Индекс Пуанкаре

Доказательства первых двух теорем связано с введением индекса Пуанкаре (АндрОнов и др., 1959). Доказательство последней теоремы основано на том факте, что фазовые траектории не могут пересекаться. Рис. 7 иллюстрирует это положение. Кривая, пересекающая все фазовые траектории и не касающаяся их, называется Кривой без контакта. На рис. 7 окружность R — цикл без контакта. Обнаружение предельных циклов это — основная задача в теории колебаний. Однако не существует общих аналитических методов для ее решения. Следует отметить, что если при исследовании особых точек системы обнаруживаются центры, которые нри изменении параметров превращаются в неустойчивые фокусы, то вероятность существования в этой системе предельных циклов весьма велика. [c.39]

Будем рассматривать движение вокруг положения равновесия X = О, которому соответствует особая точка с индексом Пуанкаре, равным +1. Движение вокруг этого положения равновесия можно найти, рассматривая вместо уравнения (ПП1.16) четыре независимые системы [c.239]

Понятие индекса Пуанкаре (вместе с ого обобщениями) относится к теории векторных полей и в настоящее время играет важную роль не только в качественной теории динамических систем, но и в ряде других областей (топологии, функциональном анализе и их приложениях). Используя теорию индекса, мы можем получить весьма важные сведения [c.205]

Понятие индекса основано на понятии вращения векторного поля. Если на простой замкнутой кривой задано непрерывное векторное поле, то вращением этого поля вдоль кривой называется, грубо говоря, число полных оборотов, которое делает вектор поля при однократном обходе этой кривой в положительном направлении (точное определение дано в п. 2 6). Индекс Пуанкаре изолированного состояния равиовесия О динамической системы есть вращение векторного поля, определяемого этой системой, вдоль любой достаточно малой замкнутой кривой, содержащей точку О внутри себя. [c.205]

Рассмотрение циклов без контакта или циклов однократного пересечения, а также индексов состояния равновесия позволяет в ряде случаев сделать определенное заключение относительно существования замкнутых траекторий или предельных циклов. Приведем сначала несколько простых признаков отсутствия замкнутых траекторий — признаков, вытекающих из свойств индексов Пуанкаре. Сформулируем их в виде теоремы. [c.230]

Следствие. Если изолированные состояния равновесия и Og динамических систем, соответственно, (А ) и (А2) имеют одинаковые топологические структуры, то их индексы Пуанкаре равны. [c.562]

Индексы Пуанкаре. Распределение особых точек [77, 117]. Пусть 8 — простая замкнутая кривая на фазовой плоскости, не проходящая через состояние равновесия, ж М — какая-нибудь [c.116]

V с конечным числом неподвижных точек. Тогда формула индекса Пуанкаре — Хопфа (теорема 8.6.6) утверждает, что сумма индексов неподвижных точек v равна х- Наконец, пусть [c.713]

Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний генератора, время движения изображающей точки по циклу — их период, а форма предельного цикла — форму колебаний. Таким образом, задача об исследовании периодических автоколебаний в системе сводится к задаче нахождения предельных циклов в фазовом пространстве и определения их параметров. Общий метод для нахождения предельных циклов (как, например, для определения координат и типов состояний равновесия) не известен даже для систем второго порядка. Правда, на основании теории индексов Пуанкаре (см. гл. 15) мы можем сформулировать некоторые критерии отсутствия предельных циклов на фазовой плоскости например, если в системе нет состояний равновесия, то в ней не может быть и предельных циклов, или если единственное состояние равновесия является седлом, то предельных циклов тоже нет и т. д. [c.299]

Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре [c.312]

Рис. 15.6. К объяснению индексов Пуанкаре замкнутой кривой, окружающей одну или несколько точек равновесия а — j = О (внутри контура состояний равновесия нет) б— j = +1, центр (то же самое для узла и фокуса) в — j = -1, седло г — j = -2 ( = -1-1 = -2) д — ] = -1 lj = -1 + 1-1 = -1) е — j = +1 ( = —1 + 1 + 1 = +1) А — предельный цикл

Непосредственным рассмотрением (рис. 251) нетрудно убедиться, что индексы Пуанкаре для центра, узла и фокуса равны индекс Пуанкаре для седла равен — 1. [c.339]

Вычислим теперь аналитически индекс Пуанкаре для особой точки, т. е. вычислим индекс простой замкнутой кривой, охватывающей эту особую точку и не содержащей никаких других особых точек. При этом будем предполагать, что для этой точки A = ad — be 0. [c.342]

Отсюда сразу следует, что индекс Пуанкаре для узла, фокуса и центра равен а для седла равен — 1, т. е. те же самые резуль- [c.344]

Если бы на фазовой плоскости имелась замкнутая фазовая траектория, то, согласно теории индексов Пуанкаре, она охватывала бы узел О, что невозможно, так как через него проходят интегральные прямые ь = (1 и а = — ( ь уходящие в бесконечность. По той же причине замкнутых фазовых траекторий не существует и при других значениях параметров системы (через каждый узел, как мы увидим, проходит интегральная прямая = 1 или г. = — /1 следовательно, замкнутая фазовая траектория, если бы она существовала, не могла бы охватывать ни одного из них и иметь индекс Пуанкаре, равный + 1). [c.358]

