Статистика Больцмана

Автор, широко образованный педагог, прекрасно сознавая огромное значение статистической термодинамики для решения технических задач, показал формы и методы использования основных результатов статистики Больцмана и квантовых статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака при рассмотрении важнейших понятий термодинамики, как например внутренней энергии, теплоемкости, энтропии и т. д. [c.7]

Строгий вывод для второго вириального коэффициента газа, подчиняющегося статистике Больцмана, довольно сложен. Результат не зависит от того, что принято за основу при расчете вириальная теорема Клаузиуса, классическая или квантовая механика или канонический ансамбль. Исходя из классической механики, имеем [c.80]

Эта формула Рэлея — Джинса для энергии в полости, являющаяся результатом применения статистики Больцмана к полю излучения. [c.313]

Предположим также, что распределение осцилляторов по состояниям при тепловом возбуждении подчиняется статистике Больцмана, согласно которой вероятность нахождения осциллятора [c.221]

Кроме того, квантовое рассмотрение систем в отличие от классического позволяет учесть дискретный характер энергетических состояний системы. Это очень важно, так как попытки применения статистики Больцмана для квантовых процессов приводят к количественно и качественно неверным результатам. [c.430]

В общем случае необходимо рассматривать каждый атом как 3-мерный осциллятор. Представим потенциальную энергию каждого осциллятора при отсутствии внешних сил в виде И = -1/ - значение потенциальной энергии осциллятора в положении равновесия, величина межатомной связи - колебательная энергия. Будем считать,что колебательная энергия осциллятора подчиняется статистике Больцмана. Можно показать,что в этом случае вероятность [c.18]

При дальнейшем увеличении N нарушается неравенство (1). Из-за перекрытия волновых ф-ций электронов соседних атомов дискретные уровни уширяются настолько, что преобразуются в примесную зону. Пока в полупроводнике сохраняются уширенные примесные уровни либо обособленная от и примесная зона, уровень легирования относят к среднему (или промежуточному). При Достаточно большой концентрации примесей полностью нарушаются оба неравенства. Примесная зона продолжает расширяться, и при нёк-рой критич. концентрации Л ор она сливается как с зоной проводимости, так и с валентной зоной (рис. 1,е), Плотность состояний оказывается отличной от О практически во всей запрещённой зове полупроводника ( хвосты плотности состояний). При этом газ носителей заряда уже не подчиняется статистике Больцмана он становится вырожденным и подчиняется статистике Ферми. [c.502]

Согласно Ленгмюру, в условиях равновесия число молекул газа, сталкивающихся в единицу времени с единицей поверхности ограничивающего газ сосуда, равно (молекулы подчиняются статистике Больцмана) [c.420]

Мы показали, каким образом можно использовать три или четыре энергетических уровня какой-либо системы для получения инверсии населенностей. Будет ли система работать по трех- или четырехуровневой схеме (и будет ли она работать вообще ), зависит от того, насколько выполняются рассмотренные выше условия. Может возникнуть вопрос зачем использовать четырехуровневую схему, если уже трехуровневая оказывается весьма эффективной для получения инверсии населенностей Однако дело в том, что в четырехуровневом лазере инверсию получить гораздо легче. Чтобы убедиться в этом, прежде всего заметим, что разности энергий между рабочими уровнями лазера (рис. 1.4) обычно много больше, чем kT, и в соответствии со статистикой Больцмана [см., например, формулу (1.8)] почти все атомы при термодинамическом равновесии находятся в основном состоянии. Если мы теперь обозначим число атомов в единице объема среды как Nt, то в случае трехуровневой системы эти атомы первоначально будут находиться на уровне 1. Переведем теперь атомы с уровня 1 на уровень [c.17]

Для вычисления <Е> положим, что стенки полости находятся при температуре Т. В соответствии со статистикой Больцмана вероятность dp того, что энергия данной моды в полости лежит между Е и Е - г dE, есть dp = С ехр[—( /fe7 )] / , где С — константа. Таким образом, средняя энергия моды < > дается выражением [c.30]

