Больцмана Н-функция

Понятие энтропия информации ввел один из авторов теории информации - Шеннон. Поводом для этого послужил чисто формальный признак функция Шеннона, связывающая информацию с числом N возможных событий в поведении системы, математически оказалась сходной с Н-функцией Больцмана. Мерой энтропии информации I по Шеннону служит не само число N, а его логарифм по основанию 2 [c.10]

Связь Н-функции Больцмана с энтропией. Неравновесная энтропия [c.120]

Введем Н-функцию Больцмана [c.45]

Из кинетич. ур-ния следует Больцмана Н-теорема — убывание со временем Я-функции Больцмана ср. логарифма ф-ции распределения) или возрастание энтропии, т. к. она равна Я-функции Больцмана с обратным знаком. [c.354]

Если в какой-то момент функция распределения газа существенно отличается от распределения Максвелла — Больцмана, то функция Н будет существенно больше своего минимального значения. Поскольку предполагается, что столкновения происходят случайно, то с подавляющей вероятностью после следующего столкновения распределение практически станет распределением Максвелла — Больцмана, а функция Н уменьшится и приближенно будет равна своему минимальному значению. В силу инвариантности относительно обращения времени функция Н перед предыдущим столкновением с подавляющей вероятностью имела минимальное значение. Таким образом, если газ находится в таком состоянии, вероятность которого мала, то с очень большой вероятностью функция Н имеет отклонение от минимального значения в виде острого пика. Чем менее вероятно состояние газа, тем острее пик. [c.104]

При формулировке П. о. предполагается, что кинетич. ур-ние можно вывести из ур-ний механики без привлечения к.-л. вероятностных гипотез. В действительности в выводе Больцмана неявно содержится предположение вероятностного характера о том, что число столкновений пропорц. произведению функций распределения сталкивающихся частиц, т. е. состояния между каждым столкновением не коррелируют (гипотеза молекулярного хаоса ). Более строгий вывод кинетич, ур-ния, данный Н. Н. Боголюбовым в 1946 [3], явно использует граничное условие ослабления корреляций , имеющее вероятностный смысл. [c.529]

Рассмотреть кинетическое уравнении Больцмана (3.1.44) для пространственно однородного газа. Вычислив производную по времени энтропии (2.2.35), а затем с помощью (3.1.44) исключив dfi x,t)/dt, доказать, что dS t)/dt > О (Н-теорема Больцмана). Проверить, что производная по времени от энтропии обращается в ноль, если одночастичная функция распределения совпадает с равновесной максвелловской функцией (3.3.37). [c.246]

Следовательно, функция Яд убывает (вероятность состояния возрастает), если G ф 0. Этот результат составляет основное содержание так называемой Н-теоремы Больцмана. Легко видеть, что 0—0, т. е. система находится в равновесии только тогда, когда — или [c.62]

Функции корреляционные 55 Функция Н Больцмана 61 [c.439]

Из уравнения (5.3) можно вывести знаменитую Я-теорему Больцмана если через границу нет микроскопического потока величины Н или если граница действует как отрицательный источник величины Я, то Н со временем никогда не растет и остается постоянной, только когда функция распределения — максвелловская. [c.69]

Как было показано, максвелловское движение соответствует изоэнтропическому изменению термодинамического состояния. Условие равновесия может быть выведено как при помощи функции Н Больцмана, так и при помощи термодинамической функции энтропии 5. Таким образом, существует некоторая связь между Н к S. [c.50]

Н. Н. Боголюбов [5] и другие авторы, интегрируя уравнения Лиувилля получили цепочку зацепляющихся уравнений для функций распределения и нашли ряд поправок к интегралу столкновений уравнения Больцмана. [c.124]

Обсудим теперь физический смысл //-теоремы Больцмана. Для заданной функции распределения /(V, t) величина Н определяется формулой [c.99]

Из этих предположений следует, что функция распределения газа почти всегда является приближенной функцией Максвелла—Больцмана, т. е. функция распределения лежит внутри пика, изображенного на фиг. 38. Кривая зависимости функции Н от времени представляет собой в основном микроскопические флуктуации около минимального значения. Между двумя точками, в которых функция Н минимальна, с конечной вероятностью находится максимум этой функции в виде небольшого пика. [c.104]

Чтобы проиллюстрировать статистическую справедливость уравнения переноса Больцмана, рассмотрим газ с таким начальным состоянием, вероятность которого мала. На фиг. 41 сплошной кривой изображено примерное поведение Н как функции времени. В отмеченных точках, лежащих на этой кривой, газ находится в состоянии молекулярного хаоса . Все эти точки должны соответствовать [c.107]

