Перекрытие резонансов

Возникновение стохастичности в гамильтоновых системах типа (1) определяется значением амплитуды внеш. силы, что имеет простой физ, смысл. При достаточно больших амплитудах появляется большое число гармоник оси. частоты колебаний, на каждой из к-рых возможен нелинейный резонанс при дальнейшем увеличении амплитуды области резонанса в фазовом пространстве, соответствующие этим движениям, перекрываются (т. и. перекрытие резонансов Чирикова). Обнаружение стохастич. поведения гамильтоновых [c.695]

Пользуясь выражением (3.19), определяют ао v (Vh, /н) оптимизация. этой формулы требует большого значения коэффициента поглощения излучения, и следовательно, хорошего перекрытия (резонанса) с линией лазера накачки. [c.150]

Для двух моделей композиционных сред установлены условия перехода к детерминированному хаосу в распространении траектории трещины. Работа посвящена прогнозированию распространения трещины в неоднородных средах. Для композита с кусочно постоянными свойствами переход происходит по типу перекрытия резонансов, для периодически неоднородной среды — по типу стохастического аттрактора [5. [c.372]

Наша ближайшая цель будет заключаться в том, чтобы найти связь между критерием перекрытия резонансов (2.10) н критерием растяжения (1.14). Для этого раскроем в явной форме выражение для К (2.8). [c.82]

V > шо методом перекрытия резонансов. В этом случав резонанс происходит при п > УУо и пользоваться оценкой (2.8) нельзя. [c.92]

Перекрытие резонансов означает объединение их стохастических слоев и разъясняет причину, по которой критерий перекрытия резонансов соответствует критерию стохастичности. [c.96]

В заключение этого параграфа приведем два примера, являющиеся хорошей иллюстрацией образования большой области стохастичности при слиянии различных стохастических слоев в ре< зультате перекрытия резонансов. [c.97]

Происхождение и формулировка проблемы. Перекрытие резонансов и [c.123]

Отсюда условие возникновения стохастичности может быть записано как условие перекрытия резонансов [c.126]

Наконец, полезно также отметить, что критерий стохастичности (2.26) может быть получен из условия перекрытия резонансов, подобно тому, как это делалось в 7.1 для задачи Ферми — Паста — Улама. [c.136]

Квантовый нелинейный резонанс во внешнем поле. Эффективный гамильтониан. Взаимодействие двух резонансов при их перекрытии. Численный анализ стохастичности при перекрытии резонансов [c.187]

В 4.2 было показано, что в типичной ситуации для классических систем условие стохастичности совпадает с критерием перекрытия резонансов (4.2.8), предложенным Чириковым. В тех слзгчаях, когда ширина отдельного резонанса совпадает с расстоянием до ближайшего резонанса, возникает случайное движение. Естественно рассмотреть подобную ситуацию и в квантовом случае. [c.187]

Тогда критерий перекрытия резонансов в классическом случае выглядит следующим образом если выполнено условие А(о/б(о — II 1, [c.192]

Корреляционная функция в случае перекрытия резонансов изображена на рис. 10.3. Теперь картина иная, чем на рис. 10.2. Коррелятор диагонального элемента затухает, что соответствует существованию релаксации диагональных элементов матрицы плотности к равновесному состоянию. При этом имеются большие остаточные корреляции, показывающие, что закон затухания не является экспоненциальным, поскольку диагональные элементы не содержат фазового множителя и, следовательно, по ним отсутствует быстрое перемешивание. Наоборот, корреляторы матричных элементов р,,о и Р1.25 быстро затухают с очень слабыми флуктуациями на больших временах. [c.195]

Яид Лт(Я) при перекрытии резонансов изображен на рис. 10.4. Его структура близка к непрерывной. [c.196]

Прп отсутствии перекрытия резонансов. [c.249]

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он изучал переход. между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении А. [c.17]

