Резонанс многомерный

Резонанс многомерных колебаний [c.341]

Следует различать модуляционную диффузию вдоль резонансов многомерной системы (п. 6.2г) от понижения порога перекрытия и последующей диффузии поперек резонансов вследствие низкочастотной модуляции в системе. Обе цитированные работы относятся именно ко второму (более простому) эффекту, который рассматривался также в работах [68, 467]. — Прим. ред. [c.342]

Теорема 3. Если собственные числа %i многомерного эллиптического канонического преобразования не допускают резонансов [c.355]

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он изучал переход. между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении А. [c.17]

Существует значительное различие между стохастичностью в системах с двумя и большим числом степеней свободы. Используя топологические соображения, Арнольд [12] показал ), что для систем с более чем двумя степенями свободы стохастические слои связаны между собой и образуют в фазовом пространстве плотную паутину . Для начальных условий на этой паутине стохастическое движение идет вдоль слоев, приводя к глобальной диффузии, не ограниченной инвариантными поверхностями. Этот механизм принято называть диффузией Арнольда. Она может быть быстрой или медленной в зависимости от толщины стохастических слоев. Такая диффузия существует (в принципе) для сколь угодно малых возмущений интегрируемых систем. Еще один интересный эффект в многомерных системах связан с медленной модуляцией одного из периодических движений ). В этом случае стохастическое движение вдоль паутины может значительно усиливаться за счет так называемой модуляционной диффузии. Этот механизм противоречит интуитивному представлению о том, что медленная модуляция должна приводить к адиабатическому поведению ). В многомерных системах резонансы могут значительно влиять на диффузию также [c.18]

И благодаря внешней стохастичности (шуму). Для систем с двумя степенями свободы действие шума эквивалентно, вообще говоря, наличию третьей степени свободы и приводит к диффузии вдоль резонансов. При этом резонансы могут значительно увеличивать скорость диффузии. Считается, что эти процессы могут ограничивать время жизни частиц и интенсивность пучков в накопительных кольцах. В гл. 6 мы рассмотрим диффузионные процессы в многомерных системах, включая диффузию Арнольда и модуляционную диффузию, а также совместное действие внешнего шума и резонансов. [c.19]

В этой схеме неявно предполагается, что исследуемая система является интегрируемой. Как мы видели в гл. 1, обычно это не так, и большинство многомерных динамических систем не интегрируемы. В таких системах хаотические траектории, связанные с резонансами между различными степенями свободы, занимают конечный фазовый объем, а их распределение среди регулярных траекторий оказывается всюду плотным. Теория возмущений не в состоянии описать всю сложность такого хаотического движения, что формально выражается в расходимости соответствующих рядов. [c.81]

Изменение топологии фазового пространства вблизи резонансов, хаотические области и характер движения в них составляют основное содержание последующих глав этой книги. В данной главе мы рассмотрим методы теории возмущений, которые используются для получения решений, аппроксимирующих в некотором смысле реальное движение в многомерных нелинейных системах. Решение в форме ряда может приближенно правильно отражать грубые черты истинного движения даже тогда, когда реальная траектория является хаотической или изменяет существенно свою топологию, но при этом целиком содержится в узком слое вблизи сепаратрисы и окружена регулярными траекториями. С другой стороны, теория возмущений не в состоянии дать хотя бы качественное описание хаотического движения в тех областях фазового пространства, где перекрываются основные резонансы. [c.82]

Резонансное каналирование имеет место и в многомерных системах [405]. Внешняя диффузия усиливается вдоль резонансной поверхности в направлении проекции на нее вектора резонанса ) Шц. [c.381]

