Рейсснера уравнение

Вариационный принцип Рейсснера заключается в том, что вариационное уравнение [c.219]

Таким образом, вариационный принцип Рейсснера формулируется так. Если известен общий интеграл уравнений совместности деформаций, то истинному состоянию тела соответствует стационарность функционала 1 а, о), следствием которой являются уравнения равновесия во всем объеме тела, условия равновесия на той части поверхности тела, где заданы поверхностные силы, и физические уравнения, связывающие деформации с напряжениями. [c.524]

Для описания физически и геометрически нелинейного поведения оболочки используем уравнения Рейсснера [7] с дополнительными членами в правых частях, моделирующими в общем случае эффект пластичности, ползучести, неизотермичности нагружения [2, 3, 8]. Эти уравнения могут быть записаны через функцию напряжений ц = ГдН Н — радиальная составляющая усилий, приложенных к оболочке) и изменение угла наклона меридиана Р (рис. 8.1) в виде [c.152]

С аппроксимацией напряжений поперечного сдвига дело обстоит несколько сложней. Как указывается в [6] анализ достаточно точных решений задач изгиба толстых плит и оболочек, а также специальные исследования, посвященные вопросу выбора аппроксимирующих функций, показывают, что некоторые неизбежные неточности, которые допускаются при выборе этих функций, незначительно влияют на основные расчетные величины оболочки вдали от линий искажения. Некоторый произвол при разумном выборе функций не может внести в уточненную теорию недопустимых погрешностей . Вариационный принцип Рейсснера позволяет достаточно гибко подойти к этому вопросу. Вид аппроксимирующих функций можно найти, исходя из структуры уравнений равновесия (4.189). Интегрируя первое уравнение по г, получим [6] [c.172]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

При наложении физических уравнений Эп2 переходит в функционал Эгс(и,е,а) для геометрических и статических уравнений (табл. 3.5). Исключив из него в соответствии с гл. 2, 2.2в деформации, получим полный функционал Рейсснера Э з(о, и), а исключив напряжения, получим другую разновидность функционала Рейсснера — Эр1 (и, е) (см. 3.1в). [c.75]

Для доказательства можно использовать уже известное экстремальное свойство функционала Рейсснера 5 3 (о, и). Функционал Зге можно получить из 5 3, введя новую переменную и и дополнительное условие о — е--а = 0. Так как это уравнение связывает новую переменную е лишь с переменной о, по которой 5 3 имеет максимум, то имеет место (5.6). [c.88]

В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный закон изменения напряжений а, Оу, Хху по толщине пластины, получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон изменения напряжений т г и Xyz и кубический закон для напряжений Сг, он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26] получил разрешающие уравнения уравнение для прогиба и для функции t]5, которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год [c.191]

Как и в разд. 4.3, рассмотрим общий случай, когда на поверхностях пластины приложены поверхностные усилия q , qf, (см. рис. 4.4). Граничные условия на.этих поверхностях будут иметь вид (4.12). Будем точно выполнять уравнения равновесия трехмерного тела (4.1), а закон распределения перемещений по толщине пластины определим путем интегрирования соотношений закона Гука (4.17). В теории Э. Рейсснера эти соотношения выполняются в интегральном по толщине пластины смысле. Как и в теории [c.192]

При рассмотрении задачи, изображенной на рис. 4.5, теория С. А. Амбарцумяна приводит к уравнению второго порядка для касательной реакции, йто позволяет получить вполне определенное-решение для касательной реакции q. Иными словами, теория С. А. Амбарцумяна оказывается в данном типе задач более гибкой по сравнению с теорией Кирхгофа или Рейсснера. Однако обратить в нуль касательные реакции на границе д =0 и x=L она не позволяет. Чтобы это сделать, нужно иметь не второй, а четвертый порядок уравнения. В более поздней работе С. А. Амбарцумяна [4J учитывается эффект поперечного обжатия, однако она также приводит к уравнению второго порядка для реакции q в задаче рис, 4.5. Действительно, первая формула (4.18) [4, с. 886] для тангенциальных перемещений ш содержит в правой части касательные усилия на поверхности пластины X и X (но не содержит производных" от этих усилий). Это и приводит к уравнению второго порядка для реакции. (Уравнение (4.56) содержит четвертый порядок, так как в формулу (4.52) для деформации кроме первой входит еще третья производная от реакции q). [c.205]

