Нелинейное уравнение для Н-функции

Для пологой оболочки при конечных прогибах справедливы соотношения (9.13), (9.14), которые определяют деформации е. , ej, 7 через усилия N , Ny, S, а изгибающие моменты М , Му — через кривизны Xjr, Яу и крутящий момент Н — через кручение х. Подставляя указанные зависимости в уравнения (9.25) и вводя функцию напряжений Ф, получим в результате систему двух нелинейных уравнений относительно неизвестных функций Ф, w [c.282]

Уравнения для Н о) и Т(о) нелинейны, остальные — линейны. Производные функций по I при l = h определяются из (4.7) по известным значениям функций и их производных по й в точке li=h, вычисленных с помощью рядов (4.12). [c.103]

Преобразованием Лапласа от резольвентной функции является функция Амбарцумяна Н(р) — ip l/p). Нелинейное уравнение для нее уже было приведено, а линейное имеет вид (т — любое комплексное число) [c.126]

Наконец, 3. Н. Добровольской удалось (1965) с помощью функции Вагнера свести задачу о равномерном погружении клина к нелинейному сингулярному интегральному уравнению для вещественной функции. Оказалось, что это уравнение может быть численно проинтегрировано методом последовательных итераций, которые сходятся [c.32]

Путем конформных преобразований 3. Н. Добровольской решение этой задачи удалось свести к отысканию решения нелинейного сингулярного интегрального уравнения для вещественной функции. Численное решение этого уравнения приводится в [49, 167]. [c.99]

Наибольшей универсальностью обладает метод конечных разностей (сеток) [Л. 54], пригодный для решения как линейных, так н нелинейных уравнений в частных производных с различным числом независимых координат. Метод сеток основан на замене производных по всем направлениям конечными разностями, подсчитываемыми по значениям искомых функций в узлах многомерной координатной сетки, покрывающей всю область решения. Шаг изменения координат должен быть приспособлен к границам области. Аппроксимируются соответствующими разностными операторами и граничные условия. В результате система уравнений в частных про-82 [c.82]

Итерационный метод уточнения решения уравнений нелинейных колебаний. Для уточнения расчета резонансных режимов, а также нерезонансных режимов от нескольких гармоник момента двигателя может быть применен метод последовательных приближений Ньютона—Канторовича [15]. Для расчетов силовых передач использование этого метода первого порядка наряду с записью уравнений движения в интегральной форме можно признать оптимальным по следующим причинам достигается максимально компактная запись нелинейных уравнений, число которых равно числу нелинейных соединений сходимость метода может быть достигнута при любых параметрах системы за счет выбора начального приближения. Метод Ньютоне— Канторовича обладает максимальной скоростью сходимости для кусочно-линейных функций, какими н являются типичные упругие характеристики силовых передач. [c.342]

В главе VI построена нелинейная теория оболочек, составленных из связанных лишь па краях слоев, не спаянных между собой, а проскальзывающих свободно или с трением н односторонне взаимодействующих по нормали. Особенность теории заключается в том, что число искомых функций в ней не пропорционально числу слоев, более того, приемлемую точность решений часто можно получить при их количестве, существенно меньшем произведения чисел слоев и компонент вектор-функции в теории слоя. Построены канонические системы обыкновенных дифференциальных уравнении для случаев, когда поведение слоев подчинено гипотезам Кирхгофа— Лява и Тимошенко, а также вариационное уравнение технической теории слоистых оболочек этого класса. [c.4]

В случае вынужденных колебаний нелинейного резонатора под действием распределенной внешней силы уравнения для прямой и обратной волн сводятся к неоднородным уравнениям Бюргерса, решения которых выражаются через функции Матье [191. Это решение дает возможность проследить, как устанавливаются вы-н> жденные колебания в резонаторе, какова стационарная форма этих колебаний. Потери энергии, возникающие при образовании гармоник из-за нелинейности, компенсируются энергией, отбираемой от источника. Это приводит к стабилизации профиля стоячих волн (рис. 4.5, а). При этом добротность при вынужденных колебаниях, так же как и в случае собственных колебаний, непостоянна [c.98]

