Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения

Как установлено, для решения широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных существует метод, позволяющий найти функцию q it) =Д<7](0) при одном и том же t. В этом случае переменная 2 подчинена переменной q (принцип подчинения). Это позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.19]

Как установлено [7] для широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными су- шествует метод, позволяющий найти функцию q2(t)=f(qi(t)) при одном и том же t. В этом случае переменная q2 подчинена переменной qi (принцип подчинения), что позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.64]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [c.177]

Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения 179 [c.179]

Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения 181 [c.181]

Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения 183 [c.183]

В гл. 4 заложена основа для стохастических методов, используемых главным образом в гл. 10. В гл. 5 и 6 рассмотрены связанные нелинейные осцилляторы и квазипериодическое движение. Обе главы (5 и 6) содержат подготовительный материал к гл. 8 (в особенности, к разделам 8.8—И). В гл. 6 излагается важная теорема Мозера. Чтобы не перегружать основной текст, ее доказательство (принадлежащее Мозеру) вынесено в приложение. В гл. 7 подводится итог нашего продвижения по основному направлению, начатого в гл. 2 и 3, и рассматривается принцип подчинения (для нелинейных дифференциальных уравнений с флуктуирующими силами и без них). В этой главе излагаются также новые результаты,. [c.89]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

В противном случае систему называют нелинейной. Линейность дифференциальных уравнений и дополнительных условий относительно и (/) еще не означает линейности оператора Н. Так, параметрические системы нелинейны по отношению к параметрическим возмущениям, что находит отражение, например, в методах их аналитического исследования (см. гл. XIX). Как и в теории детерминистических колебании, вводятся понятия о стационарных и нестационарных системах, о системах с конечным, бесконечным счетным и континуальным числом степеней свободы. Операторное уравнение (2) для распределенных систем обычно реализуется в виде дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными и начальными условиями. Поэтому применительно к задачам случайных колебаний распределенных систем применяют также термин стохастическая краевая задача. [c.286]

Эволюция вектора у (t) в пространстве U будет представлять собой диффузионный марковский процесс. Однако стохастические уравнения (24) для линейных параметрических систем оказываются нелинейными по отношению к части из компонентов вектора у (t). Поэтому уравнения относительно моментных функций образуют бесконечную систему. В уравнения, содержащие производные от моментных функций низших порядков, войдут моментные функции более высокого порядка. В связи с этим возникает проблема замыкания, т. е. приближенного сведения бесконечной системы дифференциальных уравнений к конечной системе. Кроме того, после замыкания уравнения будут содержать смешанные моменты процессов х (О и z (f), которые не входят в определение устойчивости по совокупности моментных функций. Поэтому вводят модифицированное определение устойчивости. [c.304]

Во многих прикладных и теоретических исследованиях для решения нелинейных стохастических задач применяют приближенные методы. Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть движение системы описывается дифференциальным уравнением [c.79]

Рассмотренные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, блоки аппроксимации линейных и нелинейных функциональных и временных зависимостей составляют стандартное математическое и техническое обеспечение АВМ. К специальному математическому и техническому обеспечению аналоговых вычислительных машин относятся методы и устройства моделирования краевых задач, линейных и нелинейных алгебраических уравнений, задач расчета производных и функций чувствительности, дискретных, нестационарных и стохастических систем, уравнений в частных производных, задач оптимизации и геометрических задач. Специальное математическое и техническое обеспечение требуется при встраивании АВМ в экспериментальные установки и испытательные стенды для имитации реальных процессов, регистрации и обработки результатов испытания. Предметом специального рассмотрения может служить теория и практика аналого-цифровых вычислительных комплексов. Некоторые составляющие специального математического и технического обеспечения АВМ изложены ниже. [c.92]

Рассмотрим простейший одномерный. марковский процесс ( ). Пусть этот процесс является однородным во времени и задан нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка [c.181]

Некоторые топологические соображения помогают наглядно представить, а затем и понять многомерное движение. Они естественно приводят к разностным уравнениям, т. е. к отображению динамической траектории системы на некоторое подпространство ее фазового пространства. В случае двух степеней свободы такие отображения дают простую и наглядную картину движения. Более того, использование отображений — обычно наиболее удобный путь проведения как аналитических и численных расчетов стохастического движения, так и математических доказательств существования различных типов траекторий. Вместе с тем регулярное движение, как мы видели в гл. 2, часто бывает удобно описывать дифференциальными уравнениями. Переход от дифференциальных уравнений (Гамильтона) к отображениям и обратно широко используется при анализе движения большинства нелинейных динамических систем. [c.175]

Все перечисленные выше индивидуальные особенности уравнений, взятые вместе, приводят нас к нелинейному стохастическому дифференциальному уравнению в частных производных общего типа [c.46]

Общее обсуждение нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных (1.11.13) лишено смысла, поскольку такие уравнения охватывают необычайно широкий, поистине необъятный круг явлений. С другой стороны, в синергетике нас интересуют общие свойства сложных систем. Мы можем существенно продвинуться к поставленной цели, сосредоточив внимание на тех ситуациях, в которых макроскопическое поведение системы изменяется резко. Попробуем придать этой идее математический вид. Обсудим для этого на одном примере из биологии понятие структурной устойчивости. [c.57]

