Дифференциальные уравнения движения. Граничные и начальные условия

Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют строгие доказательства теорем о существовании и единственности решений. Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания, важны еще потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные к дифференциальным уравнениям граничные и начальные условия, а также и другие дополнительные требования, без выполнения которых решение задачи не [c.364]

Граничные и начальные условия. Система гидродинамических уравнений масштаба среднего движения (6.2.1)-(6.2.6) является замкнутой системой квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных для нахождения осредненной вертикальной составляющей среднемассовой [c.249]

Эти дифференциальные уравнения движения нерастяжимой идеальной нити должны интегрироваться в общем случае с учетом уравнений (2.11) и (2.15). Вся эта система девяти уравнений содержит девять неизвестных функций (гт, Tv, Ур, 0т, 0V, 0р, р, рь Т) двух независимых переменных 5 и i. Конечно, для полного решения задачи нужно задать еще в соответствующем виде граничные и начальные условия. [c.168]

Постановка задачи теории упругости в перемещениях при граничных условиях состоит в том, чтобы найти три функции перемещений, которые удовлетворяют внутри области К, занимаемой телом, дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях (2.25), а на границе области — граничным условиям (2.26). Динамическая задача ставится аналогично, однако перемещения зависят не только от координат, но и от времени т. е. функции должны удовлетворять дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, граничным и начальным условиям. [c.76]

Точное решение задачи об обтекании потоком вязкой жидкости какого-либо тела, например, крыла или фюзеляжа, сводится к интегрированию сложных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости при заданных граничных и начальных условиях. [c.238]

О.Коши, К.Навье,Д.Стокса, А.Сен-Венана. Благодаря их работам уже в середине XIX в. задача определения полей скорости и давления в жидкости сведена к граничной задаче математической физики. В общем случае ее решение состоит из трех этапов составление дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости внутри некоторой области получение интегралов этих уравнений подчинение этих интегралов граничным и начальным условиям. [c.6]

В начале главы в соответствии с требованиями теории подобия однозначно определяется волновая задача для указанной упругой среды. Затем при помощи масштабных преобразований уравнения движения и условия однозначности (граничные и начальные условия) преобразуются к безразмерному виду. При этом выбор масштабов ограничивается уравнениями связи (между масштабами), которые получаются из исходных дифференциальных уравнений при приведении последних к безразмерному виду. Кроме того, в качестве произвольных масштабов выбираются величины с независимыми размерностями, как это требует теория размерностей. [c.45]

Для определения движения системы необходимо задать компоненты силы и указать начальные значения или граничные условия. В общем случае силы могут зависеть произвольным образом от времени, координат и их производных любого порядка. Однако, как показывают наблюдения, в том случае, когда силы могут быть выражены аналитически, они зависят самое большее от координат и скоростей точек. Тогда уравнения движения являются дифференциальными уравнениями второго порядка и для [c.12]

Предположим, что два в общем случае нестационарных потока ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости подобны между собой. Тогда, по предыдущему, безразмерные начальные, граничные и другие условия единственности, так же как и сами безразмерные уравнения Стокса (38), должны быть одинаковыми для обоих сравниваемых между собою движений. Но, по предположению о существовании подобия, все безразмерные, обозначенные штрихами переменные в сходственных точках потоков одинаковы, следовательно, для совпадения дифференциальных уравнений остается потребовать, чтобы были одинаковыми числа подобия, т. е. [c.369]

Для изучения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости необходимо решать совместно систему дифференциальных уравнений (6.2) и (6.4) с частными производными второго порядка. Решения этой системы дифференциальных уравнений будут содержать произвольные функции, для определения которых необходимо задавать начальные и граничные условия. Задание начальных условий необходимо лишь в том случае, когда изучается неустановившееся движение жидкости. В этом случае должно считаться известным всё движение жидкости для какого-либо фиксированного момента времени, например для начального момента = 0. [c.93]

Совокупность параметров, определяющих какой-либо гидродинамический процесс, можно рассматривать как конкретное решение дифференциальных уравнений этого процесса. Ему соответствуют вполне определенные начальные и граничные условия. Они представляют собой зависимости или константы, определяющие физические параметры в начальный момент и на границах во время движения. Следовательно, не только уравнения процесса, но также безразмерные формы начальных и граничных [c.121]

Полученные уравнения движения совместно с дифференциальным уравнением неразрывности, дополненные соответствующей ми начальными и граничными условиями, позволяют в принципе решить задачу о движении несжимаемой идеальной жидкости в любом заданном канале или задачу обтекания идеальной жидкостью любого заданного тела. [c.38]