Функция определяется формулами (5.3.2) и (5.3.3), а функция Н — формулой (5.3.16). Существенная нелинейность уравнения (8.6.2) не позволяет получить аналитическое решение в общей постановке. Однако для некоторых частных случаев решение сводится к простым квадратурам. [c.211]

Для описания физически и геометрически нелинейного поведения оболочки используем уравнения Рейсснера [7] с дополнительными членами в правых частях, моделирующими в общем случае эффект пластичности, ползучести, неизотермичности нагружения [2, 3, 8]. Эти уравнения могут быть записаны через функцию напряжений ц = ГдН Н — радиальная составляющая усилий, приложенных к оболочке) и изменение угла наклона меридиана Р (рис. 8.1) в виде [c.152]

Вторая причина связана с изменением геометрии (геометрическая нелинейность). При расчете с учетом линейности всегда предполагается, что деформации элемента или конструкции относительно малы . Другими словами, считается справедливым представление всех уравнений равновесия посредством длин н углов недеформиро-ванной конструкции, тогда как эти уравнения должны быть справедливы для деформированной конструкции. Уравнения равновесия будут нелинейными, если в них учитываются деформации конструкции как функции нагрузок. Нелинейное поведение конструкции из-за изменения геометрии, как правило, вызывается значительным искажением ее формы. Однако некоторые элементы конструкций могут оказаться нелинейными, даже если они изготовлены из линейно-упругого материала. Например, [c.63]

С магнитными полями дело обстоит просто, если может быть использован скалярный магнитный потенциал. Тогда можно приписать электродам потенциалы в соответствии с (3.232) и решать эквивалентную электростатическую задачу, не задумываясь о физическом смысле магнитных зарядов . Как обычно, ситуация усложняется при наличии магнитных материалов, однако в этом направлении также наблюдается некоторый прогресс [110, 138]. Если отделить вклад в магнитное поле Н, обусловленный токами, от вклада индуцированной намагниченности [139], то скалярный магнитный потенциал останется применимым для последнего, и используя (1.22) и (3.227), можно написать интегральное выражение для потенциала, как функции вектора намагниченности М. Поэтому, вычислив М, можно найти скалярный потенциал, который в свою очередь определяет вклад намагниченности в вектор магнитного поля Н. Вклад токов легко может быть вычислен по закону Био — Савара (3.249). Таким образом, мы найдем суммарное поле, вычисляя в основном вектор намагниченности и скалярный потенциал. В этом методе, являющемся комбинацией методов конечных элементов и плотности заряда (интегральный метод конечных элементов), только катушка и магнитная цепь делятся на конечные элементы [124], а потенциал вычисляется только в интересующей области. Поскольку вся информация концентрируется в относительно малом объеме, для сильно неоднородных магнитных материалов матрица является очень плотной, что служит источником локализованных ошибок. Другая сложность состоит в том, что в общем случае скалярный потенциал определяется системой нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, численное решение которой весьма затруднено. [c.169]

Отметим, что формулы (2.92) совпадают с соответствующими формулами для осесимметричного случая без закрутки и позволяют определить функции Гоо(5), Doo(i) и /7io(s) ПО конечным соотношениям или путем дифференцирования известных функций Uo(s) н po(s). Важным свойством уравнений в частных производных (2.93) является линейность, что позволяет применить для решения метод разделения переменных Фурье, с помощью которого, однако, не удается построить решение основной нелинейной системы урав- [c.77]

Для выполнения отдельных этапов синтеза АСР разработаны алгоритмы и программы расчетов на ЭВМ. В [29] приведены программы для расчета на ЭВМ Наири-2 КЧХ замкнутых н разомкнутых автоматических систем регулирования, границы области заданного запаса устойчивости для АСР с ПИ-регулятором, переходных характеристик объектов и замкнутых АСР, статистических характеристик случайных возмущений. Полный аглоритмический синтез АСР может быть выполнен с использованием пакета прикладных программ (ППП), реализованного на ЭВМ ЕС-1020 (ДОС) [37]. Основные модули ППП позволяют решать следующие задачи расчет КЧХ элементов структурной схемы АСР, решение нелинейных уравнений типа F(a )=0, поиск максимума унимодальных функций и глобального экстремума функции нескольких переменных при огранпчении типа неравенства, расчет переходных процессов и построение их графиков. [c.457]

