновесное распределение пршЧ)дно для состояний, не слишком далеких от равновесного, когда примениио гидродинамическое описание. Это означает, что мы ищем такие частные решения уравнения Лиу-вилля, которые зависят от времени фзшкционально лишь через плотности энергии, импульса и числа частиц. Понятие локально равновесного распределения можно обобщить, вводя квазиравновесное распределение, для которого исходный набор величин не обязательно совпадает с плотностями энергии, импульса н числа частиц, а может иметь более общий характер. Например, можно выбрать такие динамические функции, которые гфи усреднении дают частичные функции распределения, причем средние значения исходного набора величин по квазиравновесному распределению должны быть согласованы с нх истинным значением. Такой подход позволяет получать не только уравнения гидродинамики, но и кинетические уравнения различного типа. (См. гл. 4 в книге Д. Н. Зубарева, цитированной в гл. 17.)—Яриж. ред. [c.326]

Формулы (21.4.26) и (21.4.27) обладают замечательной компактностью. Они дают нам интеллектуальное удовлетворение, поскольку мы видим, что все коэффициенты переноса могут быть представлены в едином виде как интегралы от автокорреляционных функций микроскопических потоков. Они являются совершенно обощми в том отношении, что на характер межчастичного взаимодействия не налагается никаких ограничений. Однако допущение о локально равновесном распределении является чрезвычайно сильным его очень трудно обосновать в Л -частичной теории. Б разд. 13.4 было показано, что выражение для козффш аентов переноса, полученное на базе кинетического уравнения в низшем приближении, может быть представлено в форме (21.4.27) [см. [c.332]

Мы рассмотрели только простейший пример локально-равновесного распределения. Даже для классических газов и жидкостей в ряде случаев необходимо вводить более общие локально-равновесные распределения в зависимости от того, какими параметрами описывается неравновесное состояние. Например, если молекулы не сферич-ны, то нужно учитывать перенос момента импульса при столкновениях. Подобно тому, как ранее мы ввели среднюю массовую скорость v(r, ), можно ввести среднюю угловую скорость вращательного движения а (г, и построить соответствующее локальноравновесное распределение [47]. С термодинамической точки зрения угловая скорость а (г, ) является параметром, сопряженным средней плотности момента импульса ). [c.92]

Отметим, что квазиравновесные распределения, соответствующие кинетическому и гидродинамическому описаниям системы, являются частными случаями функции распределения (3.3.43). Действительно, положив /5(г, ) = О, мы возвращаемся к квазирав-новесному распределению (2.2.32) как было показано ранее, оно приводит к граничному условию Боголюбова. С другой стороны, функция распределения (3.3.43) совпадает с локально-равновесным распределением (2.2.5), если взять множитель Лагранжа a x t) в виде [c.209]

Другой вывод линеаризованных гидродинамических уравнений для сверхтекучей жидкости, основанный на локально-равновесном распределении, приведен в работе Хоэнберга и Мартина [85]. [c.200]

Выведем теперь термодинамические соотношения для неоднородной многокомно-нентной жидкости, описываемой локально-равновесным распределением (8.3.11) или, после преобразования (8.3.16) фазовых переменных частиц, распределением (8.3.18). [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...