В работе [370] рассмотрены осесимметричные деформации пологой конической оболочки. Задача Коши по параметру интегрировалась по простой схеме Эйлера. Пошаговые линейные краевые задачи решались методом прогонки. Аналогичная комбинация методов использована в работах [428, 490] для оболочек вращения. В основу положены уравнения Рейсснера [491]. [c.187]

Вдавливание плоского штампа в относительно толстую Rlh = 30) сферическую оболочку по геометрически нелинейным уравнениям Рейсснера, учитывающим деформацию поперечного сдвига, изучено в [261, 262]. При малой осадке штампа зона контакта (о представляет собой круг, контактное давление на ее границе принимает конечное значение, а внутри оно отлично от нуля. Это является следствием трансверсаль-ной жесткости оболочки в теории, принятой для решения задачи. С ростом осадки радиус зоны контакта увеличивается, а контактное давление в центральной зоне становится меньше, чем у края области контакта. Начиная с некоторого значения осадки штампа, происходит отрыв от него центральной области оболочки, причем осевая сила, с которой штамп действует на оболочку, продолжает расти. [c.94]

Количество неизвестных функций в формулах (7.4) будет равно пяти и, V, го, й, а. Они определяются из системы уравнений (1.10), имеющей десятый порядок. Для этих уравнений ца, границе срединной поверхности. 5 задаются пять краевых условий, как в сдвиговых теориях оболочек С. П, Тимошенко и Э. Рейсснера. В случае статических условий задаются величины Т , S, , N4, М,-, Н , в случае кинематических — величины и, [c.112]

Проверяется, что уравнения (3.6.1) есть уравнения Эйлера для функционала (3.6.5), и в силу неравенства Корна для пластинок Рейсснера устанавливается существование обобщенного решения задачи (3.6.1) —(3.6.3) в вектор- [c.121]

В несколько иной форме дано частное решение в работах Кларка и Рейсснера [232, 234]. Применительно к рассматриваемому уравнению оно выглядит так [c.412]

Поскольку для описания модели деформирования используются как аппроксимации перемещений, так и независимые аппроксимации части компонентов тензора напряжений, то для вариационной постановки задачи следует воспользоваться смешанной формулировкой, соответствующей модифицированному принципу Рейсснера (см. раздел 1.2.2). Для нашего случая вариационными уравнениями будут [c.100]

Следует отметить, что для обобщения в качестве основы были взяты уравнения Власова (5.1) - (5.3) однако предложенный подход также легко применить, если взять в качестве основных другие варианты теории оболочек (например, уравнения Кирхгоффа - Лява, Рейсснера и др.). [c.266]

По итогам данного обзора можно констатировать, что к настоящему времени разработаны и описаны в литературе многие варианты неклассических двумерных уравнений слоистых анизотропных оболочек и пластин. Для вывода таких уравнений используются различные методы — метод асимптотического интегрирования уравнений пространственной задачи теории упругости, метод разложения в ряды по функциям поперечной координаты, метод гипотез для каждого слоя или для пакета слоев в целом в сочетании с вариационным принципом Лагранжа или Рейсснера и т.д. С точки зрения практических приложений наиболее перспективным из них представляется метод гипотез для пакета слоев, приводящий к математическим моделям, сочетающим в себе возможность адекватного описания процессов деформирования тонкостенных анизотропных слоистых систем с относительной простотой разрешающих дифференциальных уравнений. [c.11]

В отличие от теории Уитни — Сана, которая была выведена, исходя из принципа минимума потенщ1альной знергии, в теории, в основу которой положен вариационный принцип Рейсснера, уравнения состояния для и содержат поверхностные усилия. Это приводит к иным уравнениям поля для области балки вне трещины, 0< л- <2Л - а. В результате уравнения (101) и (102) принимают вид [c.264]

Получённое вариационное уравнение (4.184) представляет формулировку принципа Рейсснера. Независимому варьированию в (4.184) подлежат как напряжения, так и перемещения. В силу произвольности вариаций 6 а и б F (4.184) распадается на два условия [c.171]

