Унимодальная функция

Метод параллельных касательных пригоден для поиска оптимума на любой унимодальной функции, требует небольшого количества информации, но сопряжен с громоздкими вычислениями. [c.285]

В работе [26] использован термин унимодальная функция. [c.149]

Метод деления отрезка пополам. В методах последовательного поиска для решения задачи минимизации последовательно вычисляются значения функции f ъ пробных точках X х-у,. .., причем для определения каждой точки Xj, можно использовать информацию о значениях функции во всех предыдущих точках. Простейшим методом этого семейства является метод деления отрезка пополам. В нем, как и в двух других рассматриваемых ниже методах минимизации унимодальных функций (методах Фибоначчи и золотого сечения), используется принцип последовательного сокращения отрезка локализации. [c.139]

Очевидно, наиболее естественным способом сужения интервала неопределенности для одномерной унимодальной функции является деление его ш несколько равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в узлах получен- [c.143]

Узловые точки 106, 126 Унимодальная функция 142 [c.232]

Решение в этом случае сводится к поиску экстремума унимодальной функций, который может быть осуществлен с помощью известных методов численной оптимизации. [c.175]

Пусть требуется определить экстремум унимодальной функции [c.28]

Эти формулы дают возможность вычислять форму нестационарных волн на ЭВМ. Они дают также возможность анализировать факторы, влияющие на форму сигнала. Фактор K l(t) представляет собой форму падающей поперечной волны. Его свертка со вторым фактором дает изменение формы сигнала, вызываемое фазовым сдвигом на границе. На каждой глубине х измененная форма волны подвергается свертке с третьим фактором, представляющим унимодальную функцию, ширина которой увеличивается с удалением от границы. Свертка с последним членом показывает, что на любой глубине нестационарный сигнал распространяется в направлении г с кажущейся скоростью с. [c.39]

Кроме алгоритмов направленного поиска в блок поиска локальных оптимумов можно включать также алгоритмы вероятностной аппроксимации целевой функции. Применяя идеи сглаживания и фильтрации путем усреднения результатов случайных испытаний, эти алгоритмы позволяют строить такие аппроксимирующие функции, которые унимодальны и имеют оптимум, совпадающий с глобальным оптимумом Hq [64]. Тогда поиск глобального оптимума Но сводится к поиску локального оптимума аппроксимирующей функции. [c.135]

Это решение основано на том, что функция (t) является унимодальной с такой функцией распределения, у которой медиана и среднее значение достаточно близки. [c.152]

В математическом плане данная задача сводится к отысканию экстремума унимодальной [2] функции овражного типа. Самые различные сочетания параметров в задаче определения реакций в опорах приводят к тому, что овраги функций, определяющих потенциальную энергию системы, оказываются различной формы, степени кривизны и протяженности. Существуют методы поиска экстремума овражных функций, которые в отдельности справляются неплохо с отдельными овражными неприятностями [3]. Успех поиска, как очевидно, зависит от формы и размеров оврага , крутизны его склонов. [c.30]

Графики плотности вероятности и функции распределения показаны на рис. 3.8. Кривая плотности вероятности симметрична, унимодальна и достигает своего максимума в точке х = а [c.81]

Функция /, определенная на отрезке [а, Ь], называется унимодальной, если на отрезке [а, Ь] содержится единственная точка минимума х, причем функция строго убывает при х < х и строго возрастает при х>х. [c.139]

Пройдя пиковое значение, при каждом следующем значении проектного параметра будем получать меньшее значение целевой функции. В действительности такое ограничение на характер поверхности, задаваемой целевой функцией является не столь жестким, как может показаться, так как многие задачи, с которыми инженер сталкивается в своей практике, оказываются унимодальными . [c.143]

Наилучшими критериями сравнения пяти методов поиска, описанных выше, являются их эффективность и универсальность. Под эффективностью алгоритма обычно понимают число вычислений функции, необходимое для достижения требуемого сужения интервала неопределенности. Из табл. 6.2 следует, что лучшим в этом отношении является метод Фибоначчи, а худшим — метод общего поиска. Конструктор иной раз неохотно прибегает к методу Фибоначчи, так как при его применении требуется заранее задать число вычислений значений функции. Однако он может воспользоваться методом золотого сечения. Как правило, оказывается, что методы Фибоначчи и золотого сечения, обладающие высокой эффективностью, наиболее подходят для решения одномерных унимодальных задач оптимизации. [c.152]

