Метод первый А. М. Ляпунова

К первой группе принадлежат способы, приводящие к непосредственному исследованию возмущенного движения на основании определения общих ила частных решений уравнений (11.327). Совокупность способов первой группы образует первый метод А. М. Ляпунова. [c.332]

Применение первого метода А. М. Ляпунова к исследованию стационарных движений [c.332]

В этом параграфе рассмотрим лишь главные этапы доказательств основных теорем А. М. Ляпунова, ограничившись применением первого метода к случаю стационарных движений. [c.332]

ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО МЕТОДА А. М. ЛЯПУНОВА [c.333]

Рассматривая методы А. М. Ляпунова, следует признать, что второй метод имеет большую общность, чем первый. В частности, теоремы I и II, доказанные первым методом, можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. Затруднения, возникающие при применении второго метода, зависят от отсутствия известных правил, которые позволили бы в конкретных задачах строить функции V А. М. Ляпунова. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопрос об общих методах построения функции V в различных задачах механики. Эти затруднения в настоящее время в значительной степени преодолены ). Начиная примерно с тридцатых годов XX в. появился также ряд исследований о существовании функций А. М. Ляпунова для определенных классов задач. [c.346]

Если начальные условия таковы, что выражение в квадратных скобках отрицательно, то движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, неустойчиво по теореме III 118. Имеет место лишь условная устойчивость (теорема II 118). Если выражение в квадратных скобках положительно, то теоремы первого метода А. М. Ляпунова не позволяют сказать что-либо определенное об устойчивости движения. Мы не исследуем этот вопрос подробно, ограничившись лишь замечанием, что движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, устойчиво, когда выражение в квадратных скобках будет положительно. [c.434]

Эта теорема есть частный случай первой теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости. Для доказательства ее необходимо привлечь рассуждения, примененные Ляпуновым при изложении им второго метода. См. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, 1950, стр. 77 и сл. [c.423]

В первой главе рассматриваются основные типы нелинейных автоматических систем и современные методы их расчета. В этой главе кратко излагаются методы фазовой плоскости, припасовывания, А. М. Ляпунова и А. И. Лурье, гармонического баланса (Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова), разностные и математического моделирования. [c.6]

Первый, после А. М. Ляпунова, существенный вклад в развитие метода функций Ляпунова был сделан Н. Г. Четаевым. Работая над знаменитой проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, Четаев (4930) сначала установил для автономных систем одну теорему о неустойчивости, в которой наряду с первой производной функции V рассматривается также вторая производная У". [c.16]

Книга разделена на три части. Первая часть Общие методы содержит изложение основных результатов теории устойчивости движения, созданной А. М. Ляпуновым, и теории периодических решений, разработанной А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре. [c.6]

Интересно отметить, что ряд методов нелинейной теории колебаний заимствован из небесной механики, достигшей уже в прошлом столетии высокой степени точности исследований. Сюда надо, прежде всего, отнести исследования французского ученого А. Пуанкаре. Блистательный прогресс теории колебаний, особенно нелинейной, стал возможен благодаря крупным достижениям в теории устойчивости движения, возникшей в прошлом столетии и разработанной рядом ученых, среди которых первое место принадлежит А. М. Ляпунову. [c.9]

Общая теория устойчивости движения, созданная А. М. Ляпуновым, была предметом его докторской диссертации ). А. М. Ляпунов предложил два метода исследования устойчивости движения. К первому он отнес совокупность всех способов исследования устойчивости, в основании которых лежит разыскание общих или частных решений дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде бесконечных рядов. Ко второму методу были отнесены все те способы, которые основываются на построении некоторых функций времени и переменных, определяющих состояние движения системы, и не требуют разыскания решений дифференциальных уравнений возмущенного движения. Функции, применяемые во втором методе, получили название функций Ляпунова. Основная идея второго (часто говорят —прямого) метода Ляпунова состоит в качественном исследовании поведения интегральных кривых системы дифференциальных уравнений возмущенного движения по отношению к некоторым поверхностям, которые могут либо меняться с течением времени, либо являются неподвижными интегральными поверхностями. [c.429]

