Экстремум глобальный

Методы поиска экстремума классифицируются по следующим признакам в зависимости от характера экстремума существуют методы условной и безусловной, локальной и глобальной оптимизации по числу переменных проектирования различают методы одномерного и многомерного поиска, а по характеру информации о виде целевой функции — методы нулевого, первого и второго порядков, причем в методах первого порядка используют градиент целевой функции, поэтому эти методы называются градиентными, в методах второго порядка применяют вторые производные, а в методах нулевого порядка производные не используют. [c.281]

Для более детального исследования множества допустимых решений (выделение глобального экстремума) метод ЛП,-поиска может быть дополнен, например, исследованием специально сконструированной функции, представляющей собой свертку частных критериев в один глобальный. [c.54]

По чувствительности и времени поиска аналогичны упорядоченному перебору время поиска уменьшается лишь при специальных предположениях или стремлении к локальному оптимуму Требуют поворота координатных осей для отыскания оптимума в овражных ситуациях Основаны на использовании необходимых и достаточных (особенно в окрестности оптимума) условий экстремума Применяются при ограничениях в виде гиперплоскостей Время поиска резко увеличивается с уменьшением е, при определенных условиях возможен поиск глобального оптимума [c.146]

При описании комплексной целевой функции нелинейными зависимостями от внутренних параметров задача оптимизации решается методами линейного программирования если же целевая функция является линейной функцией от внутренних параметров, то имеет место задача линейного программирования. В общем случае целевая функция может иметь несколько экстремумов, отличающихся по абсолютной величине. В зависимости от типа экстремума, в котором заканчивается поиск оптимального решения, различают методы поиска локального и глобального экстремума. Если на значение определяемых параметров наложены некоторые ограничения, то решение задачи синтеза механизмов осуществляется методами условной оптимизации. В противном случае (при отсутствии ограничений) при синтезе механизмов для поиска значений определяемых параметров используют методы безусловной оптимизации. [c.316]

Однако условия (5.38) справедливы не только для точек экстремума, но и для точек перегиба. Вся совокупность точек пространства параметров, удовлетворяющих условиям (5.38), как известно, носит название стационарных точек. Поэтому при решении задачи классическими методами необходимо определить все стационарные точки, а затем уже выделить из них точку глобального экстремума функции цели. Применительно к оптимизации ЭМУ с учетом характерной для них существенно нелинейной неявно выраженной зависимости функции цели от параметров необходимо говорить лишь о численных методах решения уравнения (5.38). [c.149]

Методы оптимизации, применяемые в автоматизированном проектировании, должны отвечать ряду общих требований, среди которых необходимо назвать их способность находить приближение к глобальному экстремуму функции цели в условиях действия ограничений, приемлемость затрат на решение практических задач, простоту реализации методов в виде соответствующих алгоритмов и программ. С этих позиций в дальнейшем более подробно рассмотрим несколько методов, являющихся типичными представителями конкретных групп в соответствии с приведенной классификацией и нашедших в настоящее время преимущественное применение для оптимизации ЭМУ. Описание других методов можно найти, например, в [6]. [c.153]

Наиболее распространенным приемом, позволяющим отстроиться от локальности направленных методов поиска, является организация алгоритмов, в которых на первом этапе применяется пассивный поиск, а в дальнейшем — один из методов направленного поиска. Такое комби нирование методов оптимизации позволяет вести направленный обзор области поиска из нескольких начальных точек (как это показано в примере на рис. 5.21), которые могут формироваться методами сканирования или статистических испытаний. Важно отметить, что начальные точки должны находиться в области допустимых значений параметров. Схема организации комбинированного алгоритма поисковой оптимизации, дающего возможность определять приближения к глобальному экстремуму функции цели, представлена на рис. 5.28. [c.164]

Так, методы пассивного поиска в результате равномерного просмотра всей области допустимых значений параметров позволяют определить приближение к точке глобального экстремума. Однако за этот бездумный сплошной просмотр приходится платить весьма большими затратами на поиск. Поэтому на практике в основном эти методы находят применение для первоначального изучения области поиска при невысоких требованиях к точности и, в частности, для организации входа изображающей точки в допустимую область при реализации методов направленного поиска. [c.170]

При использовании направленных методов поиска оптимальных параметров возникает ряд проблем, связанный с наличием так называемых локальных экстремумов целевой функции. На рис. IV.2.4 изображена целевая функция одного параметра г. Точки А и С являются локальными минимумами целевой функции, а точка В — глобальным минимумом. [c.154]

Генетические алгоритмы и методы отжига. Генетические алгоритмы относятся к наиболее универсальным подходам к решению сложных задач структурного синтеза и подробно обсуждаются далее. Методы отжига можно рассматривать как реализацию идеи повышения вероятности определения глобального экстремума в других статистических методах оптимизации, таких, как генетические или локальные методы поиска, [c.208]

