Одно нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

С подстановкой этих выражений в исходную систему уравнений последняя заменяется одним нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных с одной неизвестной 1)3. Решение этого уравнения пишется в виде бесконечного ряда [c.464]

ОДНО НЕЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.178]

Хотя программа исследований в классической гидромеханике устанавливается без труда, следовать этой программе — задача чрезвычайно трудная из-за аналитической сложности системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (7-1.1) и (7-1.2). На практике точные или приближенные решения этой системы можно получить лишь в случае, когда либо граничные условия имеют чрезвычайно простой вид, либо проведены некоторые предварительные упрощения. Фактически в соответствии с типом производимых упрощений задачи гидромеханики можно разделить на ряд категорий. Отнесение какой-либо частной проблемы к одной из этих категорий основывается, по существу, на анализе размерностей. [c.253]

Уравнения Эйнштейна (92) представляют собой систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. (В теории тяготения Ньютона содержится, как известно, одно дифференциальное уравнение второго порядка.) Общего решения этих уравнений при произвольных начальных условиях нет. [c.142]

Решение задач теории пластичности связано с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (10.24). . . (10.28), что представляет собой чрезвычайно сложную задачу, которая в аналитическом виде решается, как правило, в исключительных случаях. Поэтому решение задачи теории пластичности чаще всего строится с помощью приближенных методов. Одним из них является метод последовательных приближений, предложенный А. А. Ильюшиным и называемый в теории пластичности методом упругих решений. Суть его заключается в рассмотрении последовательности линейных задач теории упругости, решения которых с увеличением порядкового номера сходятся к решению задачи теории пластичности. [c.310]

Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых сил и принцип наименьшего действия, очень важен <(Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет характеристической. [c.826]

Математическая модель гидродинамических процессов в инерционных насосах разных типов описывается одной н той же системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с учетом влияния нерастворенного воздуха на скорость, но с различными граничными условиями. При разработке алгоритма расчета гидродинамических процессов граничные условия учитываются совместным решением уравнений соответствующей характеристики с определенными граничными условиями, записанными в разностной форме. Поэтому при составлении таких программ для ЭЦВМ изменению подвергают только ее часть, которая вычисляет граничные точки. [c.337]

Как установлено, для решения широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных существует метод, позволяющий найти функцию q it) =Д<7](0) при одном и том же t. В этом случае переменная 2 подчинена переменной q (принцип подчинения). Это позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.19]

Решение задач теории пластичности связано с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, что представляет собой чрезвычайно сложную математическую задачу, которая в аналитическом виде решается, как правило, в исключительных случаях. Поэтому чаще всего используются приближенные методы. Одним из них является метод последовательных приближений, предложенный Ильюшиным для решения задач теории малых упругопластических деформаций при активном нагружении и называемый в теории [c.44]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

До сих пор мы рассматривали распространение пространственно неограниченных плоских волн. В настоящем разделе мы исследуем для случая линейно поляризованного света (с одной частотой) влияние описанных в разд. 4.11 нелинейностей на свет, напряженность поля которого изменяется в направлении, поперечном по отношению к направлению распространения. Для теоретического рассмотрения этой проблемы необходимо исходить из общего нелинейного волнового уравнения (1.32-1) и искать решения Е. ,х,у,г), удовлетворяющие этому уравнению и заданным граничным условиям. Однако решение такого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных связано со значительными трудностями (см. разд. 1.321) решение обычно проводится при помощи численных методов (см., например, [c.194]

Исследования систем со многими степенями свободы всегда вызывали большой интерес. Причиной этого является, с одной стороны, желание понять поведение непрерывных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, а с другой — связь со статистической механикой. Геометрия многомерных резонансов рассматривалась в п. 6.1а, а также в 6.3 (более подробное описание можно найти в работе [70]). С точки зрения резонансной структуры вопрос о поведении системы с большим числом степеней свободы сводится к вопросу о том, возрастает ли плотность основных резонансов быстрее, чем уменьшается их ширина, по мере распределения энергии по многим степеням свободы. Если это действительно так, то при N - оо следует ожидать перекрытия резонансов и сильной стохастичности движения. [c.404]