Линеаризованные физически нелинейные задачи для гладких и ребристых оболочек. Учет приобретенной анизотропии на примере линеарнзапни физически нелинейных задач теории малых упруго-пластических деформаций при использовании метода переменных параметров упругости рассмотрен в [П. 3]. В этом случае связь между компонентами усилий и деформаций для гладких и ребристых оболочек можно представить в форме (I 20) гл. 4 Д.ЧЯ неоднородных анизотропных оболочек. В этих уравнениях коэффициенты упругости являются функциями напряженно-деформированного состояния. Прн решении данной нелинейной задачи методом переменных параметров упругости физические соотношения на каждом шаге линеаризации сохраняют форму (1.20) с постоянными коэффициентами упругости. Часть коэффициентов в эти.х соотношениях обращается в нуль, а вид других зависит от интегральных физических характеристик сечения (например, [П. 6]). Уравнения равновесия и геометрические завнснмостн, естественно, остаются одинаковыми для теории малых упруго-пластических деформаций н линейной теории неоднородных анизотропных оболочек. [c.219]

Уравнения (32), (33) позволяют при заданных исходных данных ц н найти параметры оптимальной оболочки Хопт и donr-Одновременно задача оптимизации с целью контроля и уточнения решалась также методом нелинейного программирования с помощью ЭВМ. Для этого, определив из выражения (32) X и подставив его в уравнение (31), получим функцию одной переменной Ко (d). Задача оптимизации этой функции решалась методом локализации экстремума [6]. Результаты вычислений A Gmin приведены на рис. 12, а, donr — в табл. 5. Эти данные и [c.170]

Одно из мпогочислеппых приложений метода усреднения, которое получило в математической литературе название метод гармонической линеаризации или метод гармонического баланса , было предложено П. Н. Боголюбовым (см. [29, 58]). Суть его состоит в том, что нелинейные силы, участвуюнще в колебательных системах, заменяются специальным образом построенными линейными функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравнений для приближенного ана 1иза нелинейных систем. [c.62]

Теорема V. Суи ествует т > О, такое, что граничная задача для нелинейного уравнения Больцмана имеет единственное решение f = fo Н ), при всех h, удовлетворяю-u ux условию III/ g < т. Тогда, если к — решение линеаризованного уравнения Больцмана с той же функцией Н, то при h[ Ills -> О имеем [c.448]

Прежде всего рассмотрена локальная задача о контакте между недеформируе-мой четвертью плоскости и полуплоскостью, находящейся в условиях ползучести. Она эквивалентна известной задаче Черепанова Райса Хатчинсона о трещине. Отсюда получено напряженно-деформированное состояние вблизи угла как функция одного свободного параметра. Внутреннее решение для тонкого слоя получено асимптотическим анализом, для полупространства — методом Н.Х.Арутюняна, оба решения с)п ь функции еще одного свободного параметра. Размер погранслоя может быть рассмотрен как третий свободный параметр. Интегральное условие статики системы и требование непрерывности основных характеристик контактной задачи приводят к нелинейному алгебраическому уравнению для численного определения свободных постоянных. В частных сл) аях его решение может быть дано явными формулами. Помимо названных задач решена периодическая задача, моделирующая изготовление штамповкой плиты с ребрами. Более того, полностью изучены как отдельные случаи локальное решение вблизи вершины угла при ползучести (произвольный угол, различные граничные условия), асимптотика осесимметричной задачи вблизи конической точки (произвольный зп ол, различные граничные условия), а также найдены внутренние асимптотики плоской задачи для тонкого слоя из материалов Надаи и Эмбера. [c.539]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Уравнение (49,18) имеет вид уравнения диффузии в пространстве скоростей, причем играет роль тензора коэффициентов диффузии (индекс (н) напоминает о том, что эта диффузия связана с эффектами нелинейности). Эти коэффициенты как функции скорости электронов отличны от нуля в интервале Ду вблизи у , связанном с разбросом Дк согласно (49,3). В этой области скоростей и будет происходить диффузия и соответственно возникает искажение функции распределения (остающейся максвелловской для всей остальной массы электронов). Характер этого искажения очевиден из общих свойств всяких диффузионных процессов диффузия приводит к сглаживанию, т. е. в данном случае—к возникновению в хвосте функции (р) (при и Уо Ог(,) плато ширины Ду, как это изображено схематически на рис. 13. Отметим, что при таком характере искажения изменяется главным образом производная dfjdp, а само значение fo остается близким к максвелловскому. [c.248]