Первое простое решение задачи о построении периодических решений автономных систем дал М. В. Остроградский. Учитывая, что нелинейность в автономных системах влияет на период, М. В. Остроградский предложил строить одновременно два разложения по степеням параметра ц искомой функции x(t) и ее периода Т(1 + а). Прием, предложенный М. В. Остроградским, был развит и обобщен А. М. Ляпуновым, распространившим его на системы с п степенями свободы и установившим условия сходимости получаемых при этом рядов. Существенные упрощения метода сделаны А. Н. Крыловым [103]. [c.534]

Пользуясь своим вторым методом, А. М, Ляпунов решил задачу об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого порядка в функциях Хд", в решении этой задачи он видел свое главное достижение. Случаи, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости, названы Ляпуновым критическими. В некоторых из критических случаев установившихся движений, а именно, в случаях одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней и двух нулевых корней характеристического уравнения, а также в некоторых случаях периодических движений Ляпунов дал решение задачи об устойчивости. В замечательной работе Ляпунова общая теория дифференциальных уравнений получила существенное развитие. [c.10]

Теперь опишем все части с большей подробностью. Первая часть Общие методы не изменилась по содержанию, только исправлены некоторые недостатки и кое-где введены некоторые дополнения. А именно, в главу И прибавлены поясняющие примеры и введен дополнительный раздел, дающий понятие об устойчивости при постоянно действующих возмущениях и приведено доказательство теоремы Ляпунова о производном определителе, которая в 1-м издании дана без доказательства. Наконец, подробно рассмотрен важный пример Ляпунова составления характеристического уравнения для уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. [c.7]

В настоящее время методы и алгоритмы анализа динамики линейных систем разработаны достаточно полно. В первую очередь это относится к методам анализа линейных систем с постоянными коэффициентами. В данной главе основные вопросы аназгиза динамики связаны с исследованием устойчивости и колебаний линейных систем. Основополагающими при рещении таких задач являются работы А.М. Ляпунова. [c.81]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

Труднейший вопрос об устойчивости фигур равновесия был поднят Ж. Лиувиллем и Б. Риманом. Решительный прогресс был достигнут в этом вопросе в работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре предложивших достаточно обилие методы исследования фигур равновесия враш ающейся жидкости, в том числе и их вековой устойчивости. Первые исследования обоих ученых в этой области относятся к середине 80-х годов. Уже в своей магистерской диссертации Ляпунов установил устойчивость эллипсоидов Мак-лорена при значениях эксцентриситета меньше 0,813 в обш их предположениях о возмущениях и устойчивость эллипсоидов Якоби при эллипсоидальных возмущениях В последующем были тщательно исследованы эллипсоиды бифуркации- и, в частности, обнаружены так называемые грушевидные формы равновесия. Однако Ляпунов указал в 1905 г. на неустойчивость этих форм в противоречие утверждению Дж. Дарвина об их устойчивости По этому вопросу возникла дискуссия, победителем которой оказался Ляпу- [c.77]

Теории движения спутников Сатурна посвящены работы Г. Н. Дубошина. При изучении движения каждого спутника все остальные спутники заменяются бесконечно тонкими круговыми однородными кольцами с массой, равной массе соответствующего спутника. Затем методом А. М. Ляпунова (18э7—1918) строится периодическая орбита, близкая к круговой, которая может служить первым приближением к реальным движениям спутников. Метод Хилла был применен Е. А. Гре-бениковым для построения аналитической теории движения восьмого спутника Сатурна — Япета. [c.165]

Уравнения (156) получепы с учетом влияния деформаций вантово-стержневой системы на перераспределение внутренних усилий и, следовательно, могут служить основой для суждения об устойчивости состояния равновесия. Известно, что наиболее мощным методом исследования устойчивости нелинейных систем является разработанный в трудах А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова метод линеаризации (первый метод Ляпунова), позволяю- [c.93]