С чисто математических позиций уравнения Навье-Стокса относится к классу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Одно из наиболее неприятных из их свойств - нелинейность, обусловленная наличием конвективных членов ускорения. Следует отметить, что до настоящего времени вследствие практически непреодолимых математических трудностей не получено ни одного общего решения уравнений Навье-Стокса в их полном виде, т.е. при сохранении всех конвективных членов и всех членов, учитывающих вязкость. Известны лишь отдельные частные решения. [c.75]

В приведенных примерах причиной нелинейности оператора было наличие в уравнении, с помощью которого задается оператор, нелинейной функции одного или нескольких параметров объекта. Это справедливо всегда оператор, задаваемый дифференциальным уравнением, содержащим нелинейные комбинации параметров (или производных от них) будет нелинейным. То же самое можно утверждать и для операторов, задаваемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Если уравнения содержат хотя бы одну нелинейную комбинацию параметров объекта, то оператор такого объекта будет нелинейным. [c.52]

Сделанные выше ссылки относятся только к последним публикациям, которые используют МГЭ и на основе которых были получены весьма обш,ие алгоритмы решения задач многие другие исследователи решали частные задачи при помош,и очень сходных методов (см. список дополнительной литературы в конце настоящей главы). Большинство одно-, дву- и трехмерных задач механики сплошной среды (с учетом анизотропии, неоднородности и нелинейности), описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, успешно решались при помощи МГЭ. [c.16]

Как установлено [7] для широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными су- шествует метод, позволяющий найти функцию q2(t)=f(qi(t)) при одном и том же t. В этом случае переменная q2 подчинена переменной qi (принцип подчинения), что позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.64]

Приближенные методы решения уравнений пограничного слоя, в случае обтекания выпуклого контура для решения задачи о пограничном слое развит ряд приближенных методов, основанных либо на использовании интегральных соотношений, либо на специальном выборе безразмерных независимых переменных, с помощью которых дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к одному или к последовательности обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, которые решаются в дальнейшем численно. Подробное изложение этих методов приведено в ряде монографий [7] — [12] и отдельных статей. Мы изложим здесь наиболее удобный и допускающий непосредственно обобщение на случай течения газа метод использования интегральных соотношений, следуя в основном [7]. [c.511]

Примеры, рассмотренные в этой главе, показали, что метод многих масштабов применим как к задачам, которые могут быть изучены с помощью метода сращивания асимптотических разложений, таким, как задача о космическом корабле Земля—Луна, так и к задачам, которые не могут быть изучены с помощью последнего метода, таким, как задачи о нелинейных колебаниях. Метод многих масштабов дает одно равномерно пригодное разложение в отличие от метода сращивания асимптотических разложений, в котором рассматриваются два разложения, подлежащих сращиванию. Хотя и в методе многих масштабов обыкновенное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение в частных производных, получение первого приближения не представляет больших трудностей, чем решение первого внутреннего уравнения. Однако трудными для [c.324]

Общее обсуждение нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных (1.11.13) лишено смысла, поскольку такие уравнения охватывают необычайно широкий, поистине необъятный круг явлений. С другой стороны, в синергетике нас интересуют общие свойства сложных систем. Мы можем существенно продвинуться к поставленной цели, сосредоточив внимание на тех ситуациях, в которых макроскопическое поведение системы изменяется резко. Попробуем придать этой идее математический вид. Обсудим для этого на одном примере из биологии понятие структурной устойчивости. [c.57]

Привести уравнение в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям можно не только заменой производной по одному из направлений конечными разностями, но и, например, интегрированием по этому направлению. Если при этом подынтегральные функции выразить с помощью различных интерполяционных формул через их значения в узлах интерполяции, то исходное уравнение сведется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль кривых, на которых расположены узлы интерполяции. На этом основан метод интегральных соотношений, предложенный академиком А. А. Дородницыным [Л. 60] и нашедший широкое применение для решения нелинейных задач аэродинамики на ЭВМ [Л. 61]. [c.90]