Однако рассмотренные двухмерные зависимости не позволяют найти оптимальный технологический режим, обеспечивающий получение глобального экстремума оптимизируемого показателя качества покрытия, так как они не учитывают взаимного влияния этих параметров на свойства покрытий. Сложность и недостаточная изученность явлений, лежащих в основе данного технологического процесса, не позволяют получить аналитическое решение поставленной задачи, поэтому мы использовали экспериментально-статистические методы регрессионного анализа и теории планирования экспериментов [2], позволяющие получить математическую модель и определить оптимальные значения режимных параметров процесса с учетом их взаимного влияния на свойства покрытий. [c.88]

Обозначим через у = f t) трендовую кривую, описываемую нелинейным уравнением с неизвестными коэффициентами (t = 1, 2, k, где k — число коэффициентов). Исходя из требований метода наименьших квадратов, необходимо определить неизвестные коэффициенты так, чтобы достигался минимум остаточной суммы квадратов (2.1). Для определения минимума функционала (2.1) можно использовать метод поиска глобального экстремума [38]. [c.33]

Сущность метода, идея которого принадлежит В. К. Чичинадзе [5.24], заключается в преобразовании оптимизируемой функции с помощью равномерно распределенной случайной выборки точек в многомерном пространстве параметров в монотонно убывающую одномерную функцию, нулевое значение которой соответствует величине глобального экстремума. Такой подход позволяет с достаточной точностью предсказать значение [c.203]

Третий этап включает в себя определение параметров, соответствующих значению глобального экстремума. Из наиболее близкой к глобальному экстремуму точки происходит движение к цели по известным локальным методам. [c.204]

Описанная выше процедура позволяет получить ожидаемое значение глобального минимума функции качества, но еще не решает поставленной задачи — определения координат глобального экстремума, т. е. оптимальной комбинации параметров теплообменных аппаратов. [c.205]

Рис. 5.7. Блок-схема программы поиска глобального экстремума методом Ч -преобразования

Таким образом, для приближенного нахождения координат глобального экстремума в процессе N испытаний для каждого уровня к суммируются значения тех X, которые составляют множество Е= Х Ф(Х) к , и подсчитывается число точек, попавших в эту область. Если из N испытаний отмечалось значений, меньших k, то отношения [c.208]

За начальную точку поиска принимается точка Х= ( щ1п) или одна из точек в окрестности приближенно найденного глобального экстремума. Вычисляется градиент функции Ф в этой точке, и по формуле [c.209]

Представляется целесообразным на дебютной стадии [1] решения многомерной задачи (г 4) попытаться снизить размерность пространства поиска оптимальных решений за счет выявления несущественных ( вредных [2]) параметров. Также целесообразно попытаться определить в пространстве изменения параметров подобласти, соответствующие, с определенной степенью вероятности, унимодальным участкам поверхности Ф(а). Достигнутые в этом случае положительные результаты в реальных задачах проектирования имеют не меньшее значение, чем отыскание глобального экстремума. При этом существенно повышается эффективность дальнейшего поиска экстремумов, под которой в данном случае понимаются не только затраты машинного времени, но и возможность корректного ностроения упрощенных математических моделей в выделенных подобластях. [c.3]

Кроме получения глобального экстремума, этот метод позволил представить полную картину распределения расчетных затрат во всей области изменения оптимизируемых переменных. По вышеизложенной методике была разработана специальная программа, в которую вошли подпрограммы теплового, гидравлического, аэродинамического расчета и расчет суммарных затрат, а также подпрограмма поиска экстремума. Следует отметить, что результаты теплового расчета, т, е. расход топлива, скорости сред, непосредственно использовались в расчете функционала. Оптимизация водогрейных котлов проведена при различных режимах работы основного и пикового, при различных нагрузках, климатических условиях и ценах на жидкое топливо (от 10 до 20 руб/т). [c.61]

Градиентный спуск обеспечивает сходимость поиска к глобальному минимуму функции S лишь в случае, когда в области допустимых значений имеется один экстремум функции. В задаче об отыскании описанной окружности минимальной площади это условие выполняется, так как по теореме Юнга [75] существует только одна окружность минимальной площади, описанная около точечного множества. [c.239]

Несмотря на многообразие численных методов поиска, применение любого из них в САПР не гарантирует нахождение глобального, т. е, абсолютного, экстремума. Для детерминированных методов это связано с тем, что [c.120]

Оптимизация термодинамических параметров в моделях первого уровня ПТУ обеих схем по тем же соображениям, что и в моделях отдельных агрегатов, осуществлялась методом прямого поиска с самообучением глобального экстремума функции многих переменных [81]. Поиск глобального максимума эффективного КПД проводился с точностью фиксации локальных экстремумов 0,05 % полезная электрическая мощность установок принималась равной 30 кВт. [c.164]

Аналогично определяются точки глобального и локального минимумов. Указанные точки называются экстремальными (точками глобального или локального экстремума). [c.127]

Вообщ,е задачи условной оптимизации более сложны, чем задачи безусловной оптимизации. Для их решения используют специально разработанные методы программирования с ограничениями. Одним из таких методов