Случай т стационарных точек

Случай т стационарных точек [c.54]

В общем случае, когда на оси п располагаются т стационарных точек п1, п 1,. .., и , где т> 3, мы получим картину, похожую на случай т = 3. Ситуации т>3 соответствует функция локального роста Р (и) и соответственно (и), имеющая больше трех нулей, [c.54]

Если рассмотреть случай стационарных связей и сравнить выражение Т = То с выражениями кинетической энергии неизменяемой системы при поступательном движении, при движении твердого тела вокруг неподвижной точки и т. д., то становится ясным, что в одних случаях коэффициенты Про можно рассматривать как величины, аналогичные массе, в других — как величины, аналогичные моментам инерции, и т. д. Поэтому коэффициенты Про иногда называют коэффициентами инерции. [c.130]

В соответствии с этим полагаем в первом приближении, что коэффициент k полностью определяется начальными условиями, т. е. условиями истечения (форма сопла, шероховатость стенок сопла и т. п.) и собственно процессом распы-ливания. При соблюдении подобия начальных условий коэффициент k в различных точках струи является величиной постоянной, не зависящей от координат и скорости. При этих допущениях, для случая осесимметричного стационарного потока, уравнение (5-21), написанное в цилиндрических координатах, имеет вид [c.115]

Нестационарный амплитудно-фазовый шум. Рассмотрим более общий случай начальных данных вида (3), где (т) — стационарный комплексный гауссовский шум. Из подстановки этих начальных условий в (7) непосредственно следует, что флуктуации амплитуды определяются вещественной частью шума Re i (т), а флуктуации скорости — мнимой Im (т). Так как =0, то средние значения вариаций Sx=0 и 6У=0. Для дисперсий и of. можно получить [54] следующие выражения [c.229]

Чтобы убедиться в том, что в условии (13.1) содержится вся статика, т. е. что из нового условия равновесия можно получить известные из статики условия как частные случаи, выведем из (13.1) условия равновесия твердого тела его можно рассматривать как частный случай материальной системы оно состоит из бесчисленного множества точек, причем каждая пара точек связана идеальным стержнем так как все эти связи стационарны, то действительное перемещение является одним из виртуальных и формула (8.6), выведенная для действительных перемещений, тем же методом выводится и для виртуальных, т. е. мы имеем [c.353]

Если применить полученное общее соотношение (21) к частному случаю гауссовского стационарного процесса ( ) с математическим ожиданием / г = О и корреляционной функцией R-S (т) = oh (т), то при Я = О получим [c.104]

Из этого следует, что для односкоростного приближения поток нейтронов и сопряженная функция очень похожи. Отличие для критической системы состоит только в знаке векторов направления движения нейтронов для стационарного случая, т. е. поток нейтронов в точке г в направлении й равен сопряженной функции в точке г в направлении — й. Если в качестве переменной в уравнение входит и время, то различие будет также и во времени (см. разд. 6.1.11). Причина такого подобия потока нейтронов и сопряженной функции состоит в том, что односкоростной оператор переноса является почти самосопряженным для истинного самосопряженного оператора Ь+ = Ь, в данном же случае оператор не является полностью самосопряженным из-за различия в знаке члена, содержащего градиент функции. [c.204]