Метод случайного поиска имеет два преимущества. Во-пер-вых, он пригоден для любой целевой функции независимо от того, является она унимодальной или нет. Во-вторых, вероятность успеха при попытках не зависит от размерности рассматриваемого пространства. Хотя этот метод не позволяет непосредственно найти оптимальное решение, он создает подходящие предпосылки для применения в дальнейшем других методов поиска. Поэтому его часто применяют в сочетании с одним или несколькими методами других типов. [c.168]

Во многих инженерных задачах не известно, являются ли функции выпуклыми. В лучшем случае можно выделить из них унимодальные, которые постоянно увеличиваются при изменении аргументов в определенных направлениях. Примером такой функции может служить F х, у)= х — у (д > 0 у > 0) она возрастает с увеличением аргумента х и с уменьшением аргумента у но эта функция не является выпуклой. [c.18]

В задачах оптического зондирования атмосферы информативность того или иного интервала размеров частиц определяется тем, сколь существенно проявляет себя в поведении Р(А,) функция распределения геометрических сечений частиц 8 г). Как показывает численный анализ, в спектральном интервале 0,53—1,06 мкм аэрозольный коэффициент обратного рассеяния Рл(А,) (а также полидисперсный фактор Кл )) обычно является монотонно убывающей функцией X практически независимо от типа унимодального распределения. Соответствующие примеры представлены на рис. 4.10. [c.111]

Определение 15.5.1. Пусть 1= [0,1]. Тогда непрерывное отображение I —у1 называется унимодальным, если /(0) = /(1) = 0 и существует такое с е (О, 1), что / возрастает на полуинтервале 7о-= [О1 и убывает на полуинтервале /2-= (с, 1]. Точка с тогда называется точкой возврата функции /. Положим I, = -[с . Пусть = i . 1- 0., ху- г х) — такое отображение, что /"(х) е I.. Тогда г(х) называется кодировкой точки х. Пусть [c.514]

Доказательство. Пусть а = а(i>) для некоторого унимодального отображения, и допустим, что а ф ни для какого t е [а, Ь]. Тогда aeL = te [а, Ь] o-(i/(/,))а , beR = te [а, Ь] [c.530]

Функции с модальностью т = 0, 1, 2 называются соответственно простыми, унимодальными и бимодальными. [c.20]

Предлагается комбинированный подход к отысканию экстремумов унимодальных функций овражного типа, когда требуются высокая точность значений координат экстремума и быстрая сходимость поиска. Табл. 1, ил. 5, библ. 5 назв. [c.162]

Для выполнения отдельных этапов синтеза АСР разработаны алгоритмы и программы расчетов на ЭВМ. В [29] приведены программы для расчета на ЭВМ Наири-2 КЧХ замкнутых н разомкнутых автоматических систем регулирования, границы области заданного запаса устойчивости для АСР с ПИ-регулятором, переходных характеристик объектов и замкнутых АСР, статистических характеристик случайных возмущений. Полный аглоритмический синтез АСР может быть выполнен с использованием пакета прикладных программ (ППП), реализованного на ЭВМ ЕС-1020 (ДОС) [37]. Основные модули ППП позволяют решать следующие задачи расчет КЧХ элементов структурной схемы АСР, решение нелинейных уравнений типа F(a )=0, поиск максимума унимодальных функций и глобального экстремума функции нескольких переменных при огранпчении типа неравенства, расчет переходных процессов и построение их графиков. [c.457]

Точка глобального минимума строго унимодальной функции содержится в отрезке xi, дгз1 таком, что [c.131]

Простейшей задачей нелинейного программирования является однопараметрическая задача на безусловный экстремум. Кроме того, предполагается, что в области определения целевой функции имеется всего один экстремум. Однопараметрические одноэкстремальные целевые функции получили название унимодальных функций. К таким задачам относится задача расчета оптимального межопорного расстояния шпинделя станка [125]. Наиболее распространенными методами оптимизации унимодельных целевых функций являются методы последовательного сокраш,е-ния интервала неопределенности [91. [c.205]

ВИДЯ, он iMoжeт это сделать, если все время будет двигаться вверх. Хотя любая ведущая вверх тропа в конечном счете приведет его к вершине, кратчайшей из них будет самая крутая, если, правда, альпинист не натолкнется на вертикальный обрыв, который придется обходить. (Математическим эквивалентом обрыва на поверхности, образуемой целевой функцией, являются те ее места, где поставлены условные ограничения.) Предположим пока, что задача оптимизации не содержит ограничений. Позднее мы включим их в схему поиска. Метод оптимизации, в основу которого положена идея движения по самой крутой тропе, называется методом наискорейшего подъема или наискорейшего спуска. Вектор градиента перпендикулярен линии уровня и указывает направление к новой точке в пространстве проектирования. Отметим, что градиентный метод в отличие от метода касательной к линии уровня можно использовать применительно к любой унимодальной функции, а не только тех, у которых это свойство явно выражено. [c.169]