Мы не будем останавливаться на построении решений уравнений в частных производных, которые выполнил Ляпунов и которые также играют. большую роль в теории устойчивости. Что же на основе этого первого метода Ляпунов получил при других предположениях относительно характеристических чисел первого приближения (7) Те случаи, когда первое приближение (7) имеет только нулевые и отрицательные характеристические числа, Ляпунов назвал сомнительными. В этих случаях характер поведения общего решения или всей совокупности интегральных кривых вблизи начала координат (точки покоя) определяется коэффициентами при нелинейных членах правых частей дифференциальных уравнений. Ляпунов рассмотрел тот случай системы (4), когда коэффициенты рм и. ....постоянные и когда одно характеристическое число матрицы Р = р г нулевое, а все остальные [c.71]

Таким образом, применив аффинное преобразование, определяемое формулами (7.24) и (7.25), мы заменили два уравнения в частных производных (7.21) и (7.22) одним обыкновенным дифференциальным уравнением для функции тока. Полученное уравнение — нелинейное и третьего порядка, следовательно, трех граничных условий (7.29) достаточно для полной определенности решения. [c.134]

Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Источники неравномерности в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены в главе 2. Глава 3 посвящена методу координатных преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращивания асимптотических разложений и метод составных асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение с помощью нескольких разложений, пригодных в различных областях и согласованных между собой с помощью процедуры сращивания второй метод представляет решение в виде единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных волн и колебаний используются понятия быстрых и медленных переменных в сочетании с методом вариации произвольных постоянных. Методы глав 3, 4 и 5 обобщены в главе 6 и объединены в одну из трех разновидностей метода многих масштабов. В главе 7 рассмотрены существующие методы построения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. [c.8]

Это — эллиптическое дифференциальное уравнение с частными производными. При заданных граничных условиях на v (х) уравнение (1.16.3) допускает в качестве решений серию пространственных мод V/ (х) с собственными значениями Я/. При изменении а одно или несколько собственных значений Я/ могут пересечь мнимую ось, т. е. соответствующие моды могут стать неустойчивыми. Метод решения нелинейных уравнений (1.14.1) по существу ниче.м не отличается от метода решения, приведенного в разд. 1.14, где мы пренебрегали любой зависимостью q от пространственных координат X. Итак, пусть [c.76]

Эти уравнения представляют собой систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно ф1 и ф4. Все коэффициенты этих уравнений могут быть заранее вычислены как функции двух переменных ф1 и <р4- Выше было показано, как определить основные коэффициенты Уц, /и и/44. Что касается других коэффициентов, то все они являются частными производными от этих основных коэффициентов. Так как каждый из основных коэффициентов графически можно представить как поверхность или как семейство кривых, то определить частные производные можно графическим дифференцированием по одной обобщенной координате при фиксированной другой. Выбирая разные положения фиксируемого звена, можно получить семейство кривых-производных, которое и определит искомый коэффициент. Но графическое дифференцирование недостаточно точно. Для получения более точных результатов можно рекомендовать известный из предыдущего метод планов скоростей и ускорений, который был нами применен в связи [c.155]

Общее решение уравнений Навье — Стокса, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, до сих пор еще не найдено. Однако можно получить много частных решений, вводя различные упрощения. Одна из основных целей первоначального курса механики жидкости — развить чутье к выбору надлежащего приближения для решения той или иной инженерной задачи. [c.123]

Предлагаются конструкции рядов по системам специальных базисных функций, содержащих произвольные функции одного аргумента, для представления решений задач Коши и смешанных задач Коши в случае нелинейных уравнений с частными производными от двух независимых переменных. Описаны системы базисных функций, позволяющие вычислять коэффициенты рядов рекуррентно из систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для широкого класса исходных нелинейных уравнений. Приводятся примеры применения построенных рядов. [c.217]

В том случае, когда динамические и термодинамические величины потока являются функциями одной координаты и времени, уравнения Эйлера и уравнения неразрывности сводятся к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных с тремя неизвестными функциями V, р к р [c.159]

С номогцью онределяюгцих соотногпепий ( ) скорости деформаций и учитывая ( ), можно получить одно нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных для функции напряжений Ф(Ж1,Ж2) [c.358]

