Колебания трехмерных тел

Выше приведен простейший пример колебания решетки, которая может в общем случае рассматриваться как бы состоящей из частиц различных масс, и может быть двумерной или трехмерной (кристаллическая решетка трехмерного тела). Пространственная периодичность системы является ее существенной чертой ). [c.163]

При этом неоднородность поля скоростей перемещений вдоль каждого напряжения будем полагать сравнимой по порядку величин. Эти предположения могут точнее отражать реальность нелинейного процесса деформирования трехмерного тела в волновых динамических задачах или колебаниях при выделенном преимущественном направлении интенсивных силовых воздействий вдоль ез. [c.39]

Практическое решение рассматриваемых задач обычно получается применением метода Фурье (разделение переменных), что приводит к необходимости исследовать управляемый процесс, который описывается бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким способом удается получить содержательные результаты в исследовании колебаний мембран и объемных (трехмерных) тел в предположении, что объект может перемещаться в пространстве как твердое тело, совершая при этом упругие колебания (см., например, [1, 2, 28, 101]). [c.11]

Методом граничных интегральных уравнений решались различные динамические задачи. В частности, двумерные задачи динамической теории упругости рассматривались в работах [5—7, 117, 439, 568], трехмерные — в [373, 374, 439, 463, 464, 477, 546]. Задачи о колебаниях упругих тел и пластин, а также задачи на собственные значения изучались в работах (87, 441, 503, 531, 544 и др.]. Существует несколько под содов к решению нестационарных задач методом граничных -интегральных уравнений. Можно использовать шаговую по времени схему, когда решение ищется последовательно в различные моменты времени. При этом используются фундаментальные решения динамических дифференциальных уравнений, которые называются запаздывающими потенциалами. Такой подход к решению динамических задач теории упругости использован в работах [374, 484, 494—496, 556]. Другой подход заключается в применении преобразования Лапласа по времени. В этом случае интегральные уравнения записываются для функций ч пространстве преобразований Лапласа и они решаются при различных значениях параметра преобразования [373]. Затем выполняется численное обратное преобразование Лапласа [196, 440, 465, 466, 536]. В работах [517, 556] рассматривались оба эти подхода и сравнивалась их эффективность с точки зрения точности и затрат машинного времени. Более эффективным оказался метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Этот метод применялся к решению динамических задач в работах [5—7, 117, 140, 373, 463, 464, 472, 518, 568]. Метод решения динамических задач с использованием функций Грина соответствующих статических задач разработан в [448]. Более полный обзор применения метода граничных интегральных уравнений и граничных элементов в динамических задачах сделан в работах [44, 442, 462]. [c.105]

Однако ясная картина с разложением по формам малопригодна для практических расчетов колебаний трехмерных упругих тел. Причина — густота спектра при вынужденных колебаниях возбуждается много форм. [c.239]

В заключение приведем точные в рамках трехмерной динамической теории упругости математические постановки задач о линейных колебаниях ограниченного тела, один или два размера которого малы по сравнению с остальными. Именно эти задачи и составляют предмет изучения в теории динамики стержней, пластин и оболочек. В связи с тем, что получение обозримых аналитических решений указанных задач возможно для очень ограниченного числа простейших частных случаев, развивались и уточнялись приближенные теории, которые в основном и удовлетворяли многообразные запросы практики. [c.8]

В самом начале этой главы мы говорили о том, что количественный анализ колебаний атомов реального трехмерного твердого тела представляет исключительно сложную задачу. Для того чтобы понять общие свойства нормальных мод в таком теле, мы предварительно рассмотрели задачу о колебаниях атомов линейной цепочки. Теперь используем результаты этого рассмотрения для качественного описания колебаний атомов трехмерной решетки. [c.158]

