Тензорная символика

Правила суммирования. Соотношения (14), (15) и (16) могут быть записаны в очень краткой и компактной форме, если использовать тензорную символику записи, кратко изложенную в Математическом дополнении 2 к гл. 2. Повторим правила записи [c.253]

При выводе общих уравнений и формул теории оболочек использована векторная символика. Тензорной записи уравнений теории оболочек посвящена последняя, глава части I. Автор не пытался при помощи тензорной символики избежать необходимости выписывать громоздкие соотношения теории оболочек, так как в последующих разделах книги обсуждаются методы интегрирования уравнений теории оболочек, а для этого необходимо исходить из их развернутой записи. [c.11]

Эти формулы с помощью тензорной символики записываются так [c.85]

Поскольку наша задача заключается в приближенном исследовании пологих оболочек, будем пользоваться простейшим вариантом теории оболочки и, в частности, будем считать законным комплексное уравнение (6.43.32), выведенное без каких бы то ни было отбрасываний, выходящих за рамки точности такой теории. Это уравнение можно существенно упростить, если считать, как мы условились выше, что на срединной поверхности пологой оболочки установлена почти плоская система координат. Тогда будет обеспечено выполнение сильных неравенств (10.21.8), а это, как легко убедиться, означает, что в уравнении (6.43.32) члены, содержащие гауссову кривизну К, играют второстепенную роль. Отбросив эти члены и перейдя от тензорной символики к простой по формулам главы 6, получим [c.141]

Все выкладки проводятся в общепринятых математических обозначениях (или, точнее говоря, в скалярной форме, так как большая часть встречающихся чисел представляет собой некоторые физические характеристики). Векторная и тензорная символика при записи математических соотношений дает прекрасную возможность стенографировать, т. е. выписывать в лаконичной форме определенные математические операции, но мнение автора по этому поводу таково, что все это, за некоторым исключением, не является внутренней потребностью и полезным для инженеров, поскольку свободное владение этими обозначениями может оказаться необходимым для чтения литературы, где этот язык используется, однако здесь все дело, именно только в языке — так же, как изучение немецкого или русского языка необходимо для чтения соответствующей литературы. [c.12]

Оболочка — трехмерное тело, два размера которого существенно больше третьего (толщины). Данное свойство является определяющим при выводе основных соотношений теории оболочек из общих соотношений трехмерного деформируемого тела. Деформирование оболочки вполне можно описать, зная поведение ее срединной поверхности. В монографиях по теории оболочек, как правило, излагаются основные положения теории поверхностей, на которых основывается теория деформирования оболочек. В целях сокращения записи используем в некоторых случаях тензорную символику. Выписанные соотношения приводятся в ряде работ по теории оболочек. (Библиография дана, например, в работе 111]). [c.7]

Соотношения (2) и (5) можно записать в более компактном В 1де, если воспользоваться тензорной символикой. В самом [c.435]

Для общности предполагается, что среда анизотропна. Ее оптические свойства характеризуются тензорами г,1, явл.чю-щимися функциями частоты со. В соответствии с общепринятой тензорной символикой по дважды встречающимся координатным индексам подразумевается суммирование. Как выяснено выше, если нулевой член ряда (96.7) принять за единицу, то последующие члены будут порядка а/к, а/к) и т. д. [c.586]

Начнем с рассмотрения непрерывного линейного материального элемента, который в начальном состоянии имеет длину ds, и определим связь его длины ds в текущем состоянии л ds. Для этого введем неподвижные прямоугольные декартовы оси координат и обозначим начальные координаты любой частицы через аи а текущие через Хи При этом используется декартова тензорная символика. Пусть U— направляющие косинусы элемента в начальном состоянии, и пусть координаты его концов суть ui и ai- - dai в начальном состоянии, Xi и Xi- -dxi в текущем состоянии. Тогда (ds) = dui dui, (ds )2 = = dxi dXi и dUi = ti ds. Ho для фиксированного момента времени Xi = Xi (aj), откуда [c.12]

Пусть — контравариантные компоненты тензора напряжен . Тогда, пользуясь тензорной. символикой, уравнение равновесия сплошной среды и соотношения упругости (закон Гука) можно записать в виде [c.16]

При использовании тензорной символики декартовы координаты у, г обозначают через аТх, х , или в общем виде л ,-, где индекс I принимает значения 1, 2, 3. [c.10]

При использовании тензорной символики (см. 1) общий компонент тензора деформации имеет вид ъц ( , / = 1, 2, 3), причем [c.26]

Следующий концентр связан с теорией упругости. В гл. 7 сообщаются элементы тензорного анализа в виде сводки основных фактов и определений. Автору представляется, что для практических целей достаточно (и вполне строго) вести изложение общих теорем в прямоугольной декартовой системе координат. В 7.8, где идет речь о криволинейных координатах, говорится о задании тензора в произвольном базисе, но эта теория дальнейшего развития не находит. Что касается тензорного языка, который применен в гл. 7 и последующих главах, он совершенно элементарен. Для университетов он привычен и упрощен по сравнению с тем, что дается, скажем, в курсе дифференциальной геометрии. Для студента втуза привыкнуть к этому языку очень нетрудно. Автор вспоминает, как в начале тридцатых годов среди преподавателей теоретической механики шли ожесточенные споры о том, следует ли излагать механику векторно или же в координатах. Любопытно отметить, что акад. А. Н. Крылов был яростным и убежденным противником векторной символики, которая вводилась Московской школой. Автор получил воспитание в этой школе, поэтому он особенно рад торжеству векторного изложения теоретической механики и надеется, что в учебной литературе но механике твердого тела тензорный язык будет применяться широко и на всех уровнях. [c.13]

