Уравнения поверхности тригонометрические

Ниже мы приводим приближенное решение той же задачи, основанное на применении тригонометрических рядов к исследованию изгиба балок главного направления и перекрестных балок. Уравнение поверхности, по которой расположатся узловые точки нашей системы (рис. 1) после искривления, может быть представлено так [c.382]

Расположив начало координат в вершине прямоугольника, можно задать уравнение упругой поверхности в виде тригонометрического полинома [c.21]

Для алгебраических поверхностей каноническое уравнение (уравнение в виде правила) выражается алгебраическим уравнением и не содержит таких функций, как тригонометрические или специальные. В последнем случае уравнение называется трансцендентным. [c.416]

Приведенное простое уравнение движения иглы иногда в литературе служит для нахождения соотношений собственной частоты системы и частоты вынужденных колебаний, обусловленных шагом неровностей поверхности. Заменяя параметр 4 через, можно представить функцию а, = /.цо ) в виде тригонометрического ряда- [c.54]

Профиль несферической поверхности может быть задан тем или иным уравнением такие уравнения в общем случае могут быть совершенно произвольными их можно задавать, например, какими-либо тригонометрическими функциями, уравнением участка спирали и т. п. Однако на практике большей частью ограничиваются показательными функциями. [c.238]

В случае длинных цилиндров особенно существенно удовлетворить условиям на боковой поверхности. Для этой цели выгодно воспользоваться решением уравнения (108) в виде тригонометрического ряда. Решение это, аналогичное решению для длинной прямоугольной полосы ( 35), даст возможность разыскать напряжения при любом симметричном распределении нормальных и касательных напряжений по боковой поверхности цилиндра. Очевидно, что всякое решение уравнения [c.154]

Так как функция f внутри контура перпендикулярного сечения удовлетворяет уравнению (8) и имеет известное значение на самом контуре, то определение ее представляет решение задачи о распределении температуры в бесконечно длинном цилиндре по данной температуре на его поверхности она решается с помощью тригонометрических строк, когда найдены изотермические координаты, соответствующие данному контуру. Но кроме этого, можно также пользоваться обратным приемом решения вопроса, который употреблял Сен-Венан в своей задаче о кручении призм, аналогичной нашей гидродинамической задаче. Этот прием заключается в предварительном задании функции удовлетворяющей уравнению (8), и в подборе входящих в нее параметров и постоянного в уравнении (10) таким образом, чтобы полученный контур имел простую форму. [c.199]

В плоских задачах о внедрении в упругое полупространство цилиндрических тел, как правило, предполагается, что поверхность Ej, ограничивающая ударник, является гладкой, а ее направляющая кривая выпукла. Эти вопросы при вертикальном движении ударника и постоянной скорости внедрения рассмотрены в работах В. Д. Кубенко [41], С. Н. Попова [51, 52], В. Д. Кубенко и С. Н. Попова [42]. В первой из них использовано разложение в тригонометрический ряд Фурье по координате х с периодом, равным расстоянию между соседними периодически расположенными на полуплоскости фиктивными штампами. Он выбирается так, чтобы за рассматриваемый промежуток времени соседние штампы не оказывали влияния друг на друга. В трех других работах с помощью интегральных преобразований задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Найдены напряжения в центральной точке контакта. [c.378]

Авторы работы [30] исследовали сдвиговые колебания пьезоэлектрического цилиндра с системой (2т) разноименно заряженных электродов с потенциалами Vq на поверхности г = а. Представляя решение уравнений электроупругости в форме тригонометрических рядов и удовлетворяя смешанным условиям на поверхности цилиндра г = а, они сводят задачу к системе парных рядов-уравнений, которая путем введения вспомогательной функции (т в), пропорциональной распределению заряда на электроде, преобразуется далее к интегральному уравнению первого рода [c.586]

