Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия

Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют строгие доказательства теорем о существовании и единственности решений. Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания, важны еще потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные к дифференциальным уравнениям граничные и начальные условия, а также и другие дополнительные требования, без выполнения которых решение задачи не [c.364]

Отсюда сразу следует, что если в дифференциальных уравнениях, граничных и начальных условиях, а также других условиях единственности решений этих дифференциальных уравнений перейти от обычных размерных переменных к безразмерным, которые могут быть получены путем отнесения размерных величин к их масштабам, то как сами теперь уже безразмерные дифференциальные уравнения, так и соответствующие им безразмерные граничные, начальные и другие условия единственности, станут одинаковыми для обоих сравниваемых явлений. [c.367]

Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия [c.549]

Следовательно, если в дифференциальных уравнениях, граничных и начальных условиях, а также в других функциональных соотношениях, характеризующих физически подобные явления, перейти к безразмерным переменным со своими масштабами, то все эти уравнения и соотношения должны быть одинаковыми для обоих сравниваемых по- [c.490]

Применительно к явлениям теплопроводности дифференциальное уравнение, граничные и начальные условия однозначно описывают температуру данного тела в любой точке в произвольный момент времени. В силу однозначности такой связи знание температуры, например, в двух точках в произвольные моменты времени позволяет определить граничные условия по одному из параметров (например, потоку или температуре на границах). Такой подход в решении обычно принято называть обратной задачей теплопроводности [219]. [c.42]

Рассматривая совместные решения дифференциального уравнения тепло проводности с уравнениями граничных и начальных условий, можно получить расчетные зависимости для различных случаев нагрева и охлаждения тел. [c.110]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

Определение истинной картины рабочего процесса или приближение к ней позволит осуществить согласование теоретических и опытных данных, уточнить потери, расчетные зависимости, создать новые расчетные схемы и теории. На основании опытных исследований уточняются граничные и начальные условия, знание которых дает возможность более точно решить дифференциальные уравнения. [c.297]

Наибольшие возможности и точность обеспечиваются электрическими (и электронными) моделями, позволяющими решать линейные, плоские и трехмерные статические и динамические задачи. Если написана система уравнений для этих задач, то может быть построена соответствующая модель [13], [15]. Электрическая модель выполняется со сплошным полем, воспроизводящем дифференциальные зависимости, или в виде сетки с расположенными между узлами сосредоточенными элементами (сопротивления, емкости, индуктивности), на которой воспроизводятся зависимости, записанные уравнениями в конечных разностях. Основной частью работы на модели является удовлетворение заданных граничных и начальных условий. [c.600]

Итак, приведенная выше система дифференциальных уравнений интегрируется численно при заданных граничных и начальных условиях от сечения перехода снарядного режима течения в дисперсно-кольцевой (х 0,01), причем обычно допускается, что в пленке в начальном сечении движется приблизительно 1 % от общего расхода жидкости. Интегрирование продолжается до сечения, где расход в пленке становится равным нулю, что и является основной характеристикой кризиса кипения. [c.125]

Для механических систем операторное уравнение (1), как правило, сводится к совокупности некоторых дифференциальных уравнений с граничными и начальными условиями, а также с дополнительными соотношениями типа уравнений связи. [c.16]

В противном случае систему называют нелинейной. Линейность дифференциальных уравнений и дополнительных условий относительно и (/) еще не означает линейности оператора Н. Так, параметрические системы нелинейны по отношению к параметрическим возмущениям, что находит отражение, например, в методах их аналитического исследования (см. гл. XIX). Как и в теории детерминистических колебании, вводятся понятия о стационарных и нестационарных системах, о системах с конечным, бесконечным счетным и континуальным числом степеней свободы. Операторное уравнение (2) для распределенных систем обычно реализуется в виде дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными и начальными условиями. Поэтому применительно к задачам случайных колебаний распределенных систем применяют также термин стохастическая краевая задача. [c.286]

Часто задача динамики сводится к задаче определения дополнительных динамических нагрузок на конструкции машин в установившихся режимах. В таких случаях рассматриваются только частные решения дифференциальных уравнений, для которых начальные условия не имеют значения. Начальные условия не имеют значения также при определении форм и частот свободных колебаний. Граничные же условия всегда существенны. [c.329]