Некоторое указание на причину возникновения стохастичности вблизи сепаратрисы можно получить из картины перекрытия резонансов, которое приводит к чрезвычайно запутанному движению, в особенности с учетом резонансов высоких порядков. К такому же заключению можно прийти и с другой точки зрения, рассмотрев траекторию самой сепаратрисы. Как из теоретического анализа, так и из численных экспериментов следует, что с учетом возмущения сепаратриса не является уже такой гладкой кривой, как в интегрируемой системе (рис. 1.4), а напротив, также оказывается чрезвычайно сложной. Движение вблизи сепаратрисы подробно обсуждается в п. 3.26. При достаточно малом возмущении инвариантные поверхности ограничивают область стохастического движения (см. 3.2а), однако с увеличением возмущения резонансы более высоких порядков отодвигают инвариантные поверхности от сепаратрисы и тем самым расширяют область сложного движения. [c.63]

Слияние стохастических траекторий в единую сеть было доказано [12] для специальной нелинейной системы. В общем случае такого доказательства до сих пор нет, но известно несколько численных примеров диффузии Арнольда. С практической точки зрения возникают два основных вопроса 1) какова относительная мера стохастической компоненты в интересующей нас области фазового пространства и 2) какова скорость диффузии Арнольда для тех или иных начальных условий. Оценку размеров стохастической компоненты можно получить из критерия перекрытия резонансов (см. гл. 6). [c.72]

Так же как и в системах с двумя степенями свободы, перекрытие резонансов приводит к образованию стохастического слоя конечной ширины и вызывает движение поперек слоя. Новой особенностью диффузии Арнольда является движение вдоль стохастического слоя, которое возникает при взаимодействии по крайней [c.72]

При доказательстве теоремы KAM [308] возмущение е приходится, вообще говоря, полагать чрезвычайно слабым. Чириков [67 ] нашел, что критическую величину возмущения можно оценить из условия перекрытия целых резонансов, изображенных на рис. 3.2, б. Численные эксперименты показали, что этот критерий дает разумную оценку для величины возмущения, при которой разрушаются последние инвариантные кривые, проходящие между этими резонансами. Используя аналитические и численные результаты с учетом дробных резонансов q — 2 и q = 3, Чириков [70 ] усовершенствовал критерий перекрытия и получил весьма точные предсказания для границы стохастичности. Критерий перекрытия резонансов и связанные с ним другие критерии перехода к стохастичности для некоторого класса типичных возмущений будут подробно рассмотрены в гл. 4. [c.195]

Поскольку расстояние б/ между целыми резонансами равно для стандартного отображения его периоду 2я, параметр перекрытия резонансов имеет вид [c.255]

К сожалению, эта красивая картина одновременного перекрытия резонансов на всех уровнях несправедлива даже качественно, поскольку при перекрытии системы резонансов их центры остаются еще долго неразрушенными. Для стандартного отображения, например, граница стохастичности соответствует /С = Я" , 1, а разрушение центра целых резонансов происходит только при /С = К й = 4. Формально, это связано с тем, что уравнение (4.3.20) не имеет решения при х 2, а при X = я оно несправедливо.— Прим. ред. [c.266]

Дело не в перекрытии резонансов, а в масштабе времени релаксации, в качестве которого можно принять грубо обратную величину КС-энтропии. Последнюю легко оценить, поскольку подсистема (6.2.6а) сводится локально к стандартному отображению с параметром К = — Прим. [c.354]

Усреднение по Хо требует пояснения. Фактически важна разность фаз ф (0) = Хо + /2 [см. (6.2.63)], которая, как и /о, не является на самом деле постоянной вследствие стохастического движения при перекрытии резонансов в мультиплете.— Прим. ред. [c.372]

Уравнения (48), (36) определяют одну и ту же величину у. Уравнение (36) детерминированное и переходить к вероятностному описанию у в нем можно для ж, удовлетворяющих условию (43). Задание локальных неоднородностей с помощью (5-функций ведет к тому, что в этом случае частотный спектр F x) имеет бесконечную ширину. Если рассматривать F(x) с ограниченным спектром, то тогда необходимо, чтобы ширина его была достаточно велика, что соответствует случаю, когда эффективная толщина локальной неоднородности много меньше периода колебаний луча. При К 1 происходит перекрытие резонансов системы, движение стохастизируется, а фаза ip изменяется случайным образом в зависимости от ж. Для выполнения условия К 1 необходимо 1) -образность какой-либо производной F x), что означает присутствие большого числа гармоник в спектре F x) [c.811]