На поверхности шара должны быть непрерывными азимутальные компоненты электрического и магнитного полей 0, ф, Яе, [/ф. Из этого требования следует, что на поверхности непрерывны следующие величины и, л/гУ, <9(р /)/ф, (рК)/ф. Решения выражаются, как и для идеально проводящего шара, через тригонометрические и шаровые функции с целым индексом и цилиндрические функции с полуцелым индексом. Для области внутри шара следует использовать функции Бесселя, вне шара — функции Ханкеля. Мы не будем здесь приводить вывод и окончательный вид полей дифракции формулы для коэффициентов получаются из систем четырех линейных уравнений. [c.68]

Таким образом, наша задача привелась к решению уравнения Матье [151]. Исследование свойств интегралов этого уравнения приводит к заключению, что на плоскости двух действительных переменных а, д существуют такие области, включающие в себя ось д = О, что для значений параметров а, д, принадлежащих этим областям, интегралы уравнений (8), (9) представимы сходящимися тригонометрическими рядами. Следовательно, для таких параметров функции Ь и Т будут ограничены для всех значений времени, колебание жидкости будет оставаться в известных пределах и поверхность жидкости будет устойчива при колебаниях сосуда. [c.372]

Уравнение (3.5) имеет решение в виде цилиндрических функций с индексом 1>, например Jj) kr) или (кг), а уравнение (3.6) -в виде тригонометрических функций os ixp) или sin (i v )- В задачах излучения и дифракции звука телом, ограниченным замкнутой поверхностью, выдвигается требование однозначности поля при обходе вокруг начала координат на угол, кратный 2тг. Следовательно, в этих случаях [c.132]

Конечно, есть и в этом методе свои трудности, которые состоят прежде всего в том, что необходимо заранее задаваться аппроксимирующими функциями (ф, 11 , /). В качестве первого приближения эти функции можно выбирать в виде линейных соотношений. В поисках более точного решения задачи требуются другие формы задания функций ф, т) , 1, определяемые из условия равновесия на поверхности или внутри объема тела. Например, для получения уточненных решений могут быть использованы степенные или тригонометрические функции, как это было показано на примере расчета траверсы гидравлического пресса и др. Отметим также, что при выборе указанных функций нужно стремиться к тому, чтобы не получалась сложная система дифференциальных уравнений. Так, например, при расчете станины станка 7540 система уравнений (9Я) оказалась весьма простой благодаря элементарному определению функций ф, т] , I. При другом выборе этих функций можно получить более точные результаты, решив сложную систему дифференциальных уравнений. Из анализа табл. 1 основных типов корпусных деталей машин видно, что большинство из них представляет собой коробчатые пустотелые конструкции с различными перегородками, выступами, окнами, а также рамные или стержневые системы. Все они могут быть успешно рассчитаны при помощи уравнений (23) с некоторыми обобщениями, упрощениями и схематизацией. [c.126]

Анализ отклонения текущего размера. №менение текущего размера р(ф) дает правильное представление об изменениях отклонений радиуса диаметра поверхности детали по окружности в стыковом соединении. В качестве основного математического приема принимается аппроксимация точности разложением функционального допуска профиля в поперечном сечении в тригонометрический ряд Фурье для получения начальных (элементарных) со-ставляюпщх. Принимается номинальный профиль поперечного сечения цилиндрического корпуса, имеющего окружность с периметром Ь, истинным диаметром (1=2г с центром в точке О. В действительном профиле появляются отклонения (эксцентриситет, от круглости, волнистость), формирующие рельеф поверхности. Рассмотрим полярную систему координат с центром О", близким к О. Допустим, что отклонение профиля определяется при и значениях полярного угла (р = 2пт1п т=1, 2,. .., и значением радиуса р =р((р ). Полярное уравнение действительного профиля р = р(ср) представим тригонометрическим полиномом ряда Фурье [c.156]

Получим решение уравнений (6.46). .. (6.48) в двойных тригонометрических рядах. Положим, что оболочка нагружена нормальным к поверхности распределенным усилием рп — р, симметричным отно- [c.159]

