Уравнение нелинейное

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Вопросом о существовании квазипериодических решений дифференциальных уравнений нелинейных колебаний, в частности автоколебательных движений, занимались Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский и др. [c.295]

В общем случае главный момент внешних сил зависит от координат центра инерции твердого тела, мгновенной угловой скорости и углов Эйлера. Исключая из уравнений (III. 4) проекции мгновенной угловой скорости на основании уравнений (III.5), получим вместе с (III.1) шесть дифференциальных уравнений движения тела с координатами центра инерции и углами Эйлера в качестве неизвестных функций. Эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими математическими трудностями. [c.401]

Гидродинамика имеет существенно иной характер. Ее уравнения нелинейны, и потому прямое их исследование и решение возможны лишь в сравнительно редких случаях. Благодаря этому развитие современной гидродинамики возможно лишь в непрерывной связи с экспериментом. Это обстоятельство сильно сближает ее с другими областями физики. [c.11]

Это уравнение нелинейно остановимся на случае малых колебаний. Полагая приближенно sin 0 0 и sin 20 20, приходим к линейному уравнению [c.433]

Исследование свойств жидкости и твердого тела показывает, что при плавлении твердое тело становится неустойчивым относительно длинноволновой сдвиговой моды. Расчеты здесь связаны с определением неустойчивости нелинейных уравнений, нелинейность которых обусловлена учетом ангармонизмов. Метод молекулярной динамики позволяет показать правильность этого подхода. Рассматривается простая модель, называемая коррелированной решеточной моделью, в которой центральная час- [c.202]

На примерах релаксационных систем мы убедились в том, что для математического описания движения в реальных автоколебательных системах с одной степенью свободы необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями второго порядка. Для систем, описываемых такими уравнениями, можно получить изображение соответствующего движения на фазовой плоскости. В некоторых случаях, когда уравнение нелинейно и не поддается аналитическому решению, построение фазового портрета движения в системе является существенной помощью в определении формы колебаний и динамики их установления. Следует отме- [c.196]

Это дифференциальное уравнение нелинейно и в элементарных функциях не [c.130]

Однако полученные выше уравнения нелинейны, и поэтому их решение можно получить методом итерации (последовательных приближений) Гаусса—Зейделя, смысл которого состоит в следующем. В начале процесса итерации задаются значениями g во всех узлах сетки. Затем, обозначая индексом i значения в узле после t-й итерации, мы повторяем операцию для каждой точки по формуле [c.191]

В общем случае это уравнение нелинейное и не решается в квадратурах в частном случае, при подстановке линейной функции Мд (со) в виде (11.33) из уравнения (11.37) получим равенство [c.370]

В общем случае при объемном напряженном состоянии определяющие уравнения нелинейной теории ползучести неоднородно-стареющих тел примут вид [20] для изменения формы [c.22]

Уравнения состояния (2.5), (2.6) или (2.8) являются основными определяющими уравнениями нелинейной теории ползучести для неоднородно-стареющих тел при объемном напряженном состоянии в случае малых деформаций. Рассмотрению нелинейных соотношений общего вида теории вязкоупругости, а также исследованию специальных частных случаев посвящены работы [334-336, 371, 418]. [c.25]

Экспериментальные исследования [231, 233] показали, что при достаточно длительном приложении нагрузки кривые ползучести, полученные на образцах, загруженных водном и том же возрасте, перестают быть аффинными, а нелинейность деформации ползучести с течением времени смягчается . Основной причиной этого явления является рост прочности материала с течением времени, т. е. развитие процесса его старения и соответствующее увеличение области линейной ползучести. Однако эта тенденция в старом возрасте материала продолжается уже неинтенсивно. Путем модификации определяющих уравнений нелинейной теории ползучести рядом авторов [119, 469, 530] были предложены разные пути для учета влияния старения материала на снижение нелинейности деформации ползучести. [c.26]

Определяющие уравнения нелинейной теории ползучести для неоднородно-стареющих тел. Примем уравнения состояния в следующем виде [16, 21, 397] [c.113]

