Упругая струна

Уравнение распространения волн вдоль упругой струны и уравнение распространения продольных волн в упругой среде имеют аналогичные математические формы. На рис. 5 изображена часть поперечной волны на упругой струне с постоянной линейной [c.72]

Таким образом, для одного п того же волнового вектора к, параллельного направлению [100], возникают три упругие волны — одна продольная и две поперечные. При этом две независимые волны сдвига имеют одинаковые скорости. В случае произвольного направления вектора к имеют место три поляризованные волны, распространяюш иеся с разными скоростями, которые не зависят от частоты колебаний. Как видно из выражений для скоростей (5.14), (5.16), (5.18), чем меньше плотность и чем больше жесткость кристалла, тем выше скорости распространения упругих (звуковых) волн. Из этих же выражений следует, что круговая частота колебаний со пропорциональна волновому числу k, т. е. дисперсионное соотношение получилось таким же, как и для случая упругой струны. [c.145]

При малых значениях k или, что то же, при длинах волн, значительно больших расстояний между атомами в цепочке, ш зависит от k линейно, как и для случая непрерывной упругой струны с линейной плотностью р = Л1/а [c.147]

Рассмотрим силы, действующие на элемент длины Ах продольно колеблющейся упругой струны с линейной плотностью р и упругой постоянной с. Деформация на одном конце рассматриваемого элемента струны равна 5(х), на другом — 5(х-)-Лх). Для малых Дх получаем [c.26]

Если нагрузка q z) представляет собой более сложную функцию, она раскладывается в ряд Фурье и уравнение для PJP, оказывается существенно более сложным в общем случае левая часть его представляет собою бесконечный ряд. В случае исчезающей изгибной жесткости отсюда получается решение для упругой струны [c.394]

Под действием приведенного напряжения сдвига т дислокационные сегменты, подобно упругой струне, изгибаются и на каждую точку закрепления действует сила, обусловленная линейным натяжением соседних сегментов. Эту силу можно разложить на две составляющие силу f , направленную вдоль линии дислокации, и силу Fх, нормальную к линии дислокации начального ее положения. Выражения для F и F были получены Бауэром [14] в следующем виде [c.166]

Последний случай — это случай натянутой нити или струны, оба конца которой закреплены и которая нагружена любым количеством тел, расположенных на равных друг от друга расстояниях тогда величина F выражает натяжение нити или груз, который может его вызвать однако величину F нельзя вывести из F, не зная закона упругости струны. [c.480]

Рис. 5.10. Бегущая волна на упругой струне

Е — модуль упругости струны р — плотность струны [c.269]

Возбуждение колебаний происходит либо путём непосредств. воздействия на состояние колебат. системы (раскачка маятника периодич. толчками, включение периодич. эдс в колебат. контур и т. д.), либо путём периодич. изменения параметров этой системы (длины подвеса маятника, ёмкости или самоиндукции контура, коэф. упругости струны и т. п.), либо благодаря самовозбуждению К., т. е. возникновению колебат, движений внутри самой си- [c.401]

Т. э. возможен не только в квантовых системах, состоящих из одной частицы. Так. напр., низкотемпературное движение дислокаций в кристаллах может быть связано с туннелированием конечной части дислокации, состоящей из многих частиц. В такого рода задачах линейную дислокацию можно представить как упругую струну, лежащую первоначально вдоль оси у в одном из локальных минимумов потенциала У ,.х. у). Этот потенциал не зависит от а его рельеф вдоль оси х представляет собой последовательность локальных минимумов, каждый из к-рых находится ниже другого на величину, зависящую от приложенного к кристаллу механич. напряжения. Движение дислокации под действием этого напряжения сводится к туннелированию в соседний минимум определ. отрезка дислокации с последующим подтягиванием туда оставшейся её части. Такого же рола туннельный механизм может отвечать за движение волн зарядовой плотности в диэлектрике Пайерлса (см. Пайерлса переход). [c.176]