В разд. 8.2 рассмотрено взаимодействие жестких штампов с тонкой круговой цилиндрической оболочкой по дугам окружности поперечного сечения. Дается подробное решение названной задачи от вывода исходного интегрального уравнения до численного расчета. Так как путь решения данной задачи является характерным для всех других контактных задач, следует на нем остановиться. На основе результатов гл. 6 записывается изгнбная поперечная деформация срединной поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности поперечного сечения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в некоторой другой точке той же окружности. Иными словами, строится функция влияния, которая выполняет роль функции Грина при записи интегрального представления для из-гибиой деформации от произвольной нормальной погонной нагрузки, приложенной по дуге окружности поперечного сечения. П-ри записи такого представления существенную роль играет то, что главнаи часть функции Грина (логарифмическое ядро) записывается в явном замкнутом виде, остальная регулярная часть (регулярное ядро) записана в виде тригонометрического ряда. Сходимость такого ряда весьма хорошая (как 1/п при больших п), она исследована в гл. 6. Найденная нагибная деформация оболочки приравнивается разнице между исходной кривизной оболочки на линии контакта и кривизной основания штампа, которая предполагается несколько меньшей, чем кривизна оболочки. Так получается исходное интегральное уравнение с логарифмическим разностным ядром вида а — ар [c.319]

При прогибах, равных нулю, и действии только объемных сил уравнение (6.31к) принимает вид V

плоского напряженного состояния теории упругости. Очевидно, что любые решения этого уравнения (в том числе в виде степенных рядов или гиперболо-тригонометрических функций, рассматривавшихся в 3.3) можно прибавить к решениям уравнения (6.31к) и использовать для удовлетворения двух краевых условий, налагаемых на мембранные силы или перемещения и и V срединной поверхности по всем четырем краям криволинейной панели, либо эквивалентных условий непрерывности деформаций. Точно так же решения уравнения У и = 0 можно прибавить к решениям уравнения (6.31з) и использовать для удовлетворения условий, задаваемых на поперечные силы или моменты, либо на поперечные смещения или углы наклона. [c.457]

Подставляя вместо Г и S их выражения, получаем два уравнения второй степени с двумя неизвестными. Совместное решение приводит к четырем возможным формам торических линз, из которых следует предпочесть ту, которая соответствует наименьшим кривизнам поверхностей. Система, полученная таким путем, может служить лишь первым приближением. Переход к окончательной H Tejje производится обычным способом с помощью контрольных тригонометрических расчетов. [c.543]

Предварительное изучение экспоненциальной зависимости плотности от величины радиуса-вектора (или от высоты над поверхностью небесного тела) позволяет думать, что соответствующие годографические уравнения можно будет упростить, если вместо круговых тригонометрических функций воспользоваться гиперболическими функциями. [c.70]

Статическое электроупругое состояние сплошного пьезоцилиндра радиуса а, часть поверхности которого с центральным углом 20 покрыта электродом с потенциалом исследовано в работе [32]. Представляя решение уравнений (9) для пьезоцилиндра в виде тригонометрических рядов с неизвестными коэффициентами и [c.585]

В 1900 г. Эстанав ) получил решение, соответствующее уравнению (8.28) для прямоугольной пластинки, нагруженной постоянным давлением р, выразив его, однако, через тригонометрические ряды, как суммы двух упругих поверхностей и W2, [c.315]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