Одночастичная функция распределения весьма чувствительна к низкочастотным колебаниям. Это впервые было установлено в основе теории упругости твердых тел. При Л ->-оо полуширина одночастичной функции распределения в двухмерной системе стремится к бесконечности. В трехмерном же случае полуширина ограничена. Поэтому в отличие от двухмерного случая в трехмерном вид одночастичной функции распределения для упорядоченной фазы принципиально отличается от вида одночастичной функции распределения для однородной фазы. В двухмерных системах достаточным условием существования твердого тела является лишь относительное упорядочение частиц. Рассмотрим системы твердых дисков или сфер при больших плотностях, когда v Vo и v/vo—1<С1. в этом случае уравнение состояния запишем в виде ряда [c.203]

Высказанное опасение, таким образом, не оправдывается, по крайней мере в случае уровней энергии или, осторожней говоря, в случае частот (так как нельзя забывать, что остается неясным, как следует истолковывать энергию колебаний , поскольку лишь в случае одного тела можно говорить о чем-то, что поддается истолкованию как колебания в действительном трехмерном пространстве). Определение квантовых уровней не разбивается больше на два, по существу различных, этапа, а именно 1) на нахождение всех динамически возможных траекторий и 2) на отбрасывание большинства полученных на первом этапе решений с выделением некоторых немногих, удовлетворяющих специальным требованиям напротив, квантовые уровни определяются теперь сразу как собственные значения уравнения (18), при которых выполняются введенные выше естественные граничные условия. [c.693]

Таким образом, твердое тело совершает трехмерные почти-периодические резо нансные пространственные колебания. [c.275]

В монографии численно и аналитически изучено распространение волн различной физико-механической природы (тепловых, вязкоупругопластических, разрушения, гидроударов) в элементах конструкций, выполненных из однослойных и многослойных материалов с твердым или жидким заполнителем. Рассмотрены нестационарные и периодические волны. Приведены результаты численного решения широкого круга одномерных, двумерных и трехмерных динамических задач для тел вращения. Показано существенное влияние возникновения пузырьковой кавитации на динамическую прочность оболочек с жидким заполнением. На примерах резонансных, кавитационных колебаний жидкости в топливоподающих магистралях изучены периодические гидроудары. [c.255]

Первый подход заключался в разложении искомых величин смещений и напряжений в ряды по степеням вырожденной координаты, т. е. вдоль направления наименьшего характерного размера тела, и подстановке этих разложений в трехмерные уравнения. Таким способом Пуассон (1829) вывел уравнения продольных, поперечных и крутильных колебаний круглого стержня, совпадающие с элементарными. Уравнения продольных и поперечных колебаний пластины получены Коши (1828) и Пуассоном (1828). [c.14]

Таким образом решение общей нестационарной задачи сводится к интегрированию нелинейной системы дифференциальных уравнений стационарного обтекания тела и связанных между собой двух линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами для возмущений, находящихся в фазе с а и а, при соответствующих граничных условиях на теле и соотношениях на скачке уплотнения. В общем случае все три системы уравнений трехмерные. Если рассматривать медленные колебания ujL/Voo <-< 1), когда вели- [c.74]

Эйнштейн предположил, что атомы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, могут совершать только колебательные движения и в целях упрощения принял частоту колебаний одинаковой для всех ато.мов. Поскольку в твердом теле для трехмерных осцилляторов средняя энергия должна быть в три раза больше, чем для линейных, в расчете на 1 г - атом получаем [c.261]

Заметим, что обобщенная модель стандартного линейного тела с одним параметром дробности 7 = ск = /3 использовалась в работах [19] и [20] для исследования нестационарных колебаний консольного стержня конечной длины в одномерной и трехмерной постановках, когда свободный конец стержня подвергался воздействию ступенчатой функции. [c.290]

В лучших книгах по теории упругости изложение теории трехмерных граничных задач до сих пор ограничивается рассмотрением лишь тел специальной конфигурации (полупространство, сфера, некоторые другие случаи тел враш ения и т. д.) при этом наибольшее внимание уделяется вопросам статики, значительно меньше вопросам колебаний и еш е меньше — вопросам общей динамики. Это обстоятельство не случайно в нем находит отражение исторический ход развития теории упругости, которая в течение всего предшествующего периода была занята главным образом изучением тел частных профилей и интересовалась прежде всего проблемами статического равновесия. [c.9]