Заменяем в известном решении [2] соответствующей упругой задачи, определяющей отклонение u z, t) точек струны от положения равновесия, параметр а = Т1 (где Г — натяжение в идеально упругой струне, Pi — линейная плотность) оператором согласно формулам (1.1) и (1.2). После подстановки в них Го и вместо Et, и соответственно, в результате простых преобразований получим [c.133]

Малые поперечные перемещения натя- нутой упругой струны. / —первоначаль- пая растягивающая сила в струне [c.320]

В качестве примера рассмотрим колебания упругой струны длины с пусть а — скорость распространения возмущений. Предположим, что в начальный момент времени = О струна неподвижна, левый конец постоянно закреплен, а правый начинает совершать периодические колебания по закону f t) (/(0) = 0) с периодом Т. Задача определения вынужденных колебаний струны при i О является смешанной задачей для волнового уравнения [c.182]

Дисперсионное соотношение. Равенство (22) связывает частоту и длину волны для нормальных мод однородной упругой струны [c.66]

Упругая струна длиной L растянута между двумя опорами с равновесным натяжением Т. Погонная масса струны р, так что вся масса струны равна M=pL. С помощью удара небольшому сегменту а в центре струны сообщается поперечная скорость Uq, и в струне возбуждаются колебания. Вычислите амплитуду трех первых гармоник. [c.102]

Предположим, что ыы имеем в упругой струне две бегущие волны [c.208]

Если в дисперсионном уравнении между шик зависимость линейная, т. е. справедливо (4.30), то говорят, что в данном случае среда без дисперсии. В этом случае фазовая скорость, определяемая как ш/к, будет постоянной и не зависящей от частоты (рис. 4.12 а). В частности, при ка 1 цепочка атомов-шариков в одномерной решетке ведет себя как упругая струна, описываемая волновым уравнением. В этом случае речь идет о распространении упругих волн в сплошной среде со скоростью V, равной скорости звука (отсюда название акустическая ветвь для нижней кривой рис. 4.5). Из уравнения (4.29) при и), немного больших Шо, следует, что дисперсионная кривая имеет вид параболы [c.72]

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией, в частности в цепочке маятников с собственными частотами расположенных на расстояниях а С А (дисперсионная кривая — сплошная кривая на рис. 4.12 6). Мы уже говорили, что при о о —О дисперсия исчезает длина нитей маятников так велика, что у них нет собственного периода колебаний, цепочка превращается в данном случае в упругую струну. Дисперсия исчезла, когда исчез собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый маятник имеет собственный период Т = 27г/ о среда из маятников не будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической частоте все маятники будут колебаться синфазно волн нет, существуют только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (4.21) и (4.23), в которых соотношение между а и Л может быть любым, то нетрудно видеть, что дисперсия в системе сохраняется даже при Шо 0. Действительно, в этом случае мы приходим к цепочке из шариков, связанных пружинками. В этой среде дисперсия существенна, пока а не мало по сравнению с Л. Таким образом, в решетке из шариков дисперсия определяется собственным пространственным масштабом — периодом решетки . С этим же связана дисперсия в решетке из равноудаленных частиц разной массы (см. (4.16)). Что касается цепочки из связанных маятников, когда Шо ф О и расстояние а сравнимо с Л, то дисперсия определяется и временным, и пространственным масштабами. Аналогично характеризуется дисперсия и для цепочки из магнитных стрелок, где наряду с периодом а фигурирует частота шн, связанная с существованием внешнего магнитного поля (см. (4.26)). Таким образом, можно сказать, что существование дисперсии в среде связано с наличием в ней собственных, независимых от параметров волны пространственных или временных масштабов. [c.73]

Пример 4. Гладкая тонкая сферическая оболочка массой М и радиусом а удерживается иа гладкой наклонной плоскости при помощи упругой струны, которая прикреплена к сфере и шпильке на том же самом расстоянии от плоскости, что и центр сферы. Точка массой т покоится на внутренней поверхности сферы. В положении равновесия струна параллельна плоскости. Найти период колебаний системы, когда ей сообщается небольшое отклонение в вертикальной плоскости доказать, что дуга, описываемая точкой, и перемещение центра сферы, отсчитываемые от их положений равновесия, равны, если Мт- -т соз а) gl = Еа (I соз а), где Е — коэффициент упругости струны, I — ее длина в нерастянутом состоянии на — угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости. [c.404]