В связи с теорией продольных колебаний возникает важная проблема удара. Когда два тела сталкиваются, каждое из них приходит в состояние внутренних колебаний в свое время, повидимому, надеялись, что разрешение задачи о колебаниях двух стержней, возникающих вследствие их продольного столкновения, может пролить свет ка законы удара. Пуассон первый приступил к разрешению проблемы с этой точки зрения. Его метод интегрирования в тригонометрических рядах чрезвычайно осложняет получение общих выводов вследствие досадной ошибки в анализе, он пришел к парадоксальному заключению, что два стержня из одвого и того же материала и с одинаковым сечением не могут отделиться друг от друга, если только их длины ие равны между собою. Сен-Венан ш) исследовал эту проблему, решая уравнение колебаний при помощи произвольных функций и получил некоторые результаты, наиболее важные из которых относятся к продолжительности удара и к существованию коэфициента восстановления для совершенно упругих тел 11 ). Эта теория не подтверкдается экспериментами. Поправка, предложенная Фохтом 1 ), будучи разработана до конца, также мало улучииет дело. Таким образом попытка свести проблему удара к колебаниям, повидимому, должна быть оставлена. Гораздо более успешной была теория Герца ), основанная иа решении проблемы, которую мы назвали проблемой передачи силы. Герц исследовал независимо частный случай этой проблемы, относящийся к давлению двух тел друг на друга. Он предложил рассматривать деформацию как местный статический эффект, который постепенно возникает и убывает. Он нашел способы определения продолжительности удара, а также величины и формы тех частей поверхностей, которые приходят в соприкосновение. Согласие этой теории с экспериментами оказалось удовлетворительным. [c.38]

Положим О а i X, d i Irit — i- riyUit, где а, [j. — средние значения 0 н d ldt, так что х и dyUit содержат только тригонометрические члены. Пусть с — а — радиус кривизны поверхности вращения в точке касания при стационарном движении, так что р мало отличается от с и в уравнениях первого приближения можно заменить р на с. Имеем также [c.207]

В статьях Л. Е. Огеепзроп а [3.95—3.98] (1958) в постановке трехмерной теории упругости исследуются изгибные неосесимметричные колебания цилиндрической оболочки конечной длины при следующих граничных условиях на торцах О22 = иг=ие=0 и на внешней и внутренней поверхностях Ог0=аг0=0г2 = Р. Такие условия соответствуют случаю, когда края свободны для продольных перемещений и шарнирно закреплены относительно изгибных перемещений. Решения по 0 и 2 выбираются в виде произведения тригонометрических функций так, чтобы граничные условия на торцах удовлетворялись. Условия же на поверхностях приводят к частотному уравнению. Показано, что с увеличением относительной толщины область применимости классической теории смещается все дальше и дальше в сторону длинных волн. Теория типа Тимошенко редуцируется к точным решениям по частотам соответствующим выбором коэффициента сдвига. Необходимо отметить, что наличие коэффициента сдвига является недостатком теории, так как лишает возможности сделать какие-либо оценки. Кроме того, по фазовым скоростям нельзя судить об аппроксимации деформированного и напряженного состояния. Например, в работе [3.96] для толстой оболочки /г// =0.7 построено распределение перемещений и напряжений по толщине. Видно сильное отклонение от предположений теории оболочек о линейном распределении перемещений и напряжений и сггг=0- [c.203]

Этим, по сути, отражен тот простой факт, что постоянные множители для частных решений с разными тригонометрическими множителями могут быть разные. Исходя из однородных условий на поверхностях г = г, и г = Га и полагая, что эти однородные условия должны вы-(юлняться порознь для слагаемых с os а0 и sina0, приходим к следующей однородной системе уравнений [c.17]

Поэтому присутствие в обобщающем выражении произведений матрицы [/)] и [А ] или произведений различных функций от них в большинстве случаев делает его непригодным в качестве решения уравнения (11.4.4). Как известно, все решения скалярных уравнений диффузии с линейным источником являются сложными функциями исходных параметров, содержащими ряды и интегралы от экспоненциальных и тригонометрических функций. Выразить эти решения через сумму аО + где Вик - скаияр-ные аналоги матриц [В] и [к] (коэффициент бинарной диффузии и константа скорости химической реакции), крайне затруднительно. Дополнительную сложность вносит и несимметричность граничных условий задачи для массопереноса в стекающей пленке жидкости на стенке контактного устройства всегда граничное условие второго рода (непроницаемость стенки), а на поверхности - граничное условие первого рода (значения поверхностных концентраций компонентов). [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...