В теории управления существует богатый арсенал методов и алгоритмов исследования устойчивости, o HOBoti для которых послужили две группы методов, разработанных первоначально А.М. Ляпуновым и известных в литературе как первый и второй. методы Ляпунова (см. 1221). [c.16]

См. лит. при ст. Интерферометр. ЛЯПУНОВА МЕТОДЫ, два осн. метода исследования устойчивости движения, предложенных А. М. Ляпуновым (1892). По существу каждый из Л. м. охватывает совокупность способов исследования, объединённых общей идеей. Первый Л. м. основывается на отыскании и исследовании решений ур-ний т. н. возмущённого движения, т. е. движения, к-рое по каким-то причинам (напр., вследствие случайного толчка) отличается от рассматриваемого невозмущённого движения. Второй (илп прямой) Л. м. наиболее распространён и состоит в исследовании устойчивости движения с помощью нек-рых, спец. образом вводимых ф-ций, наз. функциями Ляпунова. [c.356]

Особо следует остановиться на проблеме устойчивости в целом систем автоматического регулирования. Первый фундаментальный вклад в решение этой проблемы внес А. И. Лурье (1944), который предложил специальный метод (метод квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности ) построения функции Ляпунова. Метод Лурье и его работы были изучены и развиты в работах десятков советских и зарубежных исследователей (А. М. Летов, И. Г. Малкин, В. А. Якубович, М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер, С. Леф-шец, Ж. Ла-Салль, Р. Калман, Дж. Пирсон и многие другие). Принципиально новый метод исследования устойчивости систем автоматического регулирования предложил румынский инженер В. М. Попов. Метод частотных [c.128]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Одним из первых, кто понял большое теоретическое и прикладное значение теории устойчивости Ляпунова, был Н. Г, Четаев. В начале тридцатых годов он организовал в Казани семинар, на котором докладывались работы по устойчивости движения, аналитической механике и качественной теории дифференциальных уравнений. В работе семинара активное участие принимали М. Ш. Аминов, Г. В. Каменков, П. А. Кузьмин, И. Г. Малкин, К. П. Персидский и многие другие. Так образовалось ядро созданной Н. Г. Четаевым и ставшей впоследствии знаменитой Казанской школы устойчивости, особенно прославившейся развитием второго метода Ляпунова. Развитие науки и техники показало, насколько важно было предвидеть необходимость исследований в новой области механики, значение которой было тогда неясным, организовать начало этих исследований и привлечь к ним молодежь. [c.12]

Первое время предполагалось, что условия устойчивости, полученные по методу Лурье, могут быть расширены путем использования всех функций Ляпунова вида (8.10). Однако в работах В. А. Якубовича (196Q 1964), Р. Калмана (Ргос. Nat. A ad. Sei., 1963, 49 2), М. A. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера (1963) было доказано, что условия, получаемые по методу Лурье, на самом деле охватывают все условия, которые могут быть получены при помощи функций Ляпунова вида (8.10). Другой плодотворный подход к проблеме абсолютной устойчивости систем (8.8), не связанный с использованием функций Ляпунова, был разработан румынским математиком В. М. Поповым (1959—1961), предложившим некоторое частотное условие устойчивости. [c.44]

Таким образом, получили обобщение решения Хилла, в котором тороидальная скорость отлична от нуля. В нем имеется три свободных параметра Аго, и, а. Эксперименты с такими вихрями, проведенные группой Ю.А. Степанянца, показывают, что вихри типа Хилла устойчивы, а бегуш ие вихри, имеющие тороидальный компонент скорости, неустойчивы. Устойчивость таких вихрей можно исследовать методом Ляпунова (см. приложение П.2). Для этого требуется достаточно широкий набор первых интегралов движения уравнений Эйлера (7.1), (7.2). Отметим, что кроме хорошо известных интегралов энергии импульса Р и момента М [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...