IV. г - - 2R< p, г ( у (а). В отличие от предыдущего случая здесь ср (а)< —1 и кривые (5.67а) и (5.676) пересекаются внутри квадранта К по крайней мере в одной точке. Ниже мы будем рассматривать только тот случай, когда эта точка пересечения единственна (точка С (с, с") на рис. 266,/К) ), а на фазовой плоскости (рис. 267, IV) имеются девять состояний равновесия неустойчивый узел О, четыре устойчивых узла А, Ai, В, 5, и четыре С-точки С (с, с"), l i ", с ), Сз(—с —с") и Сз(—с", —с ). На основании теории индексов Пуанкаре нетрудно убедиться, что это — седла. В самом деле, сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия, как мы уже видели, равна - - 1 известные нам пять состояний равновесия на интегральных прямых 4 = и i = — /j (точки О, А, Al, В, Bi) суть узлы, и сумма их индексов равна - - 5, следовательно, сумма индексов четырех С-точек должна равняться — 4, т. е. С-точки должны быть седлами. Устойчивым стационарным режимам работы машин соответствуют устойчивые узлы А, Ai, В, т. е. устойчивыми будут и режим правильной работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь и режим работы одной машины на другую. Установление того или иного режима зависит от начальных условий если начальное состояние системы соответствует какой-либо точке области, ограниченной сепаратрисами (усами седел С) и заштрихованной на рис. 267, IV, то установится режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь. [c.361]

Для случая Я,1 и щ, т. е. для основной частоты и соответствующего ей собственного колебания, стационарная точка фактически является минимумом [c.256]

Перейдем теперь ко второму случаю, когда волна переброса идет от Ио к 2. т.е. траектория, соответствующая монотонному автомодельному решению, идет из стационарной точки (Ио, 0) — седла - в седловую точку ( 5. 0) [c.53]

В настоящей главе изучение движения простейшей модели снаряда в виде одномерного движения материальной точки обобщено на случай двух- и трехмерного движения. Отсюда естественно возникает проблема оптимизации траектории, которая оказывается тесно связанной с целым рядом смежных проблем. Простейшей задачей из этого круга проблем является задача определения оптимального управления, когда динамические характеристики снаряда заданы и требуется найти такую траекторию, которая оптимизирует некоторую заданную величину. Для случаев, когда поле сил зависит от скорости и координат снаряда, дана общая постановка задачи оптимизации траектории, а в случаях, когда силовое поле однородно или когда сила зависит от расстояния линейно, оказывается возможным получить решение в замкнутой форме. Это особенно важно в применении к баллистическим снарядам (нанример, снарядам дальнего радиуса действия класса земля — земля или носителям спутников), где расстояние, проходимое за время выгорания топлива, мало по сравнению с земным радиусом. Простой и в то же время почти оптимальной траекторией в этих случаях оказывается траектория гравитационного разворота при движении снаряда в плотной атмосфере и затем переход на траекторию, определяемую соотношением (2.6). Хотя точного решения уравнений движения по траектории гравитационного разворота не существует, все же можно построить ряд графиков, позволяющих во многих случаях подбирать требуемые значения параметров. Если ограничиться лишь получением решений, удовлетворяющих условию стационарности, то обычными методами вариационного исчисления можно исследовать те задачи оптимизации, в которых масса снаряда, программа скорости истечения и время выгорания, так же как и программа управления, являются варьируемыми функциями. Для того чтобы найти решения, являющиеся действительно максимальными или минимальными в определенном смысле, нужно проводить специальное исследование каждого отдельного случая, так как не всегда решение, удовлетворяющее требованию стационарности, является оптимальным, и наоборот. В тех задачах, где скорость истечения есть известная функция времени, как, например, это имеет место в жидкостных ракетных двигателях, из анализа следует лишь то, что оптимальной программой для М ( ) будет, как правило, программа импульсного сжигания топлива. Поэтому для получения практически интересных результатов необходимо проводить более глубокий анализ, с учетом таких факторов, как параметры двигателя, топливных баков и т. д., при одновременном учете характера траектории полета снаряда. Для выполнения такого рода анализа используется схема расчета, где анализ различных элементов Конструкции и групп уравнений (одной [c.63]

Рассмотрим наиболее распространенный случай — теплопроводность через однослойную плоскую стенку, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной б (рис. 23-1). Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину, причем температуры поверхностей ( ст и /ст поддерживаются постоянными, т. е. являются изотермическими поверхностями. Температура меняется только в направлении, перпендикулярном к плоскости стенки, которое принимаем за ось X. Коэффициент теплопроводности X постоянен Для всей стенки. При стационарном тепловом режиме температура в любой точке тела неизменна и не зависит от времени, т. е. = 0. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности после сокращения коэффициента температуропроводности принимает вид [c.358]