Итак, квантовомеханический пространственно-временной эволюционный подход позволил нам избавиться от устаревшей проблемы отбора решений и специальных правил обхода полюсов функций Грина. Сила этого подхода в том, что он приводит не к вычислению отклика среды на действие источника, а к решению начальной задачи (задачи Коши), для которой существуют теоремы о существовании и единственности решения. Фейнман в своем первоначальном подходе к построению диаграммной техники для функции Грина постулировал правила обхода ее полюсов. Эти правила оказались абсолютно правильными для задач квантовой теории поля, в которой рассматривается только рассеяние одной, двух (т.е. конечного числа) частиц друг на друге, а все бесконечное число степеней свободы утоплено в ненаблюдаемый в реальных переходах вакуум. Его роль проявляется только в виртуальных переходах и сводится к перенормировке параметров частиц (закона дисперсии, массы, заряда). При рассеянии частиц и волн в макроскопических системах такой подход оказывается недостаточным, поскольку при этом макроскопическое число частиц или волн оказывается в возбужденных ( над вакуумом ) состояниях. Использование правил отбора решений Фейнмана для таких задач в монографиях [41, 42] приводит к ошибочным результатам. В этом случае работают все четыре обхода двух полюсов, то есть четыре функции Грина, и необходимо использовать диаграммную технику Келдыша [39], полностью эквивалентную задаче Коши. Такая ситуация имеет место для любой классической задачи, связанной с нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением. Эти задачи эквивалентны квантовым (хороший пример - теория турбулентности [43]). Только для линейных задач с параметрической случайностью , т.е. для линейных уравнений со случайными коэффициентами, из четырех функций Грина остаются две - запаздывающая С и д опережающая. Мы увидим, что энергия рассеянных волн выражается через их произведение. При этом (3 отвечает за эволюцию поля на нижней ветви контура Швингера-Келдыша, а 0 - за эволюцию на верхней ветви (см. рис. 2). [c.67]

Гл. 4 Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения , пожалуй, слишком фрагментарна. Основное внимание в ней уделяется двум возможным трактовкам нелинейных стохастических уравнений (дилемма Ито—Стратоновича) и переходу к соответствующим уравнениям Фоккера—Планка. Вопрос о преимуществах каждой из двух трактовок фактически не обсуждается, а такой анализ был бы полезен, поскольку они не исчерпывают всех вариантов возможна иная запись уравнения Фоккера—Планка и соответствующего уравнения Ланжевена, более естественная с точки зрения общей кинетической теории. (Для системы с диссипативной нелинейностью это приводит к обобщенному выражению Эйнштейна для коэффициента диффузии.) [c.8]

В общей физике Кои и Пейн [1967] использовали сочетание метода многих масштабов и метода сращивания асимптотических разложений для решения уравнения Фоккера—Планка, которое описывает реакцию самовозбуждающихся осцилляторов на случайные возбуждения. Браун [1967] разработал стохастическую теорию диссоциации и рекомбинации двухатомных молекул. Рамнат [1970а] получил приближение к модели Томаса —Ферми в атомной физике и рассмотрел класс нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в астрофизике [1971]. Мейер [1971] исследовал рэлеевское рассеяние лазерного луча на тяжелом релятивистском атоме с двумя уровнями энергии Нинхус [1970] изучал броуновское движение с вращательной степенью свободы. [c.253]

Существуют различные интерпретации нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Наиболее известными являются интерпретации Ито [91] и Страто-новича [36]. Краткие сведения об этих интерпретациях приведены в приложении 9Г. Отметим, что с чисто математической точки зрения выбор интерпретации есть, в значительной мере, вопрос удобства. Имея систему стохастических уравнений, записанную в какой-то одной интерпретации, нетрудно, следуя хорошо известным правилам, переписать ее в любой другой интерпретации. Более серьезной проблемой является построение в явной форме нелинейных стохастических уравнений, описывающих данную систему, и определение свойств случайных источников. Тогда выбор интерпретации стохастических уравнений становится физическим вопросом. Для его решения естественно исходить из микроскопического описания системы. Как мы видели, такой подход позволяет вывести уравнение Фоккера-Нланка для функции распределения флуктуаций, в котором корреляционные функции микроскопических потоков определяют коэффициенты дрейфа и диффузионную матрицу. С другой стороны, уравнение Фоккера-Нланка можно вывести непосредственно из стохастических уравнений (см., например, [72, 146]). [c.238]

Особые трудности возникают при анализе нелинейных стохастических дифференциальных уравнений [14—17]. Непосредственное усреднение стохастических дифференциальных уравнений обычно удается провести лишь для частных моделей случайных процессов. Как правило, в нелинейных задачах такая процедура приводит к бесконечным зацепляющимся цепочкам уравнений для моментов, анализ которых может представлять значительные трудности. В последнее время был развит ряд методов усреднения нелинейных стохастических уравнений для дельта-коррелированных случайных процессов [8—10], предложены способы усреднения для некоторых конкретных моделей случайных процессов с. конечным вредгенем корреляции [11 — 13]. Вместе с тем даже при анализе частных случаев нелинейных стохастических дифференциальных уравнешш далеко не всегда удается получить хорошо обозрид1ые конечные результаты. [c.146]

