Критический случай

Теорема 2 критический случай одного нулевого полюса). Предположим, что выполнены следующие требования [c.295]

Теорема 3 критический случай двух нулевых полюсов). Пусть выполнены следующие условия [c.295]

Критический случай. В случае, когда объединение гомоклинических траекторий цикла с мультипликатором 1 компактно и критично, при бифуркации соответствующего поля могут возникнуть странные аттракторы. [c.118]

Следуя тому же порядку изложения, что и в 8.9, рассмотрим различные видоизменения движения, связанные с изменением к от р — s до р s. Имеем четыре критических случая обозначим их (как в 9.8) через А, В, С VL D [c.173]

Движение в окрестности центра. Здесь мы рассмотрим критический случай. Выше было установлено, что в окрестности особых точек типа узла, седла и фокуса движение происходит, по существу, так же, как если бы оно описывалось соответствующим линейным приближением. Однако для особой точки типа центра это не имеет места. В этом случае линейное приближение дает устойчивость, в то время как точные уравнения могут привести либо к устойчивому, либо к асимптотически устойчивому, либо, наконец, к неустойчивому движению. [c.379]

Эта кривая еще раз пересекает ось х, слева или справа от начала координат в зависимости от величины Ь/а. Критический случай, когда пересечение происходит точно в начале координат, имеет место тогда, когда величина (а + Ь)/а удовлетворяет уравнению [c.383]

Критический случай. Теорема Пуанкаре — Ляпунова ничего не говорит нам о критическом случае, когда некоторые из имеют чисто мнимые значения. [c.428]

Если т = 2, то критический случай соответствует особой точке типа центра мы видели в 19.4, что хотя линейное приближение Fq дает устойчивость, точное поле F может дать как устойчивость, так и неустойчивость. Случай >> 2 отличается от случая т = 2 тем, что при наличии кратных чисто мнимых корней неустойчивость можно получить уже в линейном приближении ( 21.11). Даже в том случае, когда линейное приблин ение дает устойчивость, точное поле мон<ет дать как устойчивость, так и неустойчивость. Мы приведем пример каждой из этой возможностей в случае = 4. В первом из этих примеров рассматриваются малые колебания около положения, где потенциальная энергия V имеет минимум. Равновесие в этом случае, как известно, устойчиво (гл. IX). [c.428]

Последний критический случай представляет наибольший интерес, ибо он соответствует случаю, когда порождающая система имеет семейство Г-периодических решений. Специальное исследование приводит к следующему результату, также принадлежащему И. Г. Малкину [7, 38]. [c.54]

Задавая начальные данные при t = О для системы (2.1) (2.3) при Ra < Ra (до-критический случай), с помощью (3.4) можно, в частности, рассчитать процесс выхода на равновесный режим. [c.378]

Существует еще критический случай между двумя только что рассмотренными случаями, который будем иметь тогда, когда тело совершает как раз половину оборота, при этом в имеет асимптотические предельные зна- [c.219]

Следовательно, в сверхзвуковой области соседние окружности постоянной скорости всегда пересекаются, а в дозвуковой области, напротив, никогда не пересекаются. Критический случай имеет место тогда, когда две соседние окружности касаются друг друга. Тогда огибающая семейства (5) разделяет плоскость z на две области — одну, в которой соседние окруж- [c.583]

Критический случай имеет место тогда, когда в условии (10) вместо знака неравенства стоит знак равенства, т. е. при [c.584]

Корень Р может быть как положительным, так и отрицательным (рис. 170). Пусть для определенности при г=го координата г убывает. Тогда перед корнем надлежит взять знак минус, и 2 будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет значения а. Из интеграла площадей следует, что угол О изменяется лишь в одну сторону. йг/сИ может изменить знак лишь когда ф(2) обращается в нуль, т. е. при 2=а или г = р. Если в начальный момент с/2/с(/=0, то 2о является корнем уравнения ф(2)=0 и мы имеем критический случай. Дифференциальное уравнение для 2 [c.279]

В коллективной публикации [39] излагаются результаты исследований процесса контактного взаимодействия сопряженных цилиндров близких радиусов с учетом температурных деформаций (подшипниковый узел трения). Для определения температурных перемещений методом конечных элементов сначала решается задача теплопроводности, а затем задача термоупругости. Определение контактного давления с учетом найденных температурных деформаций производится численно по методу дискретных вихрей [10], а для определения границы области контакта строится итерационный процесс алгоритма секущих. Исследован критический случай заклинивания , когда в результате температурных деформаций в верхней точке подшипника возникает соприкосновение с валом и затем образуется новая зона контакта. [c.478]

Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальном) значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле Т = [Ы только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия. [c.96]

Проследим характер траекторий вектора К на рассматриваемом эллипсоиде. Начнем с критического случая К = 2ТВ. В этом случае траектория является плоской. Действительно, умножив интеграл энергии на В и вычтя его из интеграла кинетического момента, получим [c.86]

Возможен и критический случай, когда часть (или все) корней характеристического уравнения по модулю равны единице, а остальные по модулю меньше единицы. При этом сформулированное утверждение не применимо, и требуются иные критерии устойчивости. Один из важных частных случаев составляют консервативные системы с ударами (например, биллиарды) их можно описать гамильтоновыми дифференциальными уравнениям [15] или симплектическими отображениями. Это дает возможность использовать для анализа устойчивости результаты КАМ-теории [16, 32, 35, 34. [c.246]