В дополнение к этим двум типам систем определим для сравнения систему Больцмана. Она определяется как система частиц, собственными функциями которой являются все собственные функции оператора Н однако подсчет этих собственных функций должен быть правильным больцмановским подсчетом . Набор собственных функций для системы Больцмана включает собственные функции системы Бозе, собственные функции системы Ферми и еще дополнительные собственные функции. В природе не существует систем этого типа. Однако система Больцмана является полезной моделью, так как при высоких температурах термодинамические свойства как системы Бозе, так и системы Ферми приближаются к термодинамическим свойствам системы Больцмана. [c.214]

ПАРАДОКС ОБРАТИМОСТИ в статистической физике — кажущееся противоречие между обратимым характером движения молекул газа и очевидной необратимостью процессов нереноса (теплопроводности, вязкости, диффузии). П. о. был сформулирован Й, Лошмидтом (J, Los haiidt) в 1876 как возражение против Больцмана Н-теоремы для кинетич. ур-ния газа, из к-рого следует, что //-функция Больцмана не может возрастать (1—2]. [c.529]

Закон излучения Стефана—Больцмана, так же как н рассмотренные выше законы теплопроводности Фурье и конвекции Ньютона—Рихмана, справедлив для реальных условий только в том случае, когда лараметрические величины, входящие в него в качестве коэффициентов пропорциональности, рассматриваются как сложные функции, зависящие от большого количества различных факторов. Такой сложной функцией для случая теплового излучения является коэффициент излучения. Закон Стефана — Больцмана оказывается применимым не только для черного и серого, но и для селективного излучения, если все отклонения от него учитывать соответствующей величиной коэффициента излучения. [c.285]

Псрешности, обуслоиленрые поглощением среды. Погрешность пирометра, обусловлен1 ая поглощением излучения в промежуточной среде, является однозначной функцией интенсивности поглощения изм = Ь (1 — а) — т, где А — яркость тела а — коэффициент поглощения в среде используемого пирометром излучения. Подставляя в эту формулу вместо L значение яркости, определенное по формулам Вина или Стефана — Больцмана, получаем выражения для определения погрешности квазимонохроматического пирометра Д5, пирометра полного излучения ДГр н пирометра спектрального отношения ДГс, вызываемые поглощением излучения в промежуточной среде [c.329]

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, однако она обладает определенными недостатками. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих видоизменений за счет, правда, простоты модели. Первое видоизменение можно ввести так, чтобы частота столкновений оказалась зависящей от скорости молекулы, а не была просто локально постоянной. Это видоизменение связано с тем, что для упругих сферических молекул, всех потенциалов с конечным радиусом действия и степенных потенциалов с угловым обрезанием (за исключением максвелловских молекул) частота столкновений зависит от скорости молекул. Можно ожидать, что это изменение при больших Скоростях молекул будет существенным. С формальной точки зрения видоизменение очень просто достаточно предположить, что в формуле (1.2) V зависит от I (точнее, от с), но условия (1.1) должны по-преячнему выполняться. Все основные формальные свойства (в том числе и Н-тео-рема) сохраняются, но плотность, скорость и температура, входящие в максвелловскую функцию Ф, теперь уже не локальные плотность, скорость и температура, а некоторые фиктивные локальные параметры, связанньге с пятью моментами функции / с весом V (с). Это следует из того, что в этом случае условия (1.1) дают [c.103]

Соотношения (11.11) и (11.12) —основные тождества, которым удовлетворяет функция Грина линеаризованного уравнения Больцмана. Некоторые из них были указаны Кейзом [47]. Данные тождества полезны при обсуждении одного парадоксального замечания относительно равенства (11.10). Можно попытаться решить это интегральное уравнение для /г(х, ) (х дН) и найти /г на дЯ и, следовательно, к в Н при помопхи (11.9). С другой стороны, значения /г на границе для > О могут быть заданы произвольно или во всяком случае должны быть связаны с таковыми для -п<0 граничным условием (2.14), где А — известный оператор и ко — заданный свободный член. Таким образом, получается, что уравнение (11.10) решить нельзя, но система уравнений (2.14) и (11.10) должна быть разрешима относительно неизвестных к+, к , В связи с этим заметим, что уравнение (11.10) можно записать в виде [c.245]

Теорему I можно рассматривать как отправной пункт при построении строгой теории граничных задач, так как она позволяет нам обсуждать решение, сундествование и единственность которого доказаны. При этом заметим, что Н, как показано, является квадратично интегрируемой функцией по х и однако ничего не известно о свойствах гладкости решения в частности, мы не знаем, имеет ли Л производные по координатам почти всюду, т. е. удовлетворяется ли наряду с интегральным уравнением (4.2) исходное интегродифференциальное линеаризованное уравнение Больцмана (IV. 2.6) с дЬ1д1 = 0. Довольно просто доказать, что исходное уравнение удовлетворяется по меньшей мере в некотором обобщенном смысле. [c.447]