Тепловые колебания поверхностных атомов. Поскольку поверхность является основным дефектом трехмерной кристаллической решетки, ее колебательный спектр должен отличаться от объемного. Еще в 1885 г. Рэлей, рассматривая твердое тело как сплошную среду, предсказал возникновение упругих волн на границе полубесконечного кристалла с вакуумом, быстро затухающих на глубине в 1—2 длины волны (волны Рэлея). Существование поверхностных упругих волн в ультра- и гиперзвуковом диапазоне не только доказано экспериментально, они широко используются в акустоэлектронике. [c.157]

Исследование колебаний неоднородных ограниченных упругих тел приводит к решению дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, что представляет очень большие трудности. Роль приближенных уточненных теорий в связи с этим еще больше возрастает, так как анализ соответствующих им уравнений значительно проще, чем трехмерных уравнений. Кроме того, деформация сдвига при наличии неоднородностей может оказывать существенное влияние на колебания и классическая теория Бернулли—Эйлера будет приводить к большим погрешностям. [c.91]

Наибольший интерес приближенные уравнения продольных колебаний стержней представляют в теории соударения упругих тел. Это объясняется тем, чto уравнения трехмерной теории упругости слишком сложны даже для решения задач неустановившихся движений в стержне. В случае же упругого продольного соударения стержней или удара по стержню [c.109]

Наиболее наглядную картину затухания колебаний дает трехмерный график положения колеблющегося тела в зависимости от времени и добротности, представленный на рис.7. [c.124]

Еще более сложный характер имеют связанные колебания трехмерных тел, в которых образуются уже не узловые линии, а узловые поверхности. При колебании тела распределение уэловь7х поверхностей в нем может быть весьма сложным, особенно для тел неправильной формы. Однако и в этих случаях всякое колебание тела можно представить суммой нормальных колебаний с различными амплитудами и фазами. [c.199]

Модель Дебая. Вначале Дебай пренебрег атомной структурой твердого тела, рассматривая его как упругий континуум. Это эквивалентно тому, как если бы представить. твердое тело лише нным внутренней структуры, т. е. в виде трехмерного аналога непрерывной струны. Число колебаний такого тела бескс1нечН 0, а частоту их можно вычислить по геометрическим раз.мерам тела, его упругости и плотности. В итоге получается основная частота колебаний и бесконечное число обертонов. [c.39]

Изложению исследований по существованию и едииствеиности решений краевых задач статики и установившихся колебаний упругого тела посвящен труд Купрадзе В. Д., Тегелия Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчу-ладзе Т. В,, Трехмерные задачи математической теории упругости , Изд-во Тбилисского ун-та, Тбилиси 1968, [c.914]

Задачи о нелинейных собственных колебаниях трехслойных пластин рассматриваются в работг1х [375, 376, 477]. Так авторами статьи [129] рассматривается прямоугольная трехслойная пластина. Уравнения движения получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Используется гипотеза ломаной нормали. Для несущих слоев принимается гипотеза Кирхгофа, а заполнитель считается трехмерным телом, работающим на поперечный сдвиг. При этом исходная нормаль в заполнителе поворачивается на некоторый угол. Используется кармановская модель геометрической нелинейности. Для свободно-опертой прямоугольной пластины применяются двойные ряды Фурье. Интегрирование по времени производится методом Рунге-Кутта. Автором статьи [427] был рассмотрен вопрос о применимости гибридного метода Галеркина к нелинейным свободным колебаниям слоистых тонких пластин. [c.20]

Разложение (2.33) в ряд Фурье по плоским волнам идеально описывает спектр свободных электронов в потенциальном ящике (так же, как и спектр упругих колебаний твердого тела). Однако при изображении спектра валентных электронов металла возникают трудности, связанные с просачиванием части электронной плотности в глубь остова. Так, у 35-электрона главный максимум лежит за пределами остова (в кристалле — между остовами), а два небольших максимума расположены концентрически внутри остова на разных расстояниях от ядра. Для изображения внутриостовных коротковолновых осцилляций потенциала нужно взять большое число членов ряда Фурье (в одномерном случае 10 , в трехмерном 10 ) и провестиг суммирование в большом числе точек ячейки кристалла, что-делает метод плоских волн практически неудобным. [c.57]