В системе дифференциальных уравнений (нелинейных ) [c.219]

Это уравнение позволяет (при известных а и р) определить число циклов до разрушения материала детали, работающей по сложному циклу нагружения и нагрева с использованием характеристик длительной прочности и термоусталости при простом пилообразном нагружении. Метод расчета долговечности с использованием уравнения нелинейного суммирования изложен в гл. 6. [c.153]

Применение классического метода наименьших квадратов для оценки коэффициентов трендовых кривых, описываемых уравнениями, нелинейными по параметрам, приводит к ряду вычислительных трудностей, связанных с нелинейностью системы уравнений, из которой определяются неизвестные коэффициенты. Для решения таких систем применяют итеративные методы, часто обладающие плохой сходимостью. [c.33]

Скорость относительной линейной усадки композиции зависит в значительной степени от характера укладки волокна. На рис. 70 показаны расчетные зависимости линейной относительной усадки от приведенного времени т MP t для материалов с разной исходной геометрией (М — коэффициент, зависящий от структуры и температуры п — параметр, входящий в уравнение нелинейного вязкого течения Р — давление прессования). [c.156]

При постоянной величине Ej сопротивление деформации такой модели может быть представлено в виде интегральных уравнений нелинейной наследственной вязко-упругой среды [c.51]

Классическая (линейная) теория. Если углы поворота малы и можно пренебречь как их произведениями, так и квадратами по сравнению с. .., то уравнения нелинейной теории переходят в уравнения классической механики сплошной среды [c.491]

Напомним, что выше начальный прогиб Wq — (х) и начальное окружное усилие Ту = Ту (х) определены с использованием решения уравнения обычного линейного краевого эффекта. Такой краевой эффект не оказывает заметного влияния на критическую нагрузку, так как зона начального моментного состояния локализована вблизи закрепленных торцов, а амплитуда начального прогиба при нагрузках порядка критических невелика. Однако для сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки имеется одно обстоятельство, существенно увеличивающее влияние начального моментного напряженного состояния оболочки на критические нагрузки. Осевые усилия в цилиндрической оболочке могут заметно влиять на докритические прогибы Wq, если абсолютные значения осевых усилий имеют порядок q p. Для выявления этого влияния при определении начального прогиба вместо линейного уравнения осесимметричного изгиба оболочки (6.65) следует использовать так называемое уравнение нелинейного осесимметричного краевого эффекта [c.264]

При малых (по сравнению с единицей) значениях параметра со решение уравнения нелинейного краевого эффекта мало отличается от решения обычного линейного уравнения осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки. Но при приближении значения параметра со к единице понятие краевого эффекта теряет силу, так как возмущения, возникающие у торцов оболочки, распространяются на расстояние, значительно превышающее зону обычного линейного краевого эффекта. При о) 1 эти возмущения охватывают всю длину оболочки, а их амплитуды неограниченно возрастают. [c.265]

Для исследования устойчивости такой осесимметричной изгиб-ной формы равновесия цилиндрической оболочки можно воспользоваться системой уравнений (6.73), но величины = Wq х) и Т°у Т1 (х) следует определить из решения уравнения нелинейного краевого эффекта. [c.265]

Обратимся теперь к построению частного решения неоднородного дифференциального уравнения (4.3). Предположим, что нам известно какое-либо частное решение уравнения нелинейного осциллятора г. Тогда с точностью до постоянного множителя решение (4.10) может быть представлено так [c.141]

Так как все эти системы уравнений нелинейны и не поддаются непосредственному интегрированию, их решение было выполнено на электронной вычислительной машине М-20, для приведенных [c.372]

Полученные дифференциальные уравнения нелинейные, поэтому прибегаем к линеаризации. После преобразований и сон-местного решения уравнений (1 и 2) получаем дифференциальное уравнение второго порядка [c.113]

Ввиду того что наша система уравнений нелинейна, введем параметр X (длина итерационного шага). Отсюда [c.134]