В настоящей главе изложены некоторые результаты, относящиеся к теории распространения и взаимодействия линейных и нелинейных волн в случайнонеоднородных средах. На частных примерах, допускающих достаточно полный анализ, обсуждаются некоторые особенности, возникающие при исследованихг линейных и нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. [c.146]

Стохастическое поведение консервативных гамильтоновых систем известно из работы [136), где показано, что неинтегрируемость некоторой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы приводит к возникновению хаоса. Обзор проблемы хаоса в гамильтоновых системах дан в [200]. в которой проведено интенсивное сопоставление старых и новых взглядов на вопросы интегрируемости. Учитывая некоторую аналогию между задачами небесной механики и движением точечных вихрей, можно предположить, что и в последнем случае будет иметь место хаотическое поведение. Поэтому усилия многих современных исследователей направлены на выяснение вопросов как, где и почему хаотическое поведение входит в динамику точечных вихрей В исследованиях [ 55, 93 ) рассмотрены типичные задачи этого класса. Важной особенностью хаотического движения в задачах вихревой динамики на плоскости является то, что хаос здесь возникает из полных уравнений движения Эйлера, сведенных к гамильтоновой форме, а не в результате модовых (галеркинских) аппроксимаций. Использование таких аппроксимаций является ахиллесовой пятой многих работ по изучению перехода к турбулентности. В частности, если в задаче Лоренца использовать большее число базисных функций, т.е. учесть следующие гармоники полей скорости и температуры, то полученная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений уже не обладает <саттракторными свойствами. [c.158]

В оСщеУ случае система ориентации и стабилизации КА описывается системой нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в векторной форме [c.209]

Существенной чертой уравнений в вариационных производных для характеристического функционала является их линейность. При этом задача вероятностного описания нелинейных распределенных динамических систем сводится к решению линейных, но на классе уравнений большей размерности. Аналогичная ситуация имеет место при анализе нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенньти дифференциальными уравнениями. Их статистический анализ, как мы видели, может быть проведен в рамках стохастических уравнений Лиувилля, т. е. линейных уравнений в частных производных. Следует, однако, сказать, что математические средства (функциональный аппарат) решений уравнений в вариационных производных развиты цока недостаточно. [c.148]

Глава 7 Нелинейные уравнения. Принцип подчинения , пожалуй, наиболее существенна для понимания возможности a юop-ганизации в различных системах (на принятом в книге уровне описания). Принцип подчинения, который иллюстрируется на многих примерах, описываемых как динамическими, так и стохастическими уравнениями, позволяет выделить при образовании (по мере изменения бифуркационного — управляющего — параметра) новых диссипативных структур величины, которые играют роль параметров порядка. Изложение начинается с очень простых примеров и завершается исследованием дискретных отображений со случайными источниками и стохастических дифференциальных уравнений. При этом переход от дискретного времени к непрерывному в стохастических уравнениях не является тривиальным. Надо про- [c.8]

Основная цель этой книги состоит в изучении резких макроскопических изменений систем. Как было показано во введении, такие изменения могут наступить, когда система теряет устойчивость по линейному приближению, В точке, где происходит потеря устойчивости, становится возможным исключить очень большое число степеней свободы, поэтому макроскопическое поведение системы зависит лишь от весьма небольшого числа степеней свободы. В этой главе мы хотим показать в явном виде, каким образом вблизи точки, в которой происходит потеря устойчивости по линейному приближению, можно исключить большинство переменных. Такие точки потери устойчивости называются критическими. Предлагаемый вниманию читателя метод прост и охватывает большинство практически важных случаев. Основные идеи метода мы покажем на простом примере (разд. 7.1), после чего изложим наш метод для нелинейных уравнений в общем случае (разд. 7.2—7.5) Основные предположения и допущения перечислены в разд. 7.2, окончательные результаты приведены в разд. 7.4 (до формулы (7.4.5) включительно). Разд. 7.3 и конец разд. 7.4 посвящены вопросам, носящим более технический характер. Остальную часть этой главы мы отводим обобщению принципа подчинения на случай дискретных отображений с шумом и на стохастические дифференциальные уравнения типа Ито (и Стратоновича) (разд. 7.6—7.9). [c.224]

С математической точки зрения уравнения (9.1.3) представляют собой систему нерасцепляющихся нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Разумеется, такие уравнения охватывают необычайно широкий класс процессов, и нас будут интересовать такие ситуации, в которых описываемая идш система резко изменяет свои макроскопические свойства, приобретая какой-то новый качественный элемент или утрачивая существовавший ранее. Приведем несколько примеров систем, описываемых уравнениями (9.1.3). В химии находят широкое применение уравнения реакций с диффузией вида [c.311]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...