Нелинейное осесимметричное деформирование свободно опертой панели исследовал впервые К. Бицено [24.6]. Месколл [24.15] основывался на нелинейных уравнениях Рейсснера [24.16], пригодных при малых деформациях и произвольных поворотах, и обычных уравнениях, справедливых при малых поворотах, которые применялись во многих других исследованиях [24.10, 24.18]. Использовался метод Ньютона и метод конечных разностей,- На рис. 24.8 показана зависимость нагрузка—прогиб для панели с параметром 6 10. Характерно множество равновесных ср- [c.299]

Хильдебранд, Рейсснер и Томас предложили теорию оболочек [17], в которой и, V ц W аппроксимируются квадратичными функциями С. т. е. в уравнениях (9.Ю8) берется т = 2. Нагди использовал следующую аппроксимацию [c.281]

Условия стационарности функционала (14.16) по даются уравнениями (14.3). Используя соотношения (14.3) или обратные им соотношения (14.4), исключим из TIoi и получим функционал принципа Хеллингера — Рейсснера [c.362]

В статье Е. Рейсснера [72] рассмотрено взаимодействие ребра конечной длины и полубесконечной пластины, прикрепленной пер-пендику 1ярно к границе. Записано сингулярное интегродифференциальное уравнение для ребра переменной жесткости, решение которого, однако, не получено. Развитие указанной работы Е. Рейсснера дано И. Гудиером и Ц. Су [61] в предположении, что контакт [c.124]

Задачу о распределении продольных усилий по длине ребра (стрингера) переменного сечения, присоединенного к пластине, по-видимому, впервые в точной постановке рассмотрел Э. Рейсснер [72] на примере полубесконечной пластины, к которой нормально к границе присоединен стрингер, лагруженный на, конце оилрк . В этой работе было получено разрешающее сингулярное интегро- дифференциальное уравнение для продольных усилий в стрингере. Отмечена аналогия этого уравнения с уравнением Прандтля, получаемым при рассмотрении обтекания тонкого крыла потоком воздуха. Эта же аналогия отмечалась позднее С. Бенскоттером [52], который, как уже отмечалось, рассмотрел ребро конечной длины. Уравнение полученное Э. Рейсснером, оказалось достаточно сложным и в работе не решено. [c.170]

Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает способ, преобразования системы уравнении. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э, Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано. [c.191]

Э. Рейсснер [29] дает модификацию теории. Задав на первом этапе линейный закон изменения напряжений а, Оу, Т"ху ПО толщине ПЛЗ" СТИНЫ и получив из уравнений равновесия квадратичный закон для поперечных касательных напряжений, он интегрирует соотношения закона Гука для поперечных касательных напряжений при условии, что прогиб W не меняется по толщине пластины. При этом получается кубический закон изменения перемещений ы, оно толщине лластины. Подставляя эти перемещения в соотношения закона Гука для напряжений а, Оу, Хху, он получает следующее приближение для этих напряжений квадратичный закон изменения по толщине. При этом соотношения обобщенного закона Гука для моментов, полученные.интегрированием закона Гука для напряжений, имеют такой же вид, как и в работе [25]. [c.192]

Э. Рейсснера, будем исходить из линейного закона изменения напряжений (4.10). Закон изменения напряжений Xxz,tyt,az полученный интегрироВ Знием уравнений равновесия (4.1), с учетом (4.10) будет иметь вид (4.16). Закон из менения перемещений по толщине пластины, полученный интегрированием соотношений (4.17), будет иметь вид (4.18), (4.19), где и, о, w — перемещения срединной плоскости. В рамках данного раздела и в дальнейшем при использовании уточненной теории через и, и, w будем обозначать обобщенные перемещения, смысл которых будет ясен ниже. [c.192]

Соотношения обобщенного закона Гука (4.23), (4.24) и (4.29) будут те же, что и в варианте Э. Рейсснера, если учесть поверхно- -стные усилия дР и д и, следовательно, мембранные усилия Т , Ту, Тху. Обычно приводятся уравнения варианта теории Э. Рейсснера, в которых не учитываются мембранные усилия (см., например, С. П. Тимошенко [30]), и, следовательно, отсутствуют соотношения (4.23), а. в соотношениях типа (4.24) и (4.29) отсутствуют слагаемые с гпх и гПу. Смысл усредненных перемещений w и углов поворота фж. Фи остается тем же. [c.197]