Заметим, что при вычислении ядер релаксации. Н ( , т) по заданным ядрам ползучести К I, т) встречаются значительные трудности. В частности, экспериментальное определение функции К ( , т) проще, чем функции К 1, т), так как осуществить испытание на ползучесть легче, чем на релаксацию. Поэтому уравнение состояния (5.11) для указанной выше модели нелинейно-упругоползучего тела имеет самостоятельное значение. [c.300]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

При обработке нежестких деталей эквивалентные упругие деформации технологической системы определяются, в основном, податливостью. тетали и в установившихся режимах оп [-сываются для различных технологических систем уравнениями прогиба [1]. В соответствии с указанными уравнениями упругие деформации в радиальном направлеиин gy без ч чета замкнутости объекта управления могут рассматриваться как детерминированная нелинейная функция пара-метров летали, составляющих усилия резаиия, координаты х приложения усилия по длине детали н одного или нескольких регулиру-ю г1их воздействий [c.35]

Рассматриваемая в данной главе стохастическая краевая задача теории упругости является основой статистической механики композитов со случайной структурой. Начало систематическому изучению этой задачи положено работой И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга [160] применительно к поликристаллам, в дальнейшем многочисленные результаты были обобщены в монографиях [62, 130, 162, 172, 247, 296, 320 и др.]. При единой практически для всех работ в этом направлении постановке задачи, связанной с представлением упругих модулей микронеоднородной среды как случайных статистически однородных функций координат и выбором граничных условий в виде, обеспечивающим однородность макроскопических деформаций, а также общности подхода к решению с использованием метода функции 1 ина уравнений теории упругости в перемещениях для неограниченной изотропной или анизотропной среды существуют различия в получаемых результатах для эффективных свойств композитов и, в большей мере, для оценки полей напряжений и деформаций в компонентах композитов. Это обусловлено статистической нелинейностью исследуемой задачи и построением приближенных решений, которые неодинаково адекватны физической модели композита, в частности, его структуре. [c.39]

Исследуя случай одноосного нагружения, легко заметить, что соотношение между С и Н имеет вид С = 2Я/3. Уравнения (12.9) и (12.16) суть зависимости напряжений от деформащ5Й, которые йужны нам для проведения нелинейного анализа напряженай для материала Мизеса. Сходные зависимости напряжений от деформаций могут быть выведены [9] для любого материала, чтобы описать его поведение при монотонных и циклических нагружениях, если на основе опытных данных сделан надлежащий выбор функций текучести F и параметров упрочнения. Интересная альтернативная модель кинематического упрочнения была предложена Мрузом [9j. Уравнения (12.9) и (12.16) можно проинтегрировать вдоль заданной траектории нагружения, что позволяет получить текущие состояния как напряжений, так и деформаций. [c.337]

Объединяя уравнения (87—88г) с уравнениями (83) и (84), получаем систему трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка для трех зависимых переменных М (X), б (X) и Н (X) или а (X). Величины Н, /, Р, К, Т п Ъ вычисляются как функции от а (Х) и с помощью профилей скорости и энтальпии Коэна — Решетко [47], включая профили, нижняя часть которых аналогична профилям Стюартсона для отрывного и присоединенного течений. Применяя метод, аналогичный методу Твейтса [51], для уравнения количества движения и для аппроксимации кривых, представим эти величины как функции только одного параметра а. Например, для адиабатического течения 5 = 0). [c.280]