Особенности поведения каверн, представленных на фиг. 5.16 и 5.17, типичны для многих кавитационных следов и суперкаверн конечной длины как за двумерным, так и за осесимметричными телами. Они связаны с периодическим характером беска-витационных следов за двумерными и некоторыми трехмерными телами Пример периодических колебаний в кавитационном течении за снарядом с плоским донным срезом показан на фиг. 5.19, а. Как и в предыдущих примерах, кавитационные течения в следе имеют колебательный характер. [c.214]

Самой значительной работой классического периода, посвященной этим вопросам, является статья Вейля 1915 г. об асимптотическом законе распределения частот собственных колебаний трехмерного упругого тела произвольной формы (см. Н. Weyl [1]). Собственные колебания характеризуются тем, что вектор смещения и (х) зависит от времени по закону Л = 1, 2,. . где постоянные служат частотами собственных колебаний. [c.310]

В [6.49] продолжены исследования [6.48] по изучению реакции при галопировании, а также выявлены три основных типа зависимости Ср от а и соответствующая им амплитуда реакции при галопировании а как функция приведенной скорости UIDai (см. рис. 6.11). Отмечено, что единственно возможные колебательные движения — это движения с амплитудами а, которые показаны сплошными линиями на рис. 6.11. В [6.49] также исследованы реакции протяженных трехмерных тел с помощью рассмотренной выше теории для двумерного потока и описано влияние турбулентности потока на галопирование. Отмечено, что одни и те же факторы могут оказывать различное влияние на осредненные значения l и Со в зависимости от масштабов и вида спектра турбулентности потока. Например, в зависимости от конкретных обстоятельств турбулентность может способствовать или препятст вовать созданию необходимых условий для возникновения галопирования. Наконец, в [6.49] выявлено, что если начальное возмущение больше амплитуды установившихся колебаний, то могут быть случаи галопирования, для которых критерий Ден-Рартога не удовлетворяется. [c.170]

С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны многие физические явления в твердых телах — теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение, электропроводность и др. Теория коле баннй атомов трехмерного кристалла крайне сложна. Поэтому мы сначала рассмотрим распространение упругих волн в однородной упругой струне и в кристаллах без учета их дискретной структуры. Затем рассмотрим колебание атомов в одно-ме13Ной решетке. После этого полученные результаты обобщим для случая трехмерной кристаллической решетки. [c.141]

При рассмотрении механики поведения композита в функции времени можно использовать модель, содержащую линейную жесткость, элемент вязкого трения, элемент трения при скольжении и др. Используя такую модель, можно объяснить процесс деформирования композита при высоких скоростях нагружения, при ползучести или колебаниях. В большинстве случаев при построении этих моделей рассматривают поведение материала при одномерной деформации. В настоящее время необходимо рассматривать уже двумерные и трехмерные случаи. Используя обобщенный закон Гука для двумерных ортотропных тел, Холпин [5.36] установил [c.134]

Асимптотическое распределение собственных частот для некоторых классов упругих систем. Данные об асимптотических распределениях даны в табл. 3. Для стержней, совершающих продольные или крутильные колебания, а также для колеблющихся струн собственные частоты распределены приблизительно равномерно. Асимптотически равномерное распределение наблюдается также для тонких пластин и для трехмерных упругих тел, все измгрения которых сопоставимы. Плотность частот для стержней, совершающих изгибные колебания, с увеличением частоты уменьшается. Более сложный характер носит распределение собственных частот для тонких упругих оболочек (см. гл. XIII). [c.177]