Взаимодействие резонансов. Перекрытие резонансов. Связь с условием. юкальной неустойчивости. Роль числа резонансов [c.80]

Параметр перекрытия резонансов К был введен в 1959 г. Чириковым [74], который высказал гипотезу о том, что при условии (2.10) движение системы запутывается сложным образом в резонансах и должно быть похожим на стохастическое. Ипаче, при выполнении (2.9) движение должно быть устойчивым в соответствии с теоремой KAM, а прн 1 развивается локальная неустойчивость. Впоследствии критерий перекрытия резонансов, как критерий стохастичности, был подтвержден разнообразными численными и непосредственно экспериментальным анализами (ком. 2). [c.82]

Остановимся па некоторых обобщениях. Особенностью критерия перекрытия резонансов (2.10) является то, что для вычисления К достаточно пользоваться исследованием движения системы в окрестности только одного резонанса и в пренебрежении всеми другими. Технически такая задача достаточно просто решается, как было показано в 1.3, что делает критерий (2.10) практически очень удобным (ком. 3). Продемонстрируем это следующим образом. В правой части универсальной модели (1.5) стоит сумма эквидистантных импульсов. Разложение такой силы в ряд Фурье (2.1) имеет бесконечное число равноотстоящих на величину V гармоник с одинаковыми амплитудами. Ясно, что число гармоник может быть конечным, а амплитуды и расстояния по частоте между гармониками могут слегка варьироваться, и тем не менее критерий (2.10) сохранится. Конечно, описанная вариация задачи также позволяет построить преобразование и определить параметр растяжения, однако условие перекрытия резонансов в даннози случае быстрее приводит к цели. [c.83]

Во многих исследованиях критерий Чирикова (2.10) используется как очень эффективный способ обнаружения стохастичности в довольно сложных системах. Правильная физическая интуиции, которая привела к этому критерию, не основывалась на каких-либо строгих методах и ие была связана с использованием результатов эргоднческой теории. Численному анализу условия перекрытия резонансов посвящены работы [14, 15, 24, 25]. В частности, в работе [791 было исследовано появление стохастичиостп при перекрытии всего липп, двух ( ) резонансов. [c.86]

В этом месте следует сделать определенные предостережения. Как всякое качественное условие достаточно общего характера, оно имеет определенное число оговорок, которые не столь просто сформулировать. Это связано с тем, что отсзгтствие строгого вывода критерия перекрытия резонансов не дает возможности точно указать его пределы применимости. Приведем простой пример. Пусть два резонанса столь сильно перекрываются, что почти совпадают друг с другом (81т- -О, бшт- О). Тогда ясно, что мы имеем дело практически с одним резонансом, но удвоенной амплитуды, и никакой стохастичности не будет. Однако очевидно, что если резонансов не два, а УУ, и УУ > , т. е. общее число резонансов больше параметра перекрытия резонансов, то описанный эффект вырождения стохастичности отсутствует и критерий (2.10) работает. Различные особенности и уточнения критерия (2.10) содержатся в обзорах Чирикова [24, 25]. [c.86]

Весь ход приведенных выше вычислений показывает, что усложнение зависимости возмущения от времени может лшпь увеличивать ширину стохастического слоя. Особая роль в разрушении принадлежит наличию точек гиперболического типа на фазовой плоскости, через которые проходит сепаратриса. Именно в окрестности этих точек происходит очень длительная остановка частицы. Поэтому период колебаний становится столь большим (частота стремится к нулю), что даже малые возглущения могут сильно возмутить траекторию. Рассмотрим, как приведенные соображения реализуются формально. Для разнообразия оценим область разрушения сепаратрисы из условия перекрытия резонансов [83, 14]. [c.90]

Запишем условие перекрытия резонансов. Найдем анало-гично (2.6) ширину резонансв. % Имеем для максимального пз-менения действия в окрестно-Рис. 5.5. Фазовые траектории частиц ОДНОГО резонанса [c.98]