Упругая струна, весом которой можно пренебречь и длина которой в ненапряженном состоянии равна I, закреплена своими концами в двух точках, расположенных на расстоянии где V > I. Составить уравнение движения струны, если ей сообщается такое возмущение, что каждая частица движется в направлении самой струны. [c.467]

С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны многие физические явления в твердых телах — теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение, электропроводность и др. Теория коле баннй атомов трехмерного кристалла крайне сложна. Поэтому мы сначала рассмотрим распространение упругих волн в однородной упругой струне и в кристаллах без учета их дискретной структуры. Затем рассмотрим колебание атомов в одно-ме13Ной решетке. После этого полученные результаты обобщим для случая трехмерной кристаллической решетки. [c.141]

Таким образом, отличие дискретной цепочки от непрерывной струны заключается в отсутствии пропорциональности между частотой (О и волновым числом к. Это связано с дисперсией волн. Короткие волны, которым соответствует более высокая частота колебаний частиц, вследствие инерции масс частиц распространяются медленнее, чем длинные волны. Наличие дисперсии волн проявляется в отклонении кривой ш = со( ) от линейной зависимости (см. рис. 5.5), справедливой для упругой струны. Цепочка из одинаковых атомо в ведет себя в отношении распространения [c.147]

Скорость распространения акустической волны вдоль дискретной цепсгчки в отличие от скорости распространения волны вдоль упругой струны [см. формулу (5.6)] зависит от длины волны [c.148]

Мы показали, что массосодержание поперечной волны на гибкой нерастяжимой нити всегда положительно (Ат > 0), поэтому волны здесь переносят массу вперед, т. е. по ходу своего движения. Покажем, что массосодержание упомянутой классической бегущей поперечной волны на упругой струпе, описываемое урарнением (5.21), равно нулю н поэтому эта волна не переносит массу. В гоотиетствггп с онред,слепнем поперечная волна на упругой струне образуется путем вертикального смещения [c.85]

Можно сказать, что волна I па упругой струне (рис. 5.10, а) при своем образованнн не захватывает массу с соседних участков, как это делает BOj[na па перастя ки-мой нити, а образуется лишь из той массы, которая есть на участке /.. Эпюра линейной плотности такой волны представляет собой горизонтальную прямую (рнс. 5.10, 6). Другими словами, здесь отсутствует волна линейной плотности. [c.86]

Гарбер и Гранато [75] вычислили рассеяние в модели упругой струны для дислокаций, рассматривае- [c.117]

Исследования на сверхпроводниках показали, что дислокации, на которых рассеиваются фононы в металлах, не обязательно являются сидячими. Теплопроводность сверхпроводника при достаточно низкой температуре пёрехода в основном обусловлена фононами (см. следующий параграф). Андерсон и др. [7, 178, 179] исследовали влияние дислокаций на теплопроводность ниобия, алюминия, свинца и тантала в сверхпроводящем состоянии при температурах до 0,04 К. Во всех случаях рассеяние фононов оказалось намного большим (до раз), чем оно могло бы быть на сидячих дислокациях они объяснили это увеличение резонансным рассеянием на колеблющихся дислокациях. Для свинца и тантала средняя длина свободного пробега фононов при рассеянии на дислокациях имеет минимум, который смещается по температуре при изменении напряжения, в то время как для алюминия и ниобия этого сдвига не происходит. Отсюда следовало, что в первых двух металлах колеблющиеся дислокации можно описать с помощью модели упругой струны [75] для двух других металлов лучшее описание получается, если считать, что дислокация колеблется в потенциале Пайерлса. [c.245]