Теорема V. Суи ествует т > О, такое, что граничная задача для нелинейного уравнения Больцмана имеет единственное решение f = fo Н ), при всех h, удовлетворяю-u ux условию III/ g < т. Тогда, если к — решение линеаризованного уравнения Больцмана с той же функцией Н, то при h[ Ills -> О имеем [c.448]

В 1872 г. появляется важнейшая его работа, содержащая //-теорему, доказывающую, что только больцма-новское распределение удовлетворяет условиям статистического равновесия. Больцман вводит при этом функцию Н — средний логарифм функции распределения. Доказывая, что функция Н с течением времени не может возрастать, он получает право истолковать ее (с обратным знаком) как аналог энтропии. В 1877 г. он указывает связь этой функции с числом перестановок, соответствующим априорной вероятности данного распределения. [c.12]

Член столкновений в уравнении (153) явным образом вносит необратимость, что было показано в знаменитой Н-теореме Больцмана. Нередко возникает вопрос, каким образом возникает необратимость ведь при нахождении изменения функции распределения за счет парных столкновений никаких явных допушений о необратимости, казалось бы, не делалось. Более того, сам член столкновений выводится в предположении обратимой динамики сталкивающихся частиц. Стало быть, именно допущение "молекулярного хаоса" ведет к необратимости. Нужно понять, откуда берется "молекулярный хаос" и как он затем воплощается в необратимую эволюцию функции распределения. [c.164]

Величина /к представляет собой вероятность того, что в кристалле имеется электрон с волновым вектором к. Как видно из (18.2.1), эта величина выражается через равновесную функцию распределения Ферми — Дирака (18.2.2) и, кроме того, содержит член, который представляет собой отклонение от равновесия в нервом порядке. Здесь V — скорость носителя, г — энергия и — энергия Ферми, отсчитываемая от нижней границы зоны, если мы имеем дело с электронами Х = —1), или от верхней границы зоны, если мы имеем дело с дырками ( = - - 1) к — постоянная Больцмана и Г — температура. Поправочный член в уравнении (18.2.1) содержит также функцию описываемую выражением (18.2.3), в которое в явном виде входят электрический заряд [ е , масса носителя т, скорость света с, внешнее магнитное поле Н и время релакса- [c.462]

Последнее слагаемое не дает вклада, так как в уравнении оно приведет к члену, содержащему множитель v (v х Н). Подставим теперь нашу пробную функцию распределения обратно в уравнение Больцмана. Сокращая на множитель (—е) dftJdE, который появляется в каждом члене, получаем [c.292]

Изменение величины Н со временем определяется временнбй зависи-мость о функции /(v, t), которая в общем случае может не удовлетворять уравнению переноса Больцмана. Она удовлетворяет уравнению переноса Больцмана только в тот момент, когда предположение [c.102]

Ш рис. 2.5 представлены распределения частиц по энергиям для бозонов (Б-Э), фермионов (Ф-Д), a также классическая функция Максвелла-Больцмана (М-Б). Как следует из рисунка, при значениях (Е-р) > ЗкТ, когда единицей в квантовых спределениях можно пре-н ре<ш, они переходят в классическое, что еоответстаует малому заполнению квантовых состояний, при котором жолле1сшвы мифочас-тиц становятся невырожденными. [c.46]

Н-теорел1а. Как уже упоминалось в отступлении 3, Больцман ввел некоторую if-функцию, которая, как было показано, не возрастает при соударениях молекул газа. Против этого утверждения были выдвинуты два серьезных возражения. Лошмпдт указывал, нто основное свойство if-функции находится в противоречии с обратимостью законов механики, т. е. их симметрией по отношению к прошлому и будуш ему. Цермело отмечал, что утверждение Больцмана противоречит известной теореме возврата Пуанкаре. Согласно этой теореме, траектория в фазовом пространстве по истечении достаточно дли- [c.236]

С математической точки зрения система уравнений Навье — Стокса представляет собой совокупность нелинейных уравнений в частных производных первого н второго порядка смешанного гинерболо-параболического типа. Эта система уравнений может быть получена феноменологически [1, 2] или при помощи кинетической теории газов в результате применения к решению уравнения Больцмана известного метода Чепмена — Энскога [6, 8—10] разложения функции распределения молекул по скоростям в ряд по степеням малого параметра. [c.13]

Как показал В. В. Струмпнскпй (см. [13]), уравненпя Эйлера, Иавье — Стокса н Барнетта применимы лишь нри времени, иревышаюш,ем время релаксации, так как в основу решения уравнения Больцмана методом Энскога положена функция Максвелла, характеризуюш ая равновесное состояние. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...