Задача о сверхзвуковом обтекании затупленного конуса рассматривается на основе линейной теории тел конечной толщины с учетом обратного влияния пограничного слоя на внешнее течение в рамках модели слабого вязкого взаимодействия. С этой целью численно решаются трехмерные нестационарные уравнения пограничного слоя и оценивается роль переносного ускорения и кориолисовых сил в формировании течения в нестационарном пограничном слое. Высокая точность определения характеристик, найденных по данной методике, подтверждается экспериментальными дан-ными, полученными путем проведения динамических испытаний крупномасштабной модели L 1 мм) в аэродинамической трубе при = 4 и 6. Расчетные исследования подтверждают наличие режимов антидемпфирования колебаний затупленных конусов при гиперзвуковых скоростях полета, которые могут как усиливаться, так и ослабляться при наличии вдува в пограничный слой с поверхности ЛА. [c.6]

В данной главе рассмотрены лишь некоторые проблемы механики осесимметричных и двумерных суперкаверн, демонстрирующие некоторые основные особенности течений с полностью развитой кавитацией. Важными проблемами также являются задача о произвольной трехмерной суперкаверне (включая треугольные гидрокрылья и гидрокрылья конечного размаха, а также тела вращения под углом атаки), влияние силы тяжести (включая задачи о входе в воду и о движении вблизи свободной поверхности воды), суперкавитация решеток и винтов, а также задача о гидроупругости при суперкавитации. Последняя связана с нестационарностью каверны, обусловленной ускорением или колебаниями и вибрацией тела, на котором она образуется. Изменение сил и моментов, а также длины каверны в зависимости от динамических параметров и числа кавитации рассматривалось во многих работах, включая [27, 42, 78, 83, 96]. Помимо литературы, цитированной в данной главе, дополнительные сведения по всем этим и другим вопросам можно найти в кратком библиографическом списке, приведенном в конце главы. Список работ, в которых рассматриваются подводные крылья и решетки, приводится в гл. 7. Глава 12 посвящена задачам, связанным с поверхностями раздела и входом тел в воду. [c.250]

Su), НО С импедансом l/w, также существуют собственные колебания на той же частоте. Другими словами, если при заданных k и поверхности Su, существует собственный импеданс Wn, то существует и собственный импеданс l/w . Это свойство не имеет аналогии в трехмерной скалярной задаче. Оно может быть использовано при решении уравнений для w , получающихся, папрн-мер, при применении метода Ритца — эти уравнения вместе с корнем Wn имеют и корень 1/ш . Отмеченное свойство ш-метода имеет место лишь в системах без других тел, кроме тела с поверхностью S ,. [c.197]

Применение уравнений трехмерной теории упругости к исследованию устойчивости упругих тел с учетом изменения их граничных поверхностей было предложено А.Ю. Ишлинским и Л.С. Лейбензоном [5, 6]. В трехмерной линеаризованной постановке в работах А. П. Гузя и его учеников [2, 7, 8, 9] были получены решения задач устойчивости анизотропных элементов конструкций, которые послужили основой для оценки точности различных прикладных теорий, использующихся в расчетной практике. Оказалось, что теория оболочек, в которой деформации поперечного сдвига учитываются в соответствии с гипотезой Тимошенко, позволяет находить критические нагрузки с незначительной погрешностью. Эта оценка относится и к таким интегральным характеристикам, как низшие частоты свободных колебаний оболочки из КМ. В то же время решение уравнений теории оболочек типа Тимошенко менее трудоемко, чем уравнений теории упругости, особенно в случае оболочек сложной геометрии. Такими, в частности, являются цилиндрические оболочки с волнообразной срединной поверхностью, которые при большом количестве волн принято называть гофрированными. Устойчивость последних рассматривалась в работах [10, 11] путем замены их эквивалентными ортотропными. Хотя экспериментальные данные обнаруживали более высокую эффективность гофрированных оболочек [10], приближенное дискретное решение не подтвердило возможности увеличения критических нагрузок за счет придания профилю поперечного сечения волнообразного характера. Недостатков приближенного подхода удалось избежать в работах [12-14], где устойчивость гофрированных оболочек рассматривалась с учетом изменяемости геометрических параметров по направляющей. Из проведенных авторами этих работ исследований вытекает, что при равновозможности общей и локальной форм потери [c.105]