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных классическими способами, т. е. интегрированием с соответствующими граничными условиями, для большинства основных задач невозможно. Поэтому для приведения непрерывной задачи к дискретному виду и ее решения требуются методы численного анализа. Значения неизвестных определяются на большом, но конечном числе узлов как в пространстве, так и по времени, чтобы получалось по возможности точное решение уравнений. В программе FIELDAY используются метод конечных элементов для уравнения Пуассона комбинированный метод (конечно-разностный/ко-нечных элементов) для уравнений непрерывности [16.10]. Скорость изменения плотности подвижных носителей во времени аппроксимируется по методу Эйлера. Полученные уравнения линеаризуются затем одним из двух методов. Первый предусматривает разделение системы трех дискретных уравнений уравнения решаются последовательно [16.11]. Применение второго, более сложного метода подразумевает одновременное решение всех уравнений с линеаризацией по методу Ньютона [16.12, 16.13]. Оба метода приводят к матричным уравнениям большой размерности с сильно разреженными матрицами для получения окончательного результата эти уравнения необходимо решать многократно. [c.464]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде. [c.49]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

В предшествующем параграфе был рассмотрен самый простой метод использования интегральных соотношений для ламинарного пограничного слоя, но расчёты оказались вполне удовлетворительными лишь для тех случаев, в которых продольный перепад давления оказывался либо отрицательным, либо был небольшим положительным. Для больших положительных перепадов давления в пограничном слое он мало пригоден. Кроме того, этот метод требовал графического или численного интегрирования нелинейного уравнения (4.17) для каждого распределения скорости внешнего потока вдоль пограничного слоя. Эти два обстоятельства и побуждали многих исследователей искать другие приближённые методы решения уравнений для пограничного слоя. Большая группа этих методов, получивших наибольшее применение к решению отдельных задач, основывается на специальном выборе независимых безразмерных переменных, позволяющем дифференциальные уравнения с частными производными (1.13) сводить либо к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению с числовыми коэффициентами, либо к некоторой последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений также с числовыми коэффициентами. В этих методах численно решается обыкновенное уравнение или группа, уравнений и составляются соответственные таблицы. Эти таблицы затем могут быть использованы для целой группы соответственных задач (а не одной какой-либо задачи). [c.272]

Возможности программного обеспечения эта интерактивная, структурированная моделирующая программа может быть использована для решения системы дифференциальных (в том числе нелинейных), разностных и алгебраических уравнений, возникающих в задачах идентификации и проектирования. В программе предусмотрены различные блоки 55 типов, включая интегратор с насыщением, блок временной задержки и другие. Пользователь может назначать блокам символические имена. В программе используются пять методов интегрирования четыре метода с фиксированным шагом (метод Эйлера, метод Адамса—Башфорта-2, метод Рунге—Кутты-2 и метод Рунге—Кутты-4) и один с изменяющимся (метод Рунге—Кутты-4). Линейная и квадратичная интерполяция (от 11 до 201 точек) проводится на основе генераторов функций трех типов. Алгоритмические петли могут быть решены интерактивным методом, что позволяет решать нелинейные алгебраические уравнения. Все переменные, получаемые в процессе моделирования, сохраняются в памяти. В дальнейшем они могут быть использованы для обработки, сохранены на диске или использованы как начальные условия для следующего прогона. Кроме того, предусмотрены средства многократного прогона. Программа содержит процедуру оптимизации, причем пользователь может задавать критерий оптимизации и до девяти произвольных оптимизируемых параметров. Каждый параметр может быть ограничен сверху и снизу. Для улучшения скорости процедуры оптимизации для каждого параметра может быть выбран соответствующий масштаб. Несколько моделей могут быть объединены в одну новую модель. Рассчитанные переходные характеристики и параметры могут быть использованы в последующих прогонах. Пользователь может легко определить блок нового типа, для чего необходимо выполнить операцию компоновки. Программа не предназначена для решения дифференциальных уравнений с частными производными, полиномиальных и матричных уравнений. [c.320]

Аналоговые звенья описываются ди([)ференциальными уравнениями в полных или частных производных цифровые звенья - дифференциально-разностными уравнениями. Аналоговь е и цифровые звенья подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, линейны или нелинейны уравнения, применяемые для их описания. Как линейные, так и нелинейные звенья могут относиться к одному из следующих четырех классов [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...