Кроме того, согласно статистике Больцмана, [c.63]

Найти выражение для энергии Ферми в примесном полупроводнике при условии, что уровни донора и акцептора полностью ионизованы обсудить условия, при которых это предположение законно. Принять, что статистика Больцмана применима и к зоне проводимости, и к валентной зоне, а также к донорным и акцепторным уровням. [c.78]

Согласно статистике Больцмана доля ионов, находящихся на верхнем энергетическом уровне, равна [c.223]

Этот же результат легко получить классическим путем, используя статистику Больцмана. [c.232]

Для полупроводника, в котором статистика Больцмана применима к примесным уровням, к зоне проводимости и к валентной зоне, и в котором все примесные уровни поэтому ионизованы, можно, исходя из условия (13.6.2) и подставив для щ и ро величины (13.2.11) и (13.2.12), получить равенство [c.325]

Следующая задача состоит в том, чтобы установить частоту различных квантовых состояний, т.е. функцию распределения. Следовательно, мы задаем вопрос, какое число атомов находится в О, 1, 2... -том квантовом состоянии. Распределение отдельных атомов по энергетическим состояниям дает статистика Больцмана, из которой вытекает е — положение (см. 6.1.4). Число атомов П , которое приходится на г-тое квантовое состояние и энергия колебаний которых равна е, = (г+72)/гу, при температуре Т пропорционально [c.60]

Скорость образования зародышей (число зародышей в единицу времени) можно вычислить на термодинамической основе. По статистике Больцмана число частиц, которые находятся в состоянии с энергией Еа, пропор- [c.294]

Метод и статистика Больцмана оказали большое влияние не только на развитие термодинамических Представлений. Впоследствии они были положены в основу теории информации, где в качестве меры количества информации К. Шенноном в 1948 г. была предложена (см. [78]) положительная величина [c.270]

Кинетические свойства молекулы. В равнове(яом состоянии распределение М. по уровням энергии подчиняется классич. статистике Больцмана — Гиббса. Доля М. в состоянии с энергией равна [c.284]

Статистика Больцмана. Воздух при стандартных значениях температуры и давления имеет молекулярную плотность около 2,7 10 молекул в кубическом сантиметре. Несмотря на такое огромное количество молекул в малом объеме, в любом конкретном случае отдельные частицы относительно далеко отстоят друг от друга из-за чудовищной концентрации вещества в месте расположения любой конкретной молекулы. Ввиду того что в среднем путь пробега частиц между столкновениями намного превосходит эффективный радиус потенциалов взаимодействия частиц, эти потенциалы взаимодействия оказывают малое влияние на движение частиц, и ими можно пренебречь. Конечно, это не будет справедливо [c.326]

Правильный статистический подход к задаче описания макроскопического поведения такого большого количества частиц в замкнутой системе заключается в том, чтобы рассматривать каждую частицу неотличимой от других. В последующем мы намеренно будем использовать до некоторой степени упрощенный статистический подход, который включает предположение о том, что частицы каждого из компонентов, образующих замкнутую систему, различимы, т. е. что мы можем некоторым образом пометить каждую частицу и получить траекторию ее движения и ее поведение. Насколько мы знаем, по квантовомеханическим причинам это допущение приводит к серьезным ошибкам при очень низких температурах и при более высоких температурах для частиц с малой массой (протон, электрон и иногда водород), тем не менее можно показать, что описанный здесь статистический метод, статистика Больцмана, соответствует формально корректному статистическому подходу для интересующих нас здесь частиц при больших температурах. [c.327]

Существование процессов вынужденного испускания, т. е. таких переходов возбужденного атома, вероятность которых зависит от числа ч<частиц — фотонов, уже имеющихся в конечном состоянии системы атом плюс фотон, характерно для процессов с участием фотонов — частиц , подчиняющихся квантовой статистике Бозе. Именно благодаря существованию таких процессов функция распределения фотонного газа отличается от функции распределения газа, подчиняющегося классической статистике Больцмана, где число частиц с энергией е пропорционально а не — 1)- , как для фотонов (е = ку). [c.107]