Граничные и начальные условия. Решение уравнения (6.3.44) с учетом (6.3.46) должно удовлетворять граничным и начальным условиям. Для стационарных колебаний, которые определяются частным решением дифференциального уравнения, начальные условия не имеют значения. В простейших случаях граничные условия будут следующими [c.350]

В том случае, когда физическое явление изучено настолько, что представляется возможным дать его математическую формулировку, можно произвести масштабные преобразования имеющихся уравнений (с граничными и начальными условиями) и найти соответствующие критерии подобия. Существенным при этом является тот факт, что для получения критериев подобия не обязательно иметь решение составленных уравнений, достаточно располагать исходными уравнениями в дифференциальной, интегральной или конечной форме, присоединив к ним начальные и граничные условия. Метод анализа уравнений, следовательно, предполагает знание значительного объема информации, относящейся к изучаемому объекту. [c.51]

Совместное решение дифференциального уравнения теплопроводности для граничного и начального условий дает возможность иайти решение для тел простейшей формы в критериальном виде [3] [c.611]

ПЛОТНОСТЯМИ и вязкостями. Следуя только что указанному приему сравнения безразмерных дифференциальных, уравнений и соответствующих им граничных и начальных условий, приведем уравнения Стокса (22) к безразмерному виду, выбрав в качестве масштабов времени, длин (в частности, координат), скоростей, давлений и объемных сил соответственно некоторые характерные для потока постоянные величины Т, Ь, V, Р, Р. [c.368]

Количественные методы исследования дифференциальных уравнений состоят в нахождении общего решения их путем интегрирования уравнений и удовлетворения граничных и начальных условий. Они, в свою очередь, могут быть подразделены на две подгруппы. [c.8]

Таким образом, в теории подобия поставленный основной вопрос распадается на ряд других. Первым из них является вопрос о научном описании наблюдаемых явлений— о построении научной картины их протекания. Такая картина должна быть математически выражена системой дифференциальных уравнений и системой граничных и начальных условий. Для того, чтобы математическое описание явлений было правильным, необходимо, чтобы правильной была математическая постановка за- [c.11]

Понятие обобщенной энтропии введено в целях описания явлений н не должно служить целям расчета. Расчет явлений тепло-массообмена должен производиться путем использования полной системы дифференциальных у]равнений и путем их интегрирования совместно с граничными и начальными условиями. Расчет явлений, включающих структурные превращения, должен производиться посредством интегрирования более полных дифференциальных уравнений, выведенных с учетом этих превращений (гл. II, 5), совместно с граничными и начальными условиями. [c.67]

Задача расчета выходных характеристик лазерных устройств, т. е. лазеров и усилителей (а также и различного рода преобразователей и отдельных элементов лазерных систем), сводится к необходимости решения системы линейных или нелинейных дифференциальных уравнений (чаще всего в частных производных, в большинстве случаев нестационарных) при заданных граничных и начальных условиях. Тип исходных уравнений, степень их сложности и число взаимосвязанных уравнений в системе зависят от типа лазера, режима работы, учета различных, одновременно протекаюш,их явлений. Это определяет и математическую сложность задачи, возможный выбор метода численного решения, расчетной схемы. [c.37]

К дифференциальному уравнению струны приводятся многие задачи математической физики. В таких случаях можно пользоваться методом аналогий —зная решение одной задачи, можно записать решение задачи, относяш.ейся к другой области, но соответствующей одним и тем же дифференциальным уравнениям, аналогичным граничным и начальным условиям. К подобному типу относят задачи [c.96]

Постановка задачи состоит в том, что надо найти все функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (V.1.3), граничным и начальным условиям (V.1.7) и (V.1.8). [c.138]

Вопрос о существовании решений системы дифференциальных уравнений (8.1) при граничных и начальных условиях (8.2). (8.3), [c.98]