Если ХОТЯ бы ОДИН корень характеристического уравнения (1.32) имеет действительную часть, равную нулю, а остальные корни имеют отрицательные действительные части, то имеем так называемый критический случай в этом случае устойчивость не может быть выяснена по первому приближению. В критическом случае требуется учитывать нелинейные члены Е/ в системе уравнений (1.31). [c.261]

Из (2.33) непосредственно видно, что при 1=0 характеристическое уравнение (2.33) приобретает один нулевой корень. Согласно предыдущему, при 1 = 0 имеет место критический случай. Исследование устойчивости требует учета нелинейных членов Р [c.279]

Интересно отметить, что точечное отображение, порождаемое фазовыми траекториями в окрестности состояния равновесия на поверхности разрыва имеет специфический вид, соответствующий критическому случаю обращения всех корней характеристического уравнения, в единицу. В связи с этим вопрос об устойчивости неподвижной точки такого отображения потребовал специального рассмотрения (Ю. И. Неймарк, 1958, [c.154]

Степенью успокоения р называется отношение коэффициента успокоения X при заданных условиях к коэффициенту успокоения Хкр = 2к 7, соответствующему критическому случаю движения, при котором п = (00, т. е. [c.394]

Гипотеза сопротивляемости сплавов образованию горячих трещин, именуемой в общем виде как технологическая прочность, может быть пояснена графиками на рис. 20.5 [8]. Температурный интервал хрупкости на этих графиках ограничивается пунктирными линиями. При пересечении кривой деформации е с кривой пластичности б образуется трещина, что соответствует исчерпанию пластичности сплава. Для случая, показанного на рис. 20.5, а, изменяется темп деформаций, а пластичность остается постоянной. Кривая темпа деформаций, обозначенная индексом 2, соответствует критическому случаю, когда в металле появляется трещина. При постоянном темпе деформаций и различной пластичности сплава запас технологической прочности больше у сплава с большей пластичностью (рис. 20.5 б). [c.552]

Остался нерассмотренным промежуточный — критический — случай, когда — = О, т. е. 01 = 0)2 = 0. Для его решения можем использовать примененный выше ход рассуждений, так как в этом случае уравнение а" = О будет иметь интеграл v= l- - tt, соответственно чему г" = после интегрирования приведет к выражению [c.77]

Пограничным критическим случаем, как видно, является равенство [c.103]

Тщательный анализ экспериментальных данных показывает, что закритические переходы очень распространены, но их часто причисляют к переходам иного типа. В большинстве случаев наблюдаемые скачки являются результатом неудачной экстраполяции экспериментальных данных или перехода в докритичес-кую область. Эти переходы встречаются во всех трех агрегатных состояниях. Например, в кристаллическом (а-Р-переход в кварце в смеси орто- и пара-дейтерия в ферромагнетиках и сегнето-электриках), в жидком состоянии — в растворах и жидких кристаллах, в газах—критический переход жидкость — газ. Очень интересный критический случай перехода в анизотропной среде представляет а-Р-переход в кварце. Он сопровождается резко выраженной критической опалесценцией и экстремумами нескольких КУ. Но самым интересным является возможность непосредственного наблюдения смешанного состояния обеих граничных фаз благодаря различию их кристаллических структур а- и Р-кварцы имеют различные показатели преломления, поэтому, освещая кварц в смешанном состоянии, можно визуально или [c.248]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Пример, для которого Hlf = 0,0001, vIk = 1, wUk = 20 (так называемый критический случай), изображен па рис. 4. [c.176]

Нестационарная теория винта, по существу совпадающая с теорией Лоуи для однолопастного винта, изложена в работе [J.65]. В работе [Т.47] рассмотрен предельный критический случай нулевого расстояния между вихревыми поверхностями (/г = 0). Таблицы функции Лоуи даны в работе [Р.63]. [c.466]

Остается, наконец, рассмотреть еще критический случай, kuiда С оказывается в точности равным минимуму волновой скорости, т. с. [c.583]

При этом различаются основной случай, когда все корни характеристического уравнения разомкнутой системы — бгуЯ =0 лежат в левой полуплоскости, простой критический случай, когда имеется один нулевой корень, а остальные лежат в левой полуплоскости, и общий критический случай, когда все корни этого уравнения расположены в левой замкнутой полуплоскости (из них произвольное число — на мнимой оси). [c.44]

Для случая пары чисто мнимых корней на двух примерах уравнении с так называемыми симметричными нелинейностями Л. А. Длугач (1965) применил интересный способ исследования устойчивости путем замены правых частей уравнений их наилучшими (по Чебышеву) линейными приближениями, причем критический случай перестает быть таковым. [c.59]

В одной из последних работ Г. В. Каменкова (1965) завершено исследование критического случая двух нулевых корней с двумя группами решений, начатое автором в 1934 г. Здесь исследован случай, когда на прямых, определяеьшх решением уравнения [c.59]

Вопросы устойчивости неголономных систем специальному рассмотрению, по-видимому, впервые подверглись Э. Т. Уиттекером, высказавшим соображения о том, что при исследовании устойчивости состояния равновесия неголономные связи могут быть линеаризованы и превращены в голономные. Эти, казалось бы, бесспорные утверждения были подвергнуты сомнению О. Боттемой, который показал, что при исследовании устойчивости состояний равновесия неголономных систем имеет место так называемый критический случай теории устойчивости движения и что характеристический определитель в случае консервативной неголономной системы в общем случае несимметричен. После этого стало ясно, что теория устойчивости неголономных систем требует дополнительного рассмотрения. [c.177]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...