Взаимодействие двух соосных цилиндрических оболочек разной длины с зазором между ними при нагружении внутренним давлением оболочки меньшего радиуса hjy4eno в [245, 250]. Авторы работы [250] сопрягают аналитические решения уравнений равновесия оболочек в зоне контакта и вне ее, получают систему уравнений относительно произвольных постоянных, находят осевую координату границы зоны контакта, решая систему трансцендентных уравнений. Сочетание вариационно-разностного метода с методом штрафной функции применено в [245]. Обжатие в обеих работах не учтено, использованы теории Кирхгофа — Лява, Тимошенко, Рейсснера. [c.15]

Уравнения равновесия и граничные условия. В качестве добавления к основным результатам данной главы приведем исследование задачи об изгибе пластины Рейсснера. Е. Рейсснером [30] была предпринята попытка уточнить теорию изгиба пластин Кирхгофа прелюде всего за счет учета деформаций поперечного сдвига, супдествен-ных у ряда современных материалов. Более подробно о выводе уравнений Рейсснера и о соотношениях между решениями по теории Рейсснера и по теории Кирхгофа можно найти в [24, 16а]. [c.120]

Вычисление Со затруднено наличием у 02 неэнергети-ческой особенности и слончностью решения уравнения Рейсснера. Применим, как и в гл. II, приближенный метод онределения Со. Для этого представим со и Ф в виде [c.128]

Сложнее обстояло с расчетом оболочек вращения на неосе-симметрнчные нагрузки. Наиболее важной из них является обратносимметричная нагрузка, иногда называемая также ветровой . Для сферической оболочки соответствующая задача была решена в диссертации Э. Шверииа [286], который (видимо, желая угодить своему учителю и оппоненту Г. Рейсснеру) преобразовывал дифференциальные уравнения в духе, типичном для цюрихской школы, стремясь получить решение в форме плохо сходящихся в данном случае гипергеометрических рядов, что ему и удалось. При этом были обнаружены две квадратуры, а также юзмож-ность комплексного преобразования, так что расчет сферической оболочки на ветровую нагрузку в итоге оказался сведенным к интегрированию одного уравнения второго порядка. Последний результат был обобщен затем в работе [126] для оболочек вращения произвольной формы. [c.186]

В главе строится нелинейная теория жесткогибких оболочек без использования гипотез Кирхгофа. Ее главное отличие от квази-кирхгофовской теории (гл. 3) и теории типа Тимошенко-Рейсснера (гл. 9) заключается в учете вариаций параметров поперечного обжатия Статическая гипотеза заменяется известным приемом подчинения нормальных поперечных напряжений граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки. Поперечные сдвиги учитываются по линейной теории, что естественно для тонких жесткогибких оболочек. Показано, что в граничном вариационном уравнении Лагранжа независимыми являются вариации, вообще говоря, шести геометрических величин — компонент вектора перемещения и их производных по тангенциальной нормали к граничному контуру. Как частный случай получены уравнения уточненной теории пологих оболочек. На примере показано, что слагаемые, связанные с вариациями параметров А , могут иметь принципиальное значение для контактных задач со свободной границей. [c.232]

На основе представления комплексных потенциалов Ф (z) и (z) в виде (VIII.41) может быть рассмотрен ряд задач о системах трещин в различных областях. В дальнейшем кратко остановимся на некоторых из них, причем ограничимся построением интеграль-иых представлений функций Ф (г) и (г), с помощью которых легко записать сингулярные интегральные уравнения (VIII.42) и (VIII.43)для основных граничных задач. Заметим, что с помощью метода рядов Лорана и классической теории Кирхгофа в работе [681 изучался изгиб пластин с системой произвольно расположенных прямолинейных трещин. Рассматривалось также взаимодействие двух произвольно ориентированных прямолинейных трещин на основе теории пластин Рейсснера [410]. Полученные при этом сингулярные интегральные уравнения решались численно. [c.256]

Отметим, что ряд задач об изгибе пластин с периодической си- стемой коллинеариых [240, 411] или параллельных [239] трещин рассмотрен на основе теории Рейсснера. При этом всегда получаются сингулярные интегральные уравнения -более сложной структуры, чем при использовании классической теории изгиба пластин. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...