Гидромеханические процессы в элементах струйной автоматики, как пра-ви.ю, развиваются под влиянием большого числа факторов. Эти процессы подчиняются общим физическим закономерностям, конкретным выражение.м которых для потока вязкой жидкости являются дифференциальные уравнения (уравнения Навье-Стокса) и уравнение неразрывности. Но эти уравнения справедливы для целого класса явлений н имеют бесконечное число решений. Следовательно, для выделения рассматриваемого явления из целого класса явлений необходимы дополнительные условия, называемые условиями однозначности. Они включают граничные и начальные условия, определяющие единственное решение системы дифференциальных уравнений. К условиям однозначности должны быть также отнесены физические константы (плотность, вязкость и др.), характеризующие существенные для исследуемого процесса физические свойства среды. Под граничными условиями понимают геометрические характеристики потока (его размеры и форму), а также значения кинематических и динамических параметров на границах исследуемого участка потока. Начальные условия потока характеризуют геометрические, кинематические, динамические параметры потока в начальный момент времени. [c.57]

Для получения единственного решения системы дифференциальных уравнений (4.8) (или (4.10)) и (4.12) необходимо задать граничные и начальные условия. [c.95]

Граничные и начальные условия. Система гидродинамических уравнений масштаба среднего движения (6.2.1)-(6.2.6) является замкнутой системой квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных для нахождения осредненной вертикальной составляющей среднемассовой [c.249]

Мы можем теперь сформулировать основную задачу гидродинамики в следующем виде найти в конечном виде общие выражения для гидродинамического давления р и проекций скорости и, V, ы) в функции координат х, у, г ш времени i, удовлетворяющие четырем дифференциальным уравнениям в частных производных (22) и (23). Искомые функции и, у, ау и р, кроме того, должны удовлетворять граничным и начальным условиям. Граничные условия, как показывает само название, дают нам значения проекций скоростей и гидродинамического давления на границах рассматриваемого течения жидкости. Решение конкретной гидродинамической задачи должно быть таким, чтобы граничные условия, определяемые физической сущностью задачи, удовлетворялись в любой момент времени. Начальные условия определяют значение искомых функций и, V, ау для некоторого заданного момента времени i = to во всех точках простран- [c.264]

Эти дифференциальные уравнения движения нерастяжимой идеальной нити должны интегрироваться в общем случае с учетом уравнений (2.11) и (2.15). Вся эта система девяти уравнений содержит девять неизвестных функций (гт, Tv, Ур, 0т, 0V, 0р, р, рь Т) двух независимых переменных 5 и i. Конечно, для полного решения задачи нужно задать еще в соответствующем виде граничные и начальные условия. [c.168]

Постановка задачи теории упругости в перемещениях при граничных условиях состоит в том, чтобы найти три функции перемещений, которые удовлетворяют внутри области К, занимаемой телом, дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях (2.25), а на границе области — граничным условиям (2.26). Динамическая задача ставится аналогично, однако перемещения зависят не только от координат, но и от времени т. е. функции должны удовлетворять дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, граничным и начальным условиям. [c.76]

Для решения задач неустановившейся ползучести необходимо располагать определенной системой уравнений. Полная система уравнений неустановившейся ползучести состоит из дифференциальных уравнений равновесия (1.135) (уравнений статики), физических уравнений (14.57) (закона неустановившейся ползучести), а также геометрических уравнений (15.7) (уравнений совместности скоростей деформаций), к которым необходимо добавить граничные и начальные условия. В условиях неустановившейся ползучести заданы поверхностные силы на части поверхности [c.443]

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, выяснилось, что для линейных уравнений и минимизируемых функционалов при линейных граничных условиях указанные условия оказываются, как правило, достаточными условиями оптимальности (с теми оговорками, о которых шла речь выше,— см. стр. 235). Аналогичные результаты получены и для тех случаев, когда процесс описывается совокупностью уравнений в обыкновенных и частных производных с различными граничными и начальными условиями. Условия оптимальности для задач с нефиксированной областью изменения независимых переменных (в том числе и задач на оптимальное быстродействие) получены в аналогичной форме. [c.238]

Точное решение задачи об обтекании потоком вязкой жидкости какого-либо тела, например, крыла или фюзеляжа, сводится к интегрированию сложных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости при заданных граничных и начальных условиях. [c.238]