Общее решение нелинейных дифференциальных уравнений Навье — Стокса пока не найдено. Но в ряде случаев получены частные решения. Для получения решения должны быть заданы начальные и граничные условия. Начальными условиями обычно задается распределение скоростей в области движения в некоторый момент времени. Граничными условиями задаются значения скорости или давления на границах потока. Граничные условия зависят от характера- границ. На твердой границе используется условие прилипания частиц жидкости к твердому телу. Поэтому [c.96]

Математическая сложность уравнений движения сплошной среды позволяет получить точные решения для ограниченного числа относительно простых течений. В одномерном случае это, например, рассмотренные выше ударные волны и простые волны разрежения, в двумерном — течение Прандтля — Майера [4]. Иногда, при определенных начальных и граничных условиях, задача имеет автомодельное решение и система уравнений газодинамики сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1], анализ которых значительно проще. Широкое развитие получили приближенные методы решения, основанные на упрощении исходной задачи. Здесь прежде всего необходимо отметить асимптотические методы [21], эффективность которых в самых разных областях физики всеми признана. Преимущество точных и приближенных аналитических решений очевидна. Они играют важную роль не только для понимания физической картины явления, но и необходимы при постановке математических задач. Но обычно, даже упрощенные уравнения не удается проинтегрировать, и они должны решаться численно. Поэтому методы численного моделирования широко используются для предсказания и изучения поведения сложных физических систем. [c.35]

Начальные и граничные условия. Рещения дифференциальных уравнений гидродинамики будут содержать произвольные функции и произвольные постоянные, которые нужно подчинить ряду добавочных условий для достижения определенности в решении конкретных задач о движении жидкости. Эти условия могут быть двоякого рода. Одни из иих, называемые начальными, должны быть выполнены в начальный момент движения = О во всех точках пространства, занятого жидкостью другие, так называемые граничные условия, должны выполняться на границах жидкости в любой момент ее движения. [c.64]

Наглядное представление о математической постановке задачи дает схема, изображенная на рис. 75. На этом рисунке изображена плоскость переменных х и /для перегона транспортного трубопровода О < X < L с одной воздуходувной станцией (под перегоном подразумевается участок транспортного трубопровода между соседними воздуходувными станциями). В рамке сверху выписана система дифференциальных уравнений, определяющих движение газа в областях между составами. На рисунке изображены только две траектории Ху (/) и Ху+1 (О /-го и (/ — 1)-го составов. Около них выписаны дифференциальные уравнения, определяющие движение составов, и условия на траекториях. На вертикальных прямых X = О п X = Ь даны граничные условия, отражающие работу воздуходувной станции при х = О и условие свободного истечения газа в атмосферу при х = Ь. На горизонтальной прямой / = О написаны начальные условия для газа и составов. [c.109]

Как в дальнейшем будет показано, некоторые движения в пограничных слоях являются автомодельными, удовлетворяющими условию подобия профилей скорости в различных сечениях пограничного слоя. В таких движениях задание начального профиля скоростей теряет смысл, исчезает и необходимость в этом граничном условии, так как дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным, для разыскания решений которых достаточно выполнить граничные условия лишь на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Обычно в большинстве общих, неавтомодельных задач отдельные участки пограничного слоя, например, вблизи лобовой критической точки омываемого потоком тела, описываются автомодельными решениями, что также облегчает задачу и позволяет не ставить требований о выполнении условия в начальном сечении. [c.564]

Основные проблемы теоретического исследования движений газа связаны с отысканием решений полученной в главе I системы дифференциальных уравнений с условиями на сильных разрывах и дополнительными начальными и граничными условиями. Большие математические трудности, возникающие на пути решения таких проблем вследствие сложности самой модели движения, вынуждают к поиску более простых моделей, для которых можно было бы продвинуть исследование дальше, чем в общем случае. Не будет преувеличением, если сказать, что современный прогресс в решении многих проблем газовой динамики достигнут благодаря успешному использованию упрощенных постановок ее задач. В данной главе намечаются методы построения и приводится некоторый список таких упрощенных моделей и, коротко говоря, подмоделей. [c.83]