Рассмотрим расчетную модель в виде двух упруго соединенных тел (рис. 104). Такую расчетную модель можно принять для многих типов сооружений (рис. 105). Уравнения нелинейных пространственных колебаний тела, моделирующего недеформируемую часть сооружения, можно получить из выражений (8.20) или (8.37) [62] [c.349]

Уравнения нелинейных пространственных колебаний здания (см. рис. 107) [c.358]

Результаты численного моделирования показывают, что максимальная величина углов вращательных колебаний составляет 1—2°. Гармонические функции таких углов вращения можно аппроксимировать первыми двумя членами их разложений в ряды и удерживать в исследуемых уравнениях нелинейных колебаний максимум третий порядок малости. [c.360]

Исследование возмущенных движений с большими отклонениями в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми при малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений при этом вид нелинейности существенно влияет на характер процесса при неограниченном возрастании времени. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится к некоторому устойчивому режиму с постоянными амплитудами (пиковыми значениями) — режиму автоколебаний. [c.286]

Как следует из приведенной системы уравнений, нелинейные члены во втором приближении приводят к появлению гармоники удвоенной частоты. [c.92]

Для расчета влияния колебаний внешнего потока на осредненный по времени тепловой пограничный слой при больших значениях частоты и амплитуды колебаний может быть использован метод, применяемый для анализа динамического пограничного слоя. Пренебрегая в пульсационном уравнении нелинейными членами, получим уравнение для высокочастотных колебаний температурного поля [c.113]

Гармонически линеаризованное уравнение нелинейности с характеристикой, представленной на рис. VI.2, записывается [23] [c.232]

Системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называют линейными системами, а описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями — нелинейными. Таким образом, собственные колебания являются гармоническими только в линейных колеба7ельных системах и только к линейным системам относится все сказанное выше о собственных и вынужденных колебаниях. [c.615]

Отметим, что методы, нрименяем1ле при решении системы, описывающей нелинейные колебания, могут быть с успехом применены для решения других не--пинейных колебательных сисгем (например, уравнений нелинейной оптики). [c.21]

Последнее уравнение — уравнение линейно-упругой (гуковской) среды, если 6= = onst, и уравнение нелинейно упругой среды, если Ь=Е е), где —модуль упругости (модель среды в виде пружины, рис. 260, б). [c.483]

Уравнения состояния нелинейной теории ползучести для неоднородно-стареющих тел можно получить аналогично линейной теории. Для этого в каждом элементе нелинейно-упругоползучего тела надлежит ввести локальное время, отсчитываемое от момента зарождения этого элемента. В локальном времени для описания нелинейных эффектов могут быть использованы уравнения нелинейной теории ползучести для однородно-стареющих тел [15, 216, 401]. Далее эти уравнения преобразуются в абсолютном времени. Приведем соответствующие уравнения, получающиеся в результате указанного преобразования. [c.21]

Хабип [63] и Видера [188] построили варианты нелинейной теории анизотропных слоистых пластин с помощью асимптотического интегрирования трехмерных уравнений нелинейной теории упругости. [c.190]

Машины оснащаются несколькими интеграторами, число которых определяет наивысщий порядок системы дифференциальных уравнений, которую способна решить машина. Кроме того, в комплект моделирующей установки входят усилители-инвертеры, суммирующие подаваемые на их вход напряжения и изменяющие знак суммы на обратный множительные блоки, осуществляющие операцию умножения напряжений при решении нелинейных уравнений, а также специальные функциональные преобразователи, позволяющие получить кусочно-линейную аппроксимацию входящих в уравнения нелинейных функций. [c.84]

Приведенная система уравнений нелинейна ввиду сложной нелинейной зависимости между параметрами состояния [уравнения (7-5), (7-6)], нелинейной зависимости теплофизических характеристик металла и газа от соответствующих температур и коэффициентов теплоотдачи от температур и расходов. Нелинейность обусловлена также наличием в уравнениях произведений ис-= комых переменных (7-1), (7-2), (7-4). [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...