Если эти условия удовлетворены, то рассматриваемые два течения будут характеризоваться одной и той же системой безразмерных дифференциальных уравнений. Тогда и решения этих уравнений, выраженные через безразмерные переменные, будут одинаковыми, если безразмерные граничные и начальные условия тоже одинаковы. [c.139]

Перейдем к рассмотрению условий подобия двух изотермических потоков ньютоновских вязких несжимаемых жидкостей с различными, но постоянными плотностями и вязкостями. Следуя только что указанному приему сравнения безразмерных дифференциальных уравнений и соответствующих им граничных и начальных условий, приведем уравнения Стокса (23) и неразрывности (25) к безразмерному виду, выбрав в качестве масштабов времени, длин (в частности, координат), скоростей, давлений и объемных сил соответственно некоторые характерные для потока постоянные величины Т, Ь, V, Р, Р. [c.458]

Допустим, решение не единственно. Существуют два решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (5.42), (5.43) и системе граничных и начальных условий (5.44) — (5.47) и[ 0 о// 0 0(f. Обозначим разность этих решений через [c.130]

О.Коши, К.Навье,Д.Стокса, А.Сен-Венана. Благодаря их работам уже в середине XIX в. задача определения полей скорости и давления в жидкости сведена к граничной задаче математической физики. В общем случае ее решение состоит из трех этапов составление дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости внутри некоторой области получение интегралов этих уравнений подчинение этих интегралов граничным и начальным условиям. [c.6]

Основная сложность метода анализа размерностей заключается в том, что нужно знать все параметры, влияющие на искомую величину. Для совершенно неисследованных процессов эти параметры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже описан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные условия к ним, очевидно, входят все влияющие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же самые безразмерные числа. Этим занима- [c.83]

Математической моделью некоторого физического явления называют совокупность соответствующих уравнений (дифференциальных, интегральных, интегродифференциаль-ных), граничных и начальных условий. [c.135]

Уравнения движения (3) — (6) представляют собой совместную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Решения этой системы уравнений будут содержать произвольные функции и произвольные постоянные, которые определяются из граничных и начальных условий. Начальные условия состоят обычно в том, что задаются положение, скорости v , (о твердого тела, форма свободной поверхности S и поле скоростей ягндкостн v(r) в начальный момент (= [c.282]

Полнота систем уравнений и условий исследована лишь для отдельных задач математической физики колебаний, теплопроводности, диффузии, гидродинамики, магнитной гидродинамики, а для совместных задач она не рассматривалась, и сама математическая задача не ставилась. При правильной постановке задачи общее решение ее должно быть единственным. В таком случае должно быть единственно возможным математическое выражение протекаемых явлений. При подобии постановок задач, оп.исываюш их явления, должны подобно протекать сами явления. Верно и обратное заключение для подобия явлений должны быть подобны описываюш,ие их уравнения и их граничные и начальные условия. Последняя задача является частным случаем общей задачи качественного исследования систем дифференциальных уравнений. [c.12]

Для решения большинства своих задач гидроаэро- и газодинамика применяют строгие математические приемы интегрирования основных дифференциальных уравнений при установленной системе граничных и начальных условий или другие эквивалентные им математические методы (например, конформное отображение в задачах плоского движения идеальной жидкости). Для получения суммарных характеристик используются такие общие теоремы механики, как теорема количества и моментов количеств движения, энергии и др. Однако большая сложность и недостаточная изученность многих явлений вынуждают механику жидкости и газа не довольствоваться применением строгих методов теоретической механики и математической физики, столь характерных, например, для развития механики твердого тела, но и широко пользоваться услугами всевозможных эмпирических приемов и так называемых нолуэмпирических теорий, в построении которых большую роль играют отдельные опытные факты. Такие отклонения от чисто дедуктивных методов классической рациональной механики естественны для столь бурно развивающейся науки, как современная механика жидкости и газа. [c.15]

Нестационарное распределение температуры в жидкой фазе и закон движения фронта кристаллизации определим интегральным методом. Гудмена [5]. С помощью интегрального метода уравнение в частных производных с нелинейными граничными условиями (каким является условие (9), удается привести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями. [c.368]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...