Стремление сделать книгу как можно более физической диктовало также и выбор предпочтительных методов исследования. Уравнения турбулентного движения всегда оказываются незамкнутыми (содержащими больше неизвестных, чем уравнений), и поэтому задачи теории турбулентности обычно не могут быть непосредственно сведены к нахождению единственного решения некоторого дифференциального уравнения (или уравнений), определяемого известными начальными и граничными значениями. В этих условиях неизбежно приходится привлекать помимо уравнений движения какие-то дополнительные соображения. Нам представляется, что среди таких дополнительных соображений наиболее отчетливый физический смысл имеют соображения подобия (опирающиеся на инвариант ность условий задачи относительно некоторых групп преобразований) и соображения размерности (основанные на выделении физических параметров, влияющих на исследуемое турбулентное течение). Поэтому мы старались наиболее подробно осветить именно выводы из соображений размерности и подобия, которые могут применяться в теории турбулентности значительно шире, чем это обычно предполагается. Соответственно полуэмпирическим теориям турбулентности, использующим более специальные гипотезы, в книге уделено сравнительно немного места особенно кратко здесь изложены классические применения полуэмпирических теорий к течениям в трубах, каналах и пограничных слоях, подробно изложенные в известных монографиях С. Гольдштейна (1938), Л. Г. Лойцянского (1941) и Г. Шлихтинга (1951) (вместе с полуэмпирическими теориями свободной турбулентности , вовсе опущенными в нашей книге). Однако мы включили все же некоторые сравнительно новые и м цее известные применения полуэмпирических теорий и рассмотрен ряд применений полуэмпирической теории турбулентной [c.29]

Это линейное дифференциальное уравнение параболического типа, дополненное условием нормировки, начальными и граничными условиями, полностью определяет решение для искомой функции p(i, г). Это решение определяет эволюцию системы на временах < > 1/Г, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации т ояп, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и брауновских частиц, но и от формы сосуда, типа его фаниц, начального распределения и т.д. Некоторые простейшие примеры, допускающие точное решение этой задачи математической физики, отнесены в раздел задач. Рассмотрим здесь только одну — ту, которая соответствует случаю свободного одномерного брауновского движения, и убедимся на этом примере, что схема уравнение Фоккера—Планка плюс соответствующие дополнительные условия дает все требуемые для t > 1/Г результаты. [c.96]

Для количественного описания таких обрушений предложена соответствующая математическая расчетная модель. Согласно этой модели, движение скального потока в простейшем, одномерном гидравлическом приближении при соответствующих начальных и граничных условиях может быть описано дифференциальными уравнениями [c.174]

Для решения системы дифференциальных уравнений необходимо задать шесть граничных условий. Тремя из них являются начальные условия переходной траектории, а именно радиальное расстояние ракеты от Солнца равно радиусу земной орбиты, радиальная скорость равна нулю ), а трансверсальная компонента скорости равна орбитальной скорости Земли. Еще два условия, которые мы пытались удовлетворить, заключались в том, чтобы ко времени Тт Тт — заданное время перелета) удельная энергия Е и удельный момент количества движения к ракеты были равны соответствующим величинам Марса (так как задание Е в. к полностью определяет форму и размеры эллиптической орбиты Марса). Последнее условие, которое мы стремились также выполнить, было условие равенства величины активного ускорения ракеты в момент Тт начальному активному ускорению. Это последнее условие позволяет из всех возможных конечных точек траектории (на орбите Марса) выбрать такую, для которой полезный груз оказывается максимальным [см. уравнение (8.376)]. [c.310]

Уравнения движения (3) — (6) представляют собой совместную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Решения этой системы уравнений будут содержать произвольные функции и произвольные постоянные, которые определяются из граничных и начальных условий. Начальные условия состоят обычно в том, что задаются положение, скорости v , (о твердого тела, форма свободной поверхности S и поле скоростей ягндкостн v(r) в начальный момент (= [c.282]

Для решения большинства своих задач гидроаэро- и газодинамика применяют строгие математические приемы интегрирования основных дифференциальных уравнений при установленной системе граничных и начальных условий или другие эквивалентные им математические методы (например, конформное отображение в задачах плоского движения идеальной жидкости). Для получения суммарных характеристик используются такие общие теоремы механики, как теорема количества и моментов количеств движения, энергии и др. Однако большая сложность и недостаточная изученность многих явлений вынуждают механику жидкости и газа не довольствоваться применением строгих методов теоретической механики и математической физики, столь характерных, например, для развития механики твердого тела, но и широко пользоваться услугами всевозможных эмпирических приемов и так называемых нолуэмпирических теорий, в построении которых большую роль играют отдельные опытные факты. Такие отклонения от чисто дедуктивных методов классической рациональной механики естественны для столь бурно развивающейся науки, как современная механика жидкости и газа. [c.15]

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с начальными и граничными условиями полностью определяет задачу. Иначе говоря, зная геометрическую форму гела, начальные и граничные условия, можно уравнение решить до конца, т. е. найти функцию распределения температуры внутри тела в любой момент времени. При этом температура окружающей среды t должна быть задана. Если же температура движущейся жидкости изменяется в результате теплоотдачи от твердого тела, тогда необходимо решить не только уравнение теплопроводности для твердого тела, но и одновременно уравнение переноса тепла в движующейся среде совместно с уравнением Навье — Стокса и непрерывности. Решение последних уравнений необходимо при использовании полей температуры и скорости движения в движущейся среде. [c.72]