Реологические модели и дифференциальные соотношения. В ранних работах по вязкоупругости за основу принимались дифференциальные соотношения типа (2.23), откуда, в частности, получаются известные модели Максвелла и Фойхта. А. Н. Герасимов (1938) дал обобщение уравнений Максвелла на трехмерный случай и получил уравнение типа (2.25) с экспоненциальным ядром. В другой работе А. И. Герасимова (1939) рассмотрен вопрос о малых колебаниях вязко-упругих мембран. А. Ю. Ишлинский (1940) рассматривал модель, которая получила название модели стандартного вязко-упругого тела, для которого связь между напряжениями и деформациями дается уравнением (5.2). Были рассмотрены продольные колебания стержня. В других работах А. Ю. Ишлинского к модели (5.2) добавлялись элементы сухого трения, изучались статистические модели, сконструированные из большого числа вязко-упругих элементов с некоторым распределением параметров. В. 1945 г. А. Ю. Ишлинский предложил обобщение уравнения (5.2) на пространственный случай. [c.149]

Решения уравнений пограничного слоя при трехмерных нестационарных течениях получены также В. Вюстом для тел, совершающих нестационарные движения в направлении, перпендикулярном к направлению обтекания. В частности, им был исследован пограничный слой на круглом цилиндре,, совершающем периодическое движение в направлении, перпендикулярном к направлению набегающего потока. Рассмотренное В. Вюстом обтекание плоского клина, совершающего колебания в направлении к передней кромке,, содержит в себе как частные случаи осциллирующее обтекание пластины и осциллирующее течение в окрестности критической точки. [c.392]

Это ур-пие хорошо согласуется с экспериментом и ])е-зультатами строгой теории, рассматривающей С. как трехмерное упругое тело. Из (5) для j, получается выражешм, совпадающее с (4) при низких частотах, а при высоких частотах стремится к величине, примерно равной скорости поверхностных волн Рэлея (см. Рэлея волны). Ограниченный С. обладает бесконечным набором собственных частот и собственных колебаний. Спектр собственных частот зависит от условий закрепления С., длины его I, плотности р, площади сечения jfi и упругого сопротивления по отношению к данному тину колебаний. В случае продольных и крутильных колебаний собственные частоты являются целыми кратными основной частоты, т. е. образуют гармонич. ряд. Нанр., для продольных колебаний свободного с. Шп = E p-nnjl, и= 1, 2, 3,... В случае изгибных колебаний собственные частоты не образуют гармонич. ряда напр, для С., заделанного на концах, = (а /Z-) УEJjpF, где = 4,73 Oj = 7,85,... [c.82]

Представлены все модели упругих тел нелинейные и линейные, моментные и безмоментные трехмерные, двумерные (пластины и оболочки), одномерные (стержни). Кратко изложены новые теории трещин, композитов и периодических структур. Рассмотрены основы теории колебаний, волн и устойчивости. В связи с магнитоупругостью дается сводка законов электродинамики. [c.2]

Одновременно с появлением дебаевской теории Макс Борн и фон Карман (М. Вогл, Th. von Karman, 1912) предложили строить теорию твердого тела на основе непосредственного расчета дисперсионной зависимости частоты собственных колебаний от волнового вектора, и> = ш(к), и плотности числа собственных колебаний для упорядоченных пространственных структур из упруго связанных материальных точек. Уже на примере линейной цепочки упруго связанных масс (см. задачи 51 и 52) удалось выявить многие характерные Черты спектра собственных колебаний системы, прежде всего образование акустической ветви колебаний из смещений узлов, образование оптической ветви в многоатомной цепочке, структуры плотности числа собственных колебаний, ограниченной сверху и имеющей запрещенные зоны внутри, и т. д. К сожалению, полное аналитическое исследование аналогичной задачи для двух- и трехмерных решеток провести не удается. Приближенный расчет собственных частот трехмерной решетки достаточно сложен. Впервые такой расчет для простой кубической решетки был выполнен лишь в 1937 г., теперь же это делает ЭВМ для различных кристаллических структур. [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...