Пусть при данных температуре Т и плотности д или удельном объеме V в 1з газа имеется N0 нейтральных атомов, N1 — однократно ионизованных и т. д. Для краткости будем называть ион с зарядом, равным т, т-ионом число та-ионов в 1г обозначаем через Мт (нейтральные атомы являются частным случаем гп-ионов). Число свободных электронов обозначим через Ме- Полагая, что газ достаточно разреженный и электроны подчиняются статистике Больцмана ), мы должны приписать каждой частице газа тепловую энергию поступательного движения 3/2 кТ. Кроме того, то-ион обладает энергией электронного возбуждения [c.166]

Для термометрии в области низких температур, где в качестве термометрического газа используется гелий, уравнение (3.9) является приближенным, так как не учитывает влияния квантовых эффектов. Вопросу изучения вторых вириальных коэффициентов Не и Не в квантовой области ниже 8 К, а также в промежуточной области между 8 и 30 К было уделено довольно много внимания. Первые успешные вычисления вириальных коэффициентов выполнены де Буром и Мичелом в 1939 г. [22]. Псгзднее более точные вычисления были осуществлены Килпатриком и др. [44] и Бойдом и др. [7]. Полное выражение для В(Т) с учетом квантовых эффектов, данное в работе [7], представляет собой сумму двух взаимодействий — В(Т)прям и В(Т)обы. Первая часть описывает парное взаимодействие частиц, подчиняющихся статистике Больцмана, вторая — взаимо- [c.81]

Приближение (7.143) соответствует статистике Больцмана. Оно справедливо при г —[ Е —Ес)1квТ < — , т. е. при f< — в . Таким образом, если уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости более чем на квТ, то полупроводник описывается классической статистикой, т. е. является невырожденным. Если лежит выше более чем на то полупроводник полностью вырожден. Аппроксимация (7.144), справедливая для случая Ес—к-вТ<Ер<Ес+5квТ, пригодна для описания полупроводников с промежуточными (от невырожденных к полностью вырожденным) свойствами. [c.246]

Согласно кинетической теории газов среднее значение энергии осциллятора е находится для условий термодинамического 1равновесия, исходя из (функции распределения осцилляторов по энергиям, которая подчиняется статистике Больцмана. Согласно этой статистике [c.73]

X. п. является термодинамич. параметром в большом каноническом распределении 1иб6са для систем с перюм, числом частиц. В качестве нормировочной постоянной X. п. входит в распределения Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми—Дирака для частиц идеальных газов (см. Статистическая физика). В системах, к к-рым применима статистика Больцмана или Бозе—Эйнштейна, X. п. всегда отрицателен. Для ферми-газа X. п. при нулевой темп-ре положителен и определяет граничную ферми-энергию (см. Ферми-поверхность) и вырождения температуру. Если [c.412]

При малых концентрациях электронов и дырок применима статистика Больцмана. Производя соответствующее усреднение времен релаксации по такому распределению, получаем, что число Лоренца Б при переносе тепловой энергии равно (Ав/е) [ (5/2) + р], где величина р определяет зависимость времени релаксации от энергии т = хоЕр. При рассеянии электронов на акустических фононах р = —1/2, так что ЕР = 2 кв1е) (см., например, работу Блатта [35]). В этом предельном случае классической статистики теплопроводность можно находить по электропроводности с помощью числа Лоренца независимо от того, переносится заряд электронами или дырками. [c.257]

Из уравнения (1.7) следует, что в случае Ni> N среда ведет себя как усиливающая (т. е. dFjdz >0), а в случае Л г < A i — как поглощающая. Известно, что при термодинамическом равновесии населенности энергетических уровней описываются статистикой Больцмана. Так, если A i и jV — населенности двух уровней при термодинамическом равновесии, то мы имеем [c.13]

МО включить множитель l+f v)h lm G, соответствующий кажущемуся притяжению между молекулами. В статистике Больцмана разреЩены все виды столкновений. [c.151]