При выводе уравнения (XIV.50) использованы дифференциальные уравнения движения, уравнение неразрывности, связи между скоростями деформаций и скоростями перемещений, начальные условия, кинематические и динамические граничные условия, включая условия трения, а также уравнения состояния. Методами вариационного исчисления можно показать, что из уравнения (XIV.50) следует краевая задача теории пластичности. Действительно, осуществим варьирование в уравнении (XIV.50), учитывая все ограничения, накладываемые на вариации, и приведем его к независимым вариациям. После этого на основании основной леммы вариационного исчисления можно получить все уравнения и условия, перечисленные выше. Таким образом, решение краевой задачи в дифференциальной форме эквивалентно исследованию на стационарное состояние функционала I, заклю ченногов фигурные скобки в (XIV.50). [c.315]

Дифференциальные уравнения движения (15.20), (15.24) в совокупности с условиями контакта (15.26), (15.28), (15.33), начальными и граничными условиями для искошх функций представляют собой математическую модель, на основе которой можно решать как задачи о собственных и вынужденных колебаниях ребристых оболочек различных очертаний, так и задачи о демпфировании колебаний упругих тонкостенных конструкций с вязкоупругими подкрепляющими элементами. [c.69]

Во второй части излагаются кинематика и теория деформаций сплошной среды в эйлеровом и лагранжевом описаниях, формулируются основные законы динамики и термодинамики, выводятся дифференциальные уравнения движения среды, обсуждаются возможные типы начальных и граничных условий. Рассмотрены вариационные принципы в механике жидкости и газа и в теории упругости, методы теории размерностей и подобия. Теоретический материал сопровождается под-боркой задач с решениями в конце каждого параграфа. Приведены также сведения об ученых, создававших механику сплошной среды. [c.3]

Уравнения движения. Если не делать каких-либо предположений о характере движения жидкости в полости, кроме естественных предположений о непрерывности и сплошности движения жидкости, уравнения движения представляют собой совместную систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями. А именно, уравнения движения рассматриваемой системы, отнесенные к некоторой связанной с телом прямоугольной системе координат Ох Х2Хъ, имеют вид [Румянцев, 1959а Моисеев, Румянцев, 1965] [c.183]

Обе функции f а F полностью характеризуют состояние движения, состав смеси и распределение скоростей во всех местах смеси газов. Если они заданы для начального момента / = О, т. е. если заданы значения функций /(дг, Z, , -ц, С, 0) и F(х, у, z, y , С, 0) для всех значений переменных и, кроме того, еще внешние силы, молекулярные силы и граничные условия, то задача полностью определена, и она будет полностью решена, если значения функций / и F будут найдены для всех значений t. При этом всегда предполагается, что состояние молекулярно-неупорядоченно. Здесь речь будет итти, естественно, прежде всего о том, чтобы получить дифференциальное уравнение в частных производных для изменения функции / в течение очень малого промежутка времени. [c.132]

Нестационарное распределение температуры в жидкой фазе и закон движения фронта кристаллизации определим интегральным методом. Гудмена [5]. С помощью интегрального метода уравнение в частных производных с нелинейными граничными условиями (каким является условие (9), удается привести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями. [c.368]

Решению систем нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений предшествует задание начальных и определение граничных условий. Например, для трубопроводов начальные условия определяют распределение по его длине давления и расхода жидкости в начальный момент времени. Как частный случай, их распределение вдоль трубопровода в начальный момент времени может бьггь равномерным. При неустановившемся движении жидкости давление и расход изменяются не только во времени, но и по длине, поэтому на стыках расчетных участков трубопроводов определенными граничными условиями устанавливается условие совместимости. [c.150]

Механика сплошной среды (МСС) — раздел теоретической физики, в котором изучаются макроскопические движения твердых, жидких и газообразных сред. В ней вводятся фундаментальное понятие материального континуума и полевые характеристические функции, 01феделяющие внутреннее состояние, движение и взаимодействие частиц среды, взаимодействия между различными контактирующими средами. Для этих функций устанавливаются конечные, дифференциальные и другие функциональные уравнения, представляющие физические свойства среды в виде, определяющих соотношений, и законы сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии. Выясняются начальные и граничные условия, при которых все характеристические функции в средах могут быть найдены чисто математически аналитическими и числовыми методами. [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...