При выводе квазилинейного уравнения авторы работы [91] использовали условие отсутствия захваченных частиц, которое, по существу, совпадает с условием перекрытия резонансов. Действительно, только в этом случае частицы, находяпщеся в потенциальных ямах одной какой-либо из волн, не смогут находиться в ней существенно дольше, чем в течение времени пролета частицы в яме [c.122]

Взапмодействие нескольких резонансов возникает при их перекрытии. В классическом случае ( 4.2) перекрытие резонансов являлось одним из критериев появления стохастичности. Более сильное утверждение заключалось в том, что стохастичность возникает даже тогда, когда перекрываются всего лпшь два резонанса [25, 84]. В этом случае гамильтониан спстемы пмеет, на-нрнмер, вид [c.191]

Простые рассуждения показывают, что невозможно провести прямую аналогию между перекрытием резонансов в классическом случае и в квантовом случае. Действительно, из результатов, полученных в этом параграфе, следует, что изолированный квантовый нелинейный резонанс проявляется в сильном взаимодействии конечного числа ( Aw) состояний с энергиями, лежащими в полосе квантовых чисел (по —Ага, rao + Ага). Это проявляется в том, что система уравнений (3.11) имеет эффективно конечный порядок ( 2Ага). Перекрытие двух резонансов означает, что эффективный порядок системы для амплитуд Сп увеличивается до величины 4Ага, но тем не менее остается конечным. Таким образом, задача о перекрытии двух резонансов в квантовой механике сводится с формальной точки зрения к системе линейных уравнений. Порядок этой системы конечен, и поэтому в ней не может возникнуть стохастичность (конечные линейные системы таким свойством не обладают). [c.192]

В 5.4 было показано, что сильное перекрытие резонансов приводит к внутренней диффузии с такой же скоростью, как если бы фазы возмущения были случайными. Это эквивалентно сильной внешней диффузии, вызываемой посторонним по отношению к системе источником шума. Для задачи о взаилюдействии волна — частица, например, это соответствует большому числу сильных нескоррелированных волн, как предполагается в квазилинейной теории. Таким образом, в пределе сильной стохастичности внутренняя и внешняя диффузии похожи друг на друга ). [c.332]

Хотя обычно диффузию Арнольда рассматривают в отсутствие перекрытия резонансов ) [70], похожая диффузия происходит и при перекрытии группы резонансов, причем в последнем случае скорость диффузии резко возрастает ). Хорошей иллюстрацией обоих режимов является модельная задача о колебаниях шарика между плоской и периодически гофрированной в двух направлениях стенками. Эта система, похожая на отображение Улама с дополнительной степенью свободы, была исследована Теннисоном и др. [406]. [c.341]

Причем % = На рис. 6.14 показан эффект модуляции для стандартного отображения (при К = 0,007), что соответствует уравнениям (6.2.55), если заменить й на /Сбх (/), где 1) — периодическая б-функция (3.1.33). При А, = О (рис. 6.14, а) имеется единственный резонанс с шириной 2А/макс = 4 . При К = 0,63 и последовательно уменьшающейся частоте 2 на рис. 6.14, б виден мультиплет неперекрывающихся резонансов на рис. 6.14,6 — частичное перекрытие резонансов на рис. 6.14, г — полное перекрытие резонансов. [c.369]

Аналогичные результаты для винтовой обмотки были поручены Розенблютом и др. [349] и Филоненко и др. [129[. Возмущения общего вида в токамаках рассматривались Речестером и Стиксом [343 ] и Финном [130]. В этих работах исследовались также перекрытие резонансов и внутренняя диффузия ). Во всех случаях рассматривалось возмущение и разрушение только магнитных поверхностей. Принималось, что заряженные частицы двигаются точно вдоль магнитных линий и конечный размер ларморовского радиуса не играет роли. Поскольку мы рассматриваем задачи, эквивалентные двум степеням свободы, то внутренняя диффузия возникает только при перекрытии резонансов (гл. 5), тогда как диффуяиа влоль резонансов отсутствует. [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...