Этот метод [12] облегчает поиск и не требует вычисления производных. Поиск ведется вдоль линий разрыва производных в предположении, что смещения в пространстве проектирования, оказавшиеся удачными на ранней стадии поиска, могут привести к успеху и на его более поздних стадиях. Метод Хука — Дживса предназначен для отыскания минимума унимодальной функции многих переменных [c.178]

АЗ. Унимодальность функций. Если х возрастает (уменьшается), то и F x) возрастает. [c.20]

Теорема ([72]). Классификация простых и унимодальных функций с точностью до стабильной эквивалентности для храя типа А описывается следующей таблицей (дополнена М. Б. Севрюком) [c.22]

Данный результат связан с тем, что алгоритм выбора решений максимизирует значение функции. что согласно выражению (3.15) связано с уменьшением значений Му (v ), / = 1, m. В силу унимодальности функций уменьшение их значений возможно как влево, так и вправо от точки экстремума, что и порождает указанный вьппе недостаток. [c.60]

К этой функции обращаются очень многие исследователи, апробируя предлагаемые ими методы отыскания экстремума. Функция Розенброка — ярко выраженного овражного типа с очень узкой и криволинейной долиной, унимодальная. Ее минимальное значение равно у = О в точке X X ) = (1, 1). В качестве области задавался квадрат / = 1,5 по обеим осям. Ниже в таблице приводятся данные о результатах решения при различных значениях ei, которые сопоставляются с результатами использования на этой функции непосредственно метода Розенброка [2] [c.37]

Пример 2.17. Работоспособность метода расчета квантованных ДОЭ для формирования полей с заданным распределением комплексной амплитуды проиллюстрируем на задаче расчета моданов фазовых ДОЭ ди формирования нолей с комплексной амплитудой, соответствующей модовым функциям оператора распространения света [10, 117 . Метод был применен к расчету бинарных моданов для преобразования гауссова пучка (2.346) в унимодальные распределения Г аусса-Эрмита [c.136]

Для процессов ( ) с широким спектром (/с = 0,05 ж к = 0,2) при возрастании уровня /г. О преобладающую роль начинают играть более короткие выбросы, максимум функции р х к) при этом возрастает и смещается в сторону меньших значений х. По своей форме плотность вероятности р х к), /г 1, приближается к распределению Релея. С понижением уровня /г- О длительности выбросов возрастают, правая ветвь функции р (т к) затягивается, а ее максимум существенно уменьшается по величине и смещается в сторону больших значений х. При /г. О для функций р [х к) нарушается свойство унимодальности справа от основного максимума (в области больших х) появляется еще один максимум. [c.243]

И. Предположим, что ( ) — стационарный гауссовский процесс с математическим ожиданием М ( )) = О и спектральной плотностью /5 (/), описываемой функцией (4.8.24) при тг == 8. В разд. 4.5 при рассмотрении плотности вероятности р (т к) длительности т (к) положительных выбросов отмечалось, что при отрицательных уровнях к происходит затягивание правой ветви функции р (т к) и нарушение свойства унимодальности. [c.278]

После того, как математическая модель оптимального проектирования построена в первом приближении, перед исследователем встает задача ее анализа, к целям которого относятся выявление выпуклости, вогнутости, унимодальности (наличия у целевой функции одной точки экстремума и ее совпадение с глобальным экстремумом), многоэкстремальности (наличие у Целевой функции нескольких локальных экстремумов), исследование совместимости ограничений исследование допустимого подпространства проектирования, образуемого ограничениями выявление адекватности модели проектируемому объекту. [c.144]

Универсальность алгоритма означает, что его можно легко применить для решения самых разнообразных задач. В этом отношении метод Фибоначчи, видимо, уступает другим, так как требует отдельного вычисления положения точек, в которых будут определяться значения целевой функции на каждом новом шаге. Этим приходится расплачиваться за повышение эффективности метода. С точки зрения универсальности малоэффективный метод общего поиска имеет по крайней мере одно преимущество — его можно с успехом применять и для неунимодальных функций, если они достаточно гладкие. Нередко заранее не известно, является ли рассматриваемая целевая функция унимодальной. В таких случаях следует воспользоваться несколькими разными алгоритмами и посмотреть, дают ли они все один и тот же оптимум. Отсюда следует важный вывод, который следует иметь в виду, решая задачи оптимизации не существует универсального алгоритма, который позволял бы решать любые задачи. Решая сложные задачи оптилшзации, следует пользоваться разными методами, так как это позволяет увеличить долю удачных решений. [c.152]