В приложениях (в частности, при исследовании устойчивости в целом нелинейных систем) иногда удается построить определенно-положительную функцию F, производная которой V является лишь отрицательной знакопостоянной функцией, но не определенно-отрицательной в то же-время возникают серьезные трудности при попытке построить функцию V с определенно-отрицательной производной. В подобных случаях весьма полезна следующая теорема, установленная сначала Е. А. Барбашиным и Н. Н. Красовским (1952), а также А. П. Тузовым (1955), для уравнений (1.1), правые части Xs которых не зависят от t, а затем распространенная Н. Н. Красовским (1959) на периодические системы. [c.24]

В пятидесятых годах решение прямой задачи начинает внедряться в практику расчета и проектирования турбомашин и получает многочисленные примеры применения. Решение задачи относительно составляющих скоростей производится обычно по методу прямых и сводится к последовательности краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в естественной сетке с использованием кривизн (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962) или в нолуфиксированной и в фиксированной сетках (Л. А. Симонов, 1950, 1957 Я. А. Сироткин, 1959—1963 Н. И. Дураков и О. И. Новикова, 1963 М. И. Жуковский, 1967). Решение задачи относительно функции тока получается методом сеток (Г. И. Майкапар, 1958 Я. А. Сироткин, 1964) или вариационным методом Галеркина (П. А. Романенко, 1959). Во всех случаях из-за нелинейности задачи применяются последовательные приближения, причем их сходимость проверяется или достигается (путем выбора шагов сетки или весовых коэффициентов) с помощью численного эксперимента. Расчеты в общей постановке задачи оказываются весьма трудоемкими и ориентируются в основном на применение современных ЭЦВМ. [c.148]

Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совместности деформации впервые вывел А, Л. Гольденвейзер (1939) А, И. Лурье (1940) и А. Л. Гольденвейзер (1940) ввели в теорию оболочек функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А, Н. Кильчевский (1940) указал способы построения теории оболочек и решения ее задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари (1939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного очертания. [c.229]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

В чисто абсорбционном резонансном случае Д = 0 = о стационарный режим описывается формулой (9.49). Нелинейный член 2Сх/(1 + х ) возникает из-за наличия поля реакции, т. е. из-за атомных кооперативных эффектов, мерой которых является параметр С При очень больших х уравнение (9.49) переходит в решение для пустого резонатора х = у т. е. Ет Е,). Атомная система насыщается настолько, что среда просветляется . В этой ситуации каждый атом взаимодействует с падающим полем так, как если бы других атомов не было это — некооперативное поведение, и квантовостатистическое рассмотрение показывает, что атом-атомные корреляции здесь пренебрежимо малы. При малых же х уравнение (9 49) сводится к соотношению г/ = (2С + 1) х. Линейность в этом соотношении связана с тем простым обстоятельством, что при малых внешних полях отклик системы линеен. В этой ситуации атомная система не насыщается при больших С кооперативное поведение атомов доминирует, и мы имеем сильную атом-атомную корреляцию. Кривые у (л ), которые получаются при различных С, аналогичны кривым Ван-дер-Ваальса для фазового перехода жидкость — пар. причем величины х, у н С играют роль давления, объема и температуры соответственно. При С <4 величина у является монотонной функцией переменной л , так что бистабильность не возникает (рис. 9.8). Однако для части кривой дифференциальное усиление йхЫу оказывается большим единицы, так что в этой ситуации возможен транзисторный режим. Действительно, если интенсивность падающего света адиабатически модулируется и среднее величины / таково, что dIт/dI = х1у)йх/ау>1, то в прошедшем излучении модуляция будет усилена. [c.243]

В случае знакоопределенности Н невозмущенное движение автономной гамильтоновой системы будет устойчивым и в строгой нелинейной постановке задачи. Поэтому для полного решения вопроса об устойчивости невозмущенного движения в этом случае достаточно рассмотрения линейной системы (1.1) или квадратичной части функции Гамильтона. Но уравнение (1.3) может иметь чисто мнимые корни и тогда, когда функция Гамильтона не будет знакоопределенной. Такой будет, например, следующая система дифференциальных уравнений первого приближения [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...