Из-за малости расстройки (А- 1) амплитуды Р (т) и Q (т) мало изменяются за период основного колебания. Поэтому в каждый момент времени процесс параметрического воздействия на вынужденные колебания можно приближенно считать установившимся и применять для расчетов амплитуд выражения, полученные ранее для стационарного случая. Поэтому, несмотря на то, что Р (т) и Q (т) медленно изменяются во времени, фазовый сдвиг между внешней силой и накачкой можно по-прежнему рассчитывать для каждого момента времени по формуле [c.149]

Рассмотрим частный случай теплообмена излучением между телом и его оболочкой (рис. 21.5). Тело ) имеет собственное излучение Е при температуре Т, площадь поверхности теплообмена Е, степень черноты еь Оболочка (тело 2) имеет соответственно характеристики 2, Гг, -Рг, ег- Коэффициенты излучения и поглощения тел 61, 82, А, А2 не зависят от температуры и координат точки на поверхности. Температуры тел Ть Тг и плотности потоков 1 и 2 по поверхности теплообмена 1 и 2 сохраняют постоянное значение, причем 1 > 2- Процесс переноса теплоты (энергии) между телами I и 2 осуществляется только излучением процесс теплообмена стационарный. [c.317]

Когда w==0, т. 6. пламя неподвижно, то Ын==Шя, это соответствует случаю стационарного горения. [c.230]

Как мы видели, если принять, что поле атомного остова щелочных металлов обладает шаровой симметрией, то число стационарных орбит валентного электрона будет то же, что и у водорода, чего недостаточно, чтобы объяснить дублетный характер линий. Формально дублетность может быть объяснена, если предположить что все термы, кроме термов S, двойные и что переходы между ними регулируются некоторым добавочным правилом отбора. У прочих элементов, у которых линии представляют собою еще более сложные группы, приходится считать уровни тройными, четверными и т. д. Делалась попытка объяснить это сложное строение спектров гипотезой, что атомные остовы не обладают шаровой симметрией. Тогда для всякой орбиты квантовые условия (2) 4 должны быть распространены не только на радиус-вектор г и азимут ср, но и на третью координату, например на широту Ь, аналогично случаю внешнего возмущающего поля. Это тр- тье пространственное квантование приводит к результату, что плоскость орбиты внешнего электрона может располагаться лишь под опреде- [c.57]

Остановимся сначала на задаче о консервативной механической системе. Это в действительности общий случай, так как путем добавления времени t к числу позиционных переменных и введения в пространство конфигураций дополнительной оси t, а также замены слов независящая от времени h словами независящая от параметра т любая механическая система может быть сделана консервативной. Соединим точки qi,..., qn и <7i,..., траекторией, которая приводит к стационарному значению интеграл [c.292]

Как мы видели в 109, нормальные колебания характеризуются тем свойством, что при малом изменении колебания период является стационарным, т. е. если заставить систему совершать колебания, несколько отличные от нормального", то период с точностью до величин первого порядка остается без изменения. В качестве примера мы можем обратиться к случаю движения в гладкой чаше ( 29). Если заставить материальную точку колебаться в вертикальной плоскости, проходящ,ёй [c.297]

Можно принять во внимание даже такой случай, когда состояние системы определяется не координатами, фиксирующими положение в трехмерном пространстве. Так, например, Гиббс, Гельмгольц и другие установили соотношения, которые содержат температуру, электрическое состояние и другие подобные переменные и которые заключают в себе в качестве специальных случаев, принципы механики, в особенности принцип стационарного действия. Однако эти соотношения, с другой точки зрения, являются гораздо менее общими. Иногда они действительны исключительно для таких состояний, которые бесконечно мало отличаются от состояния равновесия далее, они содержат в себе неясности, чуждые механике, как, например, понятие энтропии, необратимости и многочисленные эмпирически полученные свойства температуры, электричества и т. д.. Представление о которых отнюдь не является таким простым, как представление о геометрических соотношениях точек. [c.466]