Перейдем теперь к программе решения этой задачи, составленной на языке Фортран. В ней используются две подпрограммы оптимизации, разработанные Мишке [5]. Они модифицированы таким образом, чтобы наименования под-програм.мы для целевой функции можно было использовать как операторы об1,<1гдения в списке аргу.ментов подпрограмм оптимизации. Подпрограмма OMB осуществляет общий поиск максимального значения Т на множестве возможных перемещений. Эта подпрограмма позволяет найти максимальное значение Т даже в том случае, если функция Т (ф) не является унимодальной. Чтобы достаточно быстро сузить интервал неопределенности до 0,01 начального, объединены две подпрограммы такого рода. В подпрограмме GOLD для общего контроля процесса оптимизации используется метод золотого сечения. [c.156]

На первый взгляд может показаться, что различие между методами многомерного и одномерного поиска состоит лишь в том, что первые требуют большего объема вычислений и что в принципе методы, пригодные для функций одной переменной, можно применять и для функций многих переменных. Однако это не так, поскольку многомерное пространство качественно отличается от одномерного. Прежде всего с увеличением числа измерений уменьшается вероятность унимодальности целевой функции. Кроме того, множество элементов, образующих многомерное пространство, гораздо мощнее множества элементов одномерного пространства. Объем вычислений, необходимых для сужения интервала неопределенности в многомерном пространстве, является степенной функцией, показатель которой равен размерности пространства. Так, если в случае одномерного пространства для достижения /=0,1 требуется вычислить 19 значений целевой функции, то в случае двумерного пространства это число составляет 361, трехмерного—6859, четырехмерного — 130 321, а пятимерного — 2 476 099 Поскольку при выборе оптимальной конструкции нередко приходится иметь дело с пятью и более переменными, серьезность трудностей, обусловленных многомерностью, становится очевидной. [c.162]

Необходимы частные производные целевой функции по независимым переменным. Поскольку в основе метода лежит доп>ще-ние об унимодальности целевой функции, в тех случаях, когда есть основания предполагать, что она не является таковой, следует брать несколько исходных точек. На рис. 7.7 представлена схема алгоритма метода Дэвидона — Флетчера — Пауэлла. Алгоритм выполняется следующим образом. Сначала в пространстве проектирования выбирают подходящую начальную точку. Затем, вычисляя составляющие вектора градиента [c.176]

Метод конфигураций Розенброка [17] основан на поиске минимума вдоль линий разрыва производных и часто оказывается эффективным, когда другие методы не позволяют получить решение. Его нередко называют методом вращения осей координат , поскольку исследование в окрестности выбранной точки ведется именно таким способом. В отличие от предыдущих методов, в которых исходным переменным сообщают независимые приращения, в методе Розенброка система координат поворачивается так, чтобы одна из осей была направлена вдоль линии разрыва производных, положение которой определяется в результате предварительного исследования. Остальные оси образуют с ней ортогональную систему координат. Метод Розенброка основан на предположении об унимодальности целевой функции и предназначен для отыскания минимума функции многих переменных вида [c.182]

Свойство квазивыпуклости по и геометрически означает унимодальность (не строгую) вниз функции g u, х) по и. На практике это свойство имеет место, когда зафаты на удовлетворение спроса в изделии х бывают наименьшими при использовании унифицированного изделия с предполагаемым параметром и = X и растут с увеличением отклонения м от X в обе стороны. [c.440]

В связи с вышеизложенным интересно отметить следующее обстоятельство. При интерпретации оптических характеристик светорассеяния в практике атмосферно-оптических исследований зачастую прибегают к параметрическим представлениям функции распределения п г). В тех работах, где речь идет об оценке ми-кроструктурных характеристик атмосферных дымок по угловому ходу Ои Ь) (либо других элементов матрицы светорассеяния, см., например, [17]), предпочитают, как правило, использовать унимодальные распределения в качестве модельных. Это объясняется тем, совершенно естественным обстоятельством, что унимодальная модель 8м(г,Г8) при надлежащем выборе модального радиуса практически всегда удовлетворяет условию [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...