IV. г - - 2R< p, г ( у (а). В отличие от предыдущего случая здесь ср (а)< —1 и кривые (5.67а) и (5.676) пересекаются внутри квадранта К по крайней мере в одной точке. Ниже мы будем рассматривать только тот случай, когда эта точка пересечения единственна (точка С (с, с") на рис. 266,/К) ), а на фазовой плоскости (рис. 267, IV) имеются девять состояний равновесия неустойчивый узел О, четыре устойчивых узла А, Ai, В, 5, и четыре С-точки С (с, с"), l i ", с ), Сз(—с —с") и Сз(—с", —с ). На основании теории индексов Пуанкаре нетрудно убедиться, что это — седла. В самом деле, сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия, как мы уже видели, равна - - 1 известные нам пять состояний равновесия на интегральных прямых 4 = и i = — /j (точки О, А, Al, В, Bi) суть узлы, и сумма их индексов равна - - 5, следовательно, сумма индексов четырех С-точек должна равняться — 4, т. е. С-точки должны быть седлами. Устойчивым стационарным режимам работы машин соответствуют устойчивые узлы А, Ai, В, т. е. устойчивыми будут и режим правильной работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь и режим работы одной машины на другую. Установление того или иного режима зависит от начальных условий если начальное состояние системы соответствует какой-либо точке области, ограниченной сепаратрисами (усами седел С) и заштрихованной на рис. 267, IV, то установится режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь. [c.361]

Сделанных выше предположений относительно вида функции (1) недостаточно для доказательства отсутствия точек пересечения кривых (5.67а) и (5.676) внутри квадранта АГь Вообще говоря, при г< (а) в зависимости от вида функции (О может быть любое, но обязательно четное число таких точек пересечения, а на фазовой плоскости — 5, 13,21 и т. д. состояний равновесия, из которых 3, 7, 11,. .. будут узлами, а остальные — седлами, так как сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия равна + 1- [c.361]

I. 8 0, О, о<[0. В ЭТОМ случае на фазовой плоскости (рис. 279, Г) имеются пять особых точек (состояний равновесия) (0,0) — неустойчивый узел и вне начала координат — два седла и два устойчивых узла. Предельных циклов нет, поскольку через все особые точки проходят интегральные прямые, простирающиеся в бесконечность. Для доказательства сделанных выще утверждений относительно характера особых точек, лежащих вне начала координат, достаточно вспомнить, что бесконечность абсолютно неустойчива и, следовательно, сумма индексов Пуанкаре для всех особых точек равна -j-1. Поэтому четыре особых точки вне начала координат не могут быть все седлами или узлами, две из них являются седлами и две — узлами, причем последние — обязательно устойчивые узлы в силу неустойчивости бесконечности. [c.381]

Подобные формулы справедливы и в вещественном случае. Двойственные вещественные формы В1 и фд имеют одинаковые индексы инерции. Но сигнатура формы Д равна индексу Пуанкаре соответствующей особенности (более подробно см. [98]). Следовательно индексы Пуанкаре краевых особенностей совпадают с сигнатурами соответствующих форм фд, порождённых линеаризованным сворачиванием инвариантов. Эти утверждения, обнаруженные экспериментально, привели к открытию двойственности между линеаризованным сворачиванием инвариантов и операцией умножения в локальной алгебре соответствующей особенности, описанной выше. [c.93]

Сформулируем теперь несколько простых критериев отсутствия замкнутых фазовых траекторий, которые являются прямым следствием теории индексов Пуанкаре. [c.67]

Определение XIII. Индексом (или индексом Пуанкаре) изолированной особой точки О векторного поля i соответствующего динамической системе, или индексом состояния равновесия системы (I), называется индекс любой замкнутой кривой С, содержащей внутри себя точку О, причем такой, что ни внутри С, ни на ней самой нет других особых точек поля V. [c.215]

В заключение мы докажем теорему Бендиксона, устанавливающую связь между числом гиперболических и эллиптических секторов состояния равновесия и его индексом Пуанкаре. Пусть (I) — дипамическая система, О — ее изолированное состояние равновесия, к — число его гиперболических секторов (т. е. число гиперболических секторов достаточно малой окрестности точки О), е — число эллиптических секторов, 1 = /(О) — индекс Пуанкаре. [c.559]

Доказательство теоремы Беидиксона. В случае, когда состояние равновесия О является центром, его индекс Пуанкаре равен единице в силу теоремы 28 11, а е = Л = О, т. е. соотношение (1) вьнюлпяетсп. [c.559]

Другими словами, индекс Пуанкаре является инвариантом топологических отобранчений. сохраняющих траектории. Справедливость этого утверждения обусловливается тем, что при таких отображениях состоятше равновесия переходит в состояние равновесия, а каждый его сектор — в одноименный сектор. [c.562]

Определив индекс инвариантного множества, состоящего из нескольких периодических траекторий, как сумму их индексов, можно затем с номощью аппроксимацнонных соображений ввести индекс Пуанкаре—Кронекера для некоторых инвариантных множеств, состоящих нз периодических траекторий. Здесь это не понадобится, поэтому я не формулирую условий, рн которых это можно сделать. [c.182]

Таким образом показано, что при вычислении индекса Пуанкаре для простой особой точки (с Д 0) МОЖНО отбросить нблинейные члены. Чтобы вычислить /(0), удобно применить следующий прием. Перейдем снова к обычным координатам и запишем наще выражение опять в виде криволинейного интеграла [c.343]

Рассмотрим индекс Пуанкаре градиентного векторного поля вещественнозначной гладкой функции от 2т переменных в критической точке. Этот индекс мажорируется средним числом Ходжа смешанной структуры Ходжа, ассоциированной с единичным собственным значением оператора монодромии [34], [c.36]

Ицдексы особых точек и замкнутых фазовых траекторий -индексы Пуанкаре [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...