Уравнения и формулы общей теории оболочек в предыдущих главах были выведены для случая, когда срединная поверхность оболочки отнесена, к линиям кривизны. Обобщение этих результатов для произвольной косоугольной системы координат можно получить, используя приемы и символику тензорного анализа. Приводимые ниже тензорные уравнения и формулы заимствованы в основном из [41 ]. Предлагались и другие варианты этих соотношений, которые можно найти, например, в изданных в СССР работах [77. 107] и в работах зарубежных авторов [165—168]. [c.79]

Методы векторного и тензорного исчислений играют важную роль в преподавании механики сплошных сред, электродинамики и некоторых других разделов теоретической и математической физики, непосредственно связанных с теорией поля. Объясняется это тем, что используемая в этих методах математическая символика полностью отражает и обобщает действительные связи между физическими величинами. За недостатком места нам приходится довольствоваться приведением в настоящем параграфе лишь краткой, преследующей чисто справочные цели сводки употребительных формул векторного и тензорного исчислений в прямоугольных декартовых и криволинейных координатах. Пользование в тексте ссылками на эти формулы (без вывода их) значительно облегчает изложение математической стороны курса и позволяет более выпукло показать физическую сущность его содержания. В сводке применена отличная от основного текста нумерация формул, оправдывающая себя при многократном использовании сводки. [c.14]

Для быстрого овладения тензорной записью нужно уяснить, что большая часть этой символики получается непосредственно из развернутой формы. Буквы t, ы, х, р и а, например, сохраняют свое обычное значение, а символы д, й п черточка ( ) выражают обычные операции. Принципиальное отличие от обыкновенных уравнений заключается в использовании индексов I и /, которые выполняют две основные функции во-первых, указывают, какой компонент векторного количества рассматривается, во-вторых, указывают, какова последовательность повторения операции. Повторение индекса означает, что соответствующее количество или количества должны суммироваться по всем возможным слагаемым. Например, уравнение неразрывности может быть записано в тензорной форме следующим образом [c.249]

Читатель, знакомый с тензорным анализом, заметит, что если рассматривать символ Ь как сокращенное обозначение совокупности контравариантных Ь или ковариантных bi компонент вектора в произвольной криволинейной системе координат, а S — как сокращенное обозначение совокупности компонент тензора, то приведенные выше определения инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат. Таким образом, введенную нами векторную символику можно в равной мере считать и сокращенным обозначением операций тензорного анализа. [c.9]

Символика величин. В книге для обозначения величин различного тензорного ранга используется следующая символика. Скалярные величины обозначены курсивом (с - скаляр), произвольные векторы [c.138]

Мы развили теорию электромагнитного поля, взаимодействующего с заряженными частицами, в четырехмерных тензорных обозначениях. Такая символика позволила получать и записывать результаты наиболее компактным образом. Из соображений наглядности, однако, полезно представить всю теорию и в более привычных терминах трехмерного векторного анализа. [c.219]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Коротко опишем основные этапы построения результирующей матрицы злемента. Чаще всего вместо функционале в форме (I.I) попользуется его разновидность, а именно тангенциальные усилия не считаются независимыми функциями и исключаются и, кроме того, с помощью интегрирования по частям и формулы Грина уменьиается порядок производных от прогиба W в поверхностном интеграле. Приведем основные выкладки в тензорной символике для пологих оболочен. [c.206]

В работе [188] приведены уравнения равновесия для безмо-ментных торсовых оболочек в напряжениях, записанные при помощи тензорной символики. Полученная система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений решается в квадратурах. [c.235]

Принятая в книге тензорная символика включает в себя как безындексную форму, так и индексную . Часто одно и то же соотношение записывается в безындексной форме и тут же (в скобках) дается его индексное толкование. (В первых двух приложениях приводятся основные сведения из тензорного исчисления.) [c.6]

Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совместности деформации впервые вывел А, Л. Гольденвейзер (1939) А, И. Лурье (1940) и А. Л. Гольденвейзер (1940) ввели в теорию оболочек функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А, Н. Кильчевский (1940) указал способы построения теории оболочек и решения ее задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари (1939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного очертания. [c.229]

Метод скользящих индексов наряду с символикой тензорного анализа весьма удобен для записи- математических формул, Он сокращает запись и облегчает уяснение физического сл)ысла. Независимые переменные обозначаются разными индексами, а не различными наименованиями. Например, декартовые координаты X, у, г обозначаются х,, х , Хз (xi = x Х2 = у Хз = 2). Для слагаемых суммы находится общий член суммы, из которого отдельные слагаемые [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...