Для случая резкого уменьшения мощности тепловой нагрузки время То, входящее в выражения (5.57) и (5.58), равно нулю. Если принять, что для рассматриваемого типа не-стационарности влияние параметра (Э V/Эт) на коэффициент АГд аналогично влиянию этого параметра на при увеличении тепловой нагрузки, т.е. [c.173]

Понятие о физическом подобии естественным образом перерастает в понятие о физической аналогии. Если в первом случае сопоставляемые явления должны принадлежать к одному роду, то аналогию можно искать среди явлений разного рода, отличающихся друг от друга качественно. Выше уже был случай указать на аналогию между стационарной теплопроводностью и прохождением электрического тока через сетку омических сопротивлений. Примеров физической аналогии можно было бы привести чрезвычайно много. В частности, в дальнейшем будет отмечена аналогия между распределениями температур и скоростей, которые при определенных условиях устанавливаются в потоке, омывающем обтекаемое тело. Аналогия может существовать между тепло- и массообменом и т. п. [c.73]

Если стационарное состояние находится далеко от состояния равновесия (что соответствует в (7.32) случаю, когда полное сродство 1 + 2 + 3 велико по сравнению с RT), то коэффициенты L , ,. .. в (7.31) не подчиняются более соотношениям Онзагера, т. е. [c.115]

Таким образом, в случае неизменной во времени объемной теплоемкости в нестационарном процессе теплопроводности подобно стационарному случаю (см. п. 2.2.1) имеет место своеобразная обратимость температур относительно координат (г, т) фазового пространства, где наблюдается температура, и (го,то), где действует импульсный тепловой источник единичной мощности. А именно температуры в этих точках фазового пространства будут одинаковыми при инверсии координат наблюдения температуры и действия импульсного источника, причем после такой инверсии отсчет времени ведется в обратном направлении. [c.89]

Рассмотрим простейший случай стационарного обтекания плоской пластины достаточно большой длины I. Если направить пластину вдоль потока так, чтобы ось X совпадала с направлением потока, ось у —с направлением перпендикуляра к пластине, а ось г —с направлением ширины пластины, то в нашем случае 1) = 0 3/5г = 0 и 3/3т=0, т. е. рассматривается плоскопараллельный поток жидкости. [c.180]

Заметим, что и в стационарных режимах число оборотов влияет на величину отдаваемой мощности Nq. Если, например, турбина приводит во вращение воздуходувку или центробежный насос, то чрезвычайно сильно выражена зависимость Nq от п, в противоположность только что упомянутому случаю сети с чисто омической нагрузкой (освещение, обогрев и т. д.), где она практически не имеет места. Можно оценить характер потребителя по следующему выражению [c.195]

Стационарной составляющей процесса нагружения является вертикальная нагрузка Р ((). Напряжения в диске о , СГ0 и т (рис. 1.7, г) или в спицах (рис. 1.7, д) изменяются во времени так, как это показано на рис. 1.7, б, и являются линейными функциями нагрузки Р и нелинейными функциями угла поворота дисков ос. Нелинейные составляющие Xi fa ( )l могут быть описаны тригонометрическим рядом (1.2). Тогда процесс нагружения дисков описывается моделью (1.3), где Хо (() 0. Следует отметить, что если процесс Хо (() является Гауссовским, то процесс х (t), при его представлении в виде стационарного процесса, уже не будет таковым. Качественная картина одномерной плотности процесса х i) для этого случая показана на рис. 1.7, в. [c.30]

Рассмотрим более общий случай, когда напряженное состояние в опасной точке конструкции характеризуется Гауссовскими стационарными и стационарно связанными случайными процессами изменения во времени напряжений <Уу и т, которые существенно различаются между собой как по интенсивности воздействий (дисперсиям) и частотным характеристикам, так и по сложности структуры (рис. 5.18, а, б). [c.208]