До сих пор мы рассматривали усиление света атомами или молекулами, которые почти не взаимодействовали, и их уровни можно было в хорошем приближении описывать возбуждением одного электрона. В тепловом равновесии населенности определялись по статистике Больцмана. Структуру энергетических зон и населенности в полупроводниках необходимо исследовать на основании статистики Ферми—Дирака. На рис. 2.19 схематиче-6 [c.83]

Если даже на некоторое время предположить, что мы можем решить задачу надлежащего описания разрешенных энергетических состояний в кристаллической решетке, то все равно останется еще проблема выбора соответствующей статистики, которой следуют электроны при распределении по этим состояниям. Поскольку мы показали, что электроны не локализованы и описываются с помощью понятий, относящихся ко всему кристаллу, можно попытаться рассматривать их как свободные частицы и пользоваться статистикой Больцмана, которой, как известно, подчиняются частицы газа в заданном объеме. Однако в системе, которая описывается статистикой Больцмана, частицы должны вести себя классическим образом, т. е. они должны распределяться по возможным состояниям так, чтобы не было даль-нодействующих сил, коррелирующих с энергетическими состояниями частиц. Это условие можно сформулировать по-другому среднее расстояние I между частицами должно быть большим [c.62]

Как мы уже видели в предыдущем разделе, в квантовой механике необходимо учитывать неразличимость электронов. Чтобы найти статистику, пригодную для описания электронов в металле, мы должны применить основные принципы статистической механики к системе, обладающей следующими свойствами 1) частиць подчиняются квантовой механике и потому неразличимы 2) частицы удовлетворяют принципу Паули, так что состояние, характеризуемое квантовым числом, описывающим электрон в кристалле, и спиновым квантовым числом пь — /г, может быть занято лиш . одним электроном. Поскольку мы имеем дело с системой, в 1 см которой содержится очень большое число электронов, то из принципа Паули следует, что даже в низшем энергетическом состоянии системы должно существовать много состояний с большими квантовыми числами. Это положение сильно отличается от статистики Больцмана, в которой многие частицы могут иметь одну и ту же энергию и импульс, и в наинизшем энергетическом состоянии энергия всех частиц может быть равной нулю. [c.63]

Однако в некоторых случаях условие (5) не выполняется. Тогда вместо приближенного выражения (4) необходимо использовать точное уравнение, даваемое статистикой Больцмана согласно Сандквисту и Ориани [15], при этом получается выражение [c.158]

Второе наше допуш ение состоит в том, что оба этих уровня расш,еп-лены на несколько подуровней, переходы между которыми являются неоптическими, а энергетический порядок суммарного расщепления соответствует яТ. Таким образом, атом, находясь в любом из этих состояний, может обмениваться энергией с кристаллической матрицей посредством оптических фононов. Поскольку расстояния между подуровнями гораздо менее яТ, время обмена составляет пикосекунды. Если в лазерном материале радиационное время жизни возбуждённого состояния имеет порядок миллисекунд, то атомы, находящиеся в основном и возбуждённом состояниях, будут успевать приходить в термодинамически равновесие и заселять подуровни в соответствии со статистикой Больцмана. Именно это обстоятельство, которое мы будем называть термализация верхнего и нижнего уровней, приводит к изменению частоты флуоресценции и делает возможным обеспечить радиационный баланс. [c.141]

В этйх условиях, при не слишком низких температурах, Не в растворе можно рассматривать как идеальный одноатомный газ, подчиняющийся классической статистике Больцмана. При этом легко рассчитываются все термодинамические функции (энтропия, теплоемкость, нормальная плотность и др.)— в основном как добавки, обусловленные примесными возбуждениями, к соответствующим функциям чистого гелия II. Так, например, энтропия и теплоемкость, согласно вычислениям И. Я. Померанчука, выражаются формулами [c.699]

Если уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости более чем на квТ, то плотность состояний такого полупроводника описывается классической статистикой Больцмана и полупроводник является невырожденньт. [c.246]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...