Частоты 2Vl, Зv и т. д. называются второй, третьей и т. д, гармониками основной частоты VI. Утверждение, что частоты Vз и т. д. являются гармониками частоты VI, соответствующей первой моде, следует из нашего предположения о совершенно однородной и упругой струне. Частоты мод большинства реальных физических систем не образуют такой гармонической последовательности. Например, для струны с неоднородной плотностью частоты мод не являются гармониками основной частоты и могут принимать такие значения, как, например, V2=2,78Vl, Vз=4,62Vl и т. д. У струны пианино или скрипки частоты мод образуют лишь приближенно гармоническую последовательность. Причина в том, что струны не абсолютно упруги. (В задаче 2.7 рассмотрено влияние неоднородной плотности струны на гармонические отношения частот.) [c.65]

Недиспергирующие и диспергируюш ие волны ). Волны, удовлетворяющие простому дисперсионному соотношению o/ = onst, называют недиспергирующими волнами. Если отношение а>1к зависит от длины волны (а значит, и от частоты), волны называют диспергирующими. Обычно можно построить график зависимости со от к. В случае упругой струны этот график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат со=й=0 и имеющую наклон (То/ро) (рис. 2.4). [c.67]

Наиболее интересный результат, который мы получим в этом пункте, заключается в том, что закон дисперсии, выведенный для непрерывной струны со равно постоянной, умноженной на к,— обычно не выполняется. Этот закон, связывающий частоту и длину волны, показывает, что частота удваивается, когда длина волны уменьшается в два раза. Он является приближением, справедливым в предельном случае непрерывной упругой струны, и перестает быть верным для реальной струны. Это приводит к интересному физическому явлению, называемому дисперсией. Среда, которая удовлетворяет простому закону дисперсии, выведенному выше (со=соп51-й), называется средой без дисперсии (или недиспергирующей средой) для соответствующих волн. Если закон дисперсии имеет другой вид, среда называется средой, обладающей дисперсией (или диспергирующей средой). Рассмотрим пример. [c.79]

Дисперсионное соотношение для струны рояля. Мы нашли, что моды реальной струны не удовлетворяют дисперсионному соотношению (75). Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля, например обертоны С256, 0384 и С512 основного тона С128, не будут выдерживаться точно. Действительно, это так. Из уравнения (74) или из графика рис. 2.13 видно, что возрастание волнового числа й вызывает не прямо пропорциональные, а несколько меньшие увеличения частоты. Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля будут чуть-чуть ниже предсказываемых теорией для непрерывной струны частота второй гармоники будет Уа< 256, третьей Уз< 384 и т. д. На самом деле это не так Обертоны струны рояля не будут ниже, они будут выше (т. е. будут диезными) обертонов, следуюш,их из уравнения (75). Объяснение в том, что ни модель совершенно непрерывной и совершенно упругой струны, ни модель струны с грузами не дают правильного описания колебаний струны рояля. В частности, модель струны с грузами хуже модели непрерывной струны, так как она дает поправку, знак которой неверен. [c.84]

Начнем с диатонического строя. В этом строе за единицу частоты v=l принята частота в 256 гц. Гармоники этой исходной ноты равны v=2, 3, 4 и т. д., а субгармоники равны /а, /з> /4 ИТ. д. Нота С средней октавы рояля ) соответствует С256 (если рояль так настроен) и обозначается С4. (Индекс означает октаву. Он возрастает на единицу при переходе к следующей, более высокой, октаве.) Предположим, что для струн рояля точно выполняется дисперсионный закон непрерывной идеально упругой струны . Тогда моды данной струны будут представлять собой гармоническую последовательность 1, 2v , и т. д. [c.95]

Упругой струне, описанной в п. 612, каким-либо образом ссобш,ено незначительное возмущение. Составьте уравнения движения. [c.471]

Упругая струна, длина которой в ненатянутом состоянии равна I, покоится на абсолютно гладком столс. Ее концы закреплены в двух точках А, В, расстояние между которыми равно где / > /. Конец В внезапно освобождается найтн движение. [c.476]

Свободные колебания. Концы А, В упругой струны закреплены в двух точках, отстоящих одна от другой на расстояние I. Струна совершает поперечные колебания. Необходимо найти тоны, которые могут звучать (см. п. 613а). [c.479]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...