Будем рассматривать только случаи, когда ах и больше нуля, т. е. условия самовозбуждения выполнены для обеих мод. Коэффициенты Рх и р.х для активной среды всегда положительны. На рис. 11.14 представлены фазовые траектории для случая, когда ах/Рх > аз/621. Прямые / и 2 —изоклины вертикальных и горизонтальных касательных. Эти прямые не пересекаются в первом квадранте, что свидетельствует о невозможности двухмодового режима. Остальным трем режимам соответствуют стационарные точки (О, 0), (0, аз/Рз), (ах/Рх, 0). [c.364]

Понятие статистич. однородности С. и, является обобщением понятия с т а ц и о н а р н о с т,цслучайного процесса. Бели речь идёт о пространственно-временных С. п., то различают стационарность поля по времени и его однородность по пространств. координатам, при атом С. п. может быть статистически однородным по части координат и неоднородным — по остальным. Иногда С. п. однородны только на нек-рых поверхностях (на плоскости, на сфере и т. п.). Статистич. однородность может иметь место до пространственно-временному аргументу, напр. по аргументу т — vt в случав т. н- замороженных неоднородностей, движущихся как целое равномерно со скоростью р и описываемых С. п. (г — pi). [c.561]

В работе [523] уравнение (9.3) исследовалось численно при Ь = 1, т = 40, У(ж) = л и(1 —втж), где ц — бифуркационный параметр. График, из которого можно найти стационарное значение Хо для этого случая, приведен на рис. 9.116. Из этого графика видно, что Хс < < я/2, т.е. С = 0,5л ц. osx >0. Это означает, что потеря устойчивости стационарного реше ния в такой системе может происходить только колебательным образом. Из характеристического уравнения (9.20) следует, что на границе устойчивости, когда р = ш, должны удовлетворяться следующие уравнения (О = —tg (ОТ, 2С = — 1/ os (ОТ. Поскольку С > О и т > 1, то решением этих уравнений являются следующие значения (о [c.371]

На основании сделанного ранее вывода, первый случай осуществляется при Л, для которых возможно стационарное течение с детонационной волной, и только для тех точек В, которые расположены на участке поляры. Совокупность предельных положений точек С образует детонационную поляру КТ, соответствующую заданному значению Л. Точка Т будет точкой Ченмена-Жуге на поляре медленного горения ТхТ. Нри таких Л для каждой точки В на участке Т А ударной поляры, а при больших Л - для всех ее точек при увеличении скорости IIN соответствующая точка С доходит до точки Ченмена-Жуге. [c.42]

При не слишком малом т распределение р(У т х, о) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т > Г, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения У(т) при т > Г существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для (т) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях облака , создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях теплового следа за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для (т) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин [c.494]

Во всех предыдущих параграфах данной главы мы рассматривали движение системы в потенциальном поле, но не требовали, чтобы поле это было стационарным. Именно поэтому мы предполагали, что лагранжиан, гамильтониан и иные функции, встречавшиеся нам по ходу изложения, могут зависеть явно от времени. В этом смысле изложенный выше материал охватывал движения в нестационарных потенциальных полях и, в частности, движение в потенциальном поле системы, имеющей механические реономпые связи. Для случая, когда система натуральна, связи склерономны и поле стационарно, т. е. когда потенциальная функция не зависит явно от времени, выше было установлено лишь то, что гамильтониан совпадает с полной энергией системы. Отправляясь от этого факта, мы ввели понятие обобщенно консервативной системы как такой гамильтоновой системы, в которой гамильтониан не зависит явно от времени, а сам гамиль- [c.325]

В сформулированных в предшествующем разделе критериях равновесия термодинамических систем также не в полной мере использованы следствия второго закона о максимальности энтропии изолированной системы или о минимальности термодинамических потенциалов при тех или иных условиях равновесия. Действительно, знаки неравенств для вариаций первого порядка в (11.1), (11.13) и других критериях соответствуют виду экстремума энтропии, внутренней энергии и т. д., но эти знаки, как отмечалось, относятся к особому случаю граничного экстремума характеристической функции. Если же последняя имеет в равновесии стационарное значение, то вопрос о виде экстремума (минимума, максимума или точки пЬрегиба) при использовании (11.1), (11.13), (11.31) и других остается открытым и для ответа на него надо дополнить указанные критерии соответствующими условиями устойчивости равновесия [c.115]

Рассмотрим процесс теплообмена неограниченного стационарного плоского потока газа с постоянными физическими свойствами и пластины (Гда = onst), расположенной нормально к направлению его скорости в окрестности критической точки (линии растекания) (рис. 8.2). Рассматриваемый процесс является частным случаем теплообмена при обтекании клина, когда т = [см. (8.5) и (8.6)]. Например, переменная ц из уравнения (8.9) при wi=l имеет вид [c.162]

Во всех вышеупомянутых работах было показано, что при заданных заранее переменных условиях на поверхности тела (близких к реальным) использование закона Ньютона, а следовательно, и коэффициента теплообмена неприемлемо. Однако закон зависимости температуры стенки от координат и от времени не может быть задан apriori , а должен быть получен путем совместного решения уравнений распространения теплоты в жидкости и твердом теле вместе с уравнениями движения, причем на границе твердое тело — жидкость температуры и тепловые потоки равны, т. е. должна решаться так называемая сопряженная задача теплообмена [Л. 4-4, 4-5]. При такой постановке учитывается взаимное тепловое влияние тела и жидкости, которое при прежней постановке не учитывалось, в результате чего теплообмен оказывался не зависящим от свойств тела, его теплофизических характеристик, размеров, распределения источников в теле и т. д., что, очевидно, противоречит физическому смыслу. Особенно важно рассматривать задачи теплообмена как сопряженные для случая нестационарного теплообмена. Действительно, даже в предельном случае, когда коэффициент теплопроводности твердого тела очень большой (Xj->-oo), температуру поверхности нельзя считать постоянной, так как хотя она и не зависит от координат точек поверхности, но изменяется во времени. Однако в отличие от стационарного теплообмена даже н в этом предельном случае [c.258]

Если стационарному состоянию с энергией S соответствует неск. разл. волновых ф-ций ф (г) (т. е. состояние с зиергией —вырожденное), то волновая ф-цдя т 7 (/ п) является линейной комбинацией всех собств. ф-ций ф (г), отвечающих вырожденному уров-вю S. В этом случае = е" , причём волновой вектор к определён с точностью до вектора обратной решетки /. Т. о., в случав вырождения имеем [c.215]

Вышесказанное означает, что если ограничиться аддитивными функционалами Ляпунова (4), то возможно существование только условно-устойчивых многомерных стационарных солнтонов, т. е. устойчивых лишь при нек-рых ограничениях на нач. возмущения Такие ограничения возникают естественно для случая топологических со-литонов, наделённых тождественно сохраняющимися интегральными характеристиками—топологическими зарядами, учёт к-рых упрощает анализ устойчивости, В связи с этим ограничимся распространённым случаем нетополо-гич. солитоков, для к-рых естественной оказывается орбитальная устойчивость. [c.258]

Если кипение происходит в нестационарных условиях (закалка металла, процессы захолажива-ния в криогенной технике), то положение кривой q (Д Т) зависит от скорости изменения температуры охлаждаемого объекта (стационарный процесс может рассматриваться как предельный случай, когда скорость исчезающе мала). Приведенные ниже расчетные соотношения относятся к кипению в стационарных условиях. О влиянии скорости охлаждения на интенсивность теплоотдачи при кипении и на положение кризисов см. [39, 66, 72]. [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...