Исследования систем со многими степенями свободы всегда вызывали большой интерес. Причиной этого является, с одной стороны, желание понять поведение непрерывных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, а с другой — связь со статистической механикой. Геометрия многомерных резонансов рассматривалась в п. 6.1а, а также в 6.3 (более подробное описание можно найти в работе [70]). С точки зрения резонансной структуры вопрос о поведении системы с большим числом степеней свободы сводится к вопросу о том, возрастает ли плотность основных резонансов быстрее, чем уменьшается их ширина, по мере распределения энергии по многим степеням свободы. Если это действительно так, то при N - оо следует ожидать перекрытия резонансов и сильной стохастичности движения. [c.404]

Метод Мельникова можно обобщить и на многомерные системы [196 ]. В частности, его можно использовать для изучения движения вблизи сепаратрисы вторичных резонансов. Этот метод привел также к важным математическим результатам в теории диффузии Арнольда [197[ ). [c.465]

Весьма интересный аспект проблемы длительной устойчивости Солнечной системы связан с учетом ее многомерности, вследствие чего инвариантные поверхности не являются изолирующими. Возможно, что этим же объясняются и щели в кольцах Сатурна вблизи резонансов с его внутренними спутниками. Чириков [68] изучал подобную возможность для родственной проблемы люков в поясе астероидов вблизи их резонансов с движением Юпитера ). Его предварительное заключение сводится к тому, что скорость диффузии Арнольда достаточна для того, чтобы очистить люки за время жизни Солнечной системы. [c.488]

При решении вопроса о том, какие из резонансов (7.2) надо учитывать для полного исследования устойчивости движений в многомерных гамильтоновых системах, полезно руководствоваться следующими двумя соображениями [c.217]

В К. с. к. р. регистрируют рассеянный сигнал в специально выбранном спектральном диапазоне, свободном от засветок возбуждающего излучения и паразитных некогерентных эффектов типа люминесценции (обычно используется антистоксова спектральная область). Высокая коллимировапность пучка когерентно рассеянного излучения позволяет эффективно выделять полезный сигнал на фоне некогерентных засветок и помех при использовании в качестве источников зондирующего излучения узкополосных стабилизироваи-ных лазеров достигается высокое спектральное разрешение полос КР, определяемое свёрткой спектров источников. Благодаря интерференц. характеру формы спектральной линии с помощью К. с. к. р. удаётся наблюдать интерференцию нелинейных резонансов разной природы (в частности, электронных и колебат. резонансов в молекулярных средах). Исключительно высокая разрешающая способность отд. модификаций К. с. к. р. путём подбора условий интерференции даёт возможность выявлять скрытую внутр. структуру неоднородно уширенных полос рассеяния, образованных наложившимися друг па друга линиями разной симметрии. Многомерность спектров К. с. к. р. обеспечивает значительно более полное, чем в спектроскопия спонтанного КР, изучение оптич. резонансов вещества. В К. с. к. р. разработаны методы получения полных комбинац. снектров за время от 10 с до 10 с. [c.391]

Если возмущение отсутствует (е = 0), то любая траектория рассматриваемой системы в конфигурационном пространстве является всюду плотной в многомерном параллелепинеде, если собственные частоты несоизмеримы (нерезонансный случай). Если же какой-либо резонанс имеет место, то существует нодиространство, в котором любая траектория представляет собой замкнутую кривую. Такие кривые называются фигурами Лиссажу. Они неустойчивы но отногиению к исчезающе малым возмущениям либо исчезают совсем, либо переходят в фигуры иной формы. [c.162]

Такой подход, использующий свойства симметрии молекул (метод неприводимых тензорных операторов [33]) в течение многих лет успешно используется для анализа спектров молекул тетраэдрической и октаэдрической симметрии. Наличие у этих молекул дважды и трижды вырожденных колебаний существенно усложняет расчеты, выполняемые в рамках обычной теории возмущений. В то же время формализм неприводимых тензорных систем позволяет сводить задачу вычисления рядов теории возмущений к вычислению стандартных сумм произведений коэффициентов Клебша—Гордана. Следует заметить, что формализм неприводимых тензорных систем особенно эффективен, когда функции и операторы преобразуются по многомерным представлениям группы симметрии молекулы. С этой точки зрения несомненный интерес представляет использование формализма неприводимых тензорных операторов для анализа спектров молекул и более низкой симметрии, чем Та (в частности Спу, /)пу, Опа и других, в которых имеются многомерные колебания), в особенности при наличии случайных резонансов. Принципиальная возможность подобного подхода достаточно понятна и обсуждалась, например, в работе [36]. Однако необходимость корректного количественного описания спектров высокого и сверхвысокого разрешения (в том числе и описания всевозможных расщеплений и случайных резонансов) различного типа молекул требует решения задачи в принципиальном плане и в плане получения конкретных рас- [c.42]

Диффузия вдоль стохастических слоев может быть связана не только с внутренней динамикой системы, но и с внешним шумом, эффект которого значительно усиливается на резонансах ( 6.3). Подобная диффузия рассматривалась Чириковым [71 ] и Теннисоном [405]. Важным примером диффузии в многомерной системе в присутствии шума является движение частиц в тороидальных магнитных полях. Мы рассмотрим эту задачу в 6.4 и проведем сравнение теоретических выводов с результатами численного моделирования. [c.342]

Арнольд высказал предположение, что движение вдоль резонансов является типичным свойством многомерных нелинейных колебаний, однако строгое доказательство этого отсутствует ). Недавно Холмс и Марсден [197], используя метод Мельникова [299] (см. 7.3 ниже), показали существование диффузии Арнольда у большого класса гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. [c.348]

Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых систем. Здесь для 2я-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при помощи теоремы Четаева о неустойчивости доказаны утверждения о неустойчивости при наличии резонансов третьего и четвертого порядков и рассмотрены различные аспекты задачи об устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда по устойчивости для большинства начальных данных, формулируется и доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости гамильтоновых систем, рассматриваются основные результаты исследований Нехорошева об оценке скорости диффузии Арнольда [78—81] в многомерных гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. [c.12]

Теперь, используя результаты теории многомерных гамильтоновых систем, изложенные в пятой главе, проведем еще анализ с точки зрения формальной устойчивости. Если в системе нет резонансов до четвертого порядка включительно, то функция Гамильтона, нормализованная до членов четвертой степени относительно 21, р1 включительно, будет иметь вид (6.1) и знакоопределенность квадратичной формы СаоГ + Сцг г + в квадранте > О, > О является достаточным условием формальной устойчивости [138]. Сначала рассмотрим случай отсутствия резонансов до четвертого порядка включительно. [c.161]

Программы анализа. Определенный анализ необходим как до начала проектирования многомерных систем с обратной связью, так и после его завершения. Так, вначале необходимо определить, является ли система устойчивой и сколько у нее неустойчивых полюсов. Кроме того, полезно определить наличие нулей, расположенных в правой полуплоскости, которые будут влиять на верхнюю границу достижимой полосы пропускания замкнутой системы. Семейство логарифмических частотных характеристик позволяет обнаружить наличие острых резонансов, которые могут привести к нарушению работоспособности системы, и определить степень взаимосвязи локальных контуров системы, а также частоту среза каждого контура. Комплекс программ LADP существенно облегчает этот анализ. [c.118]

В качестве диагностических признаков в СВШД выступают амплитуды и частоты резонансов авто- и взаимных спектральных характеристик собственных и вынужденных колебаний, линейные участки фазы, частотные диапазоны высокой когерентности. Оказались эффективными разработанные методы многомерного анализа MAR модели (многомерные авторегрессионные) и методы частотной и множественной когерентности, а также математические модели колебаний оборудования главного циркуляционного контура. В результате моделирования получены динамические характеристики оборудования РУ (модели колебаний теплообменной петли, внутрикорпусных устройств и тепловыделяющей сборки, шахты и корпуса реактора) как для штатного, так и для аномального состояний, что позволило выявлять неисправности реактора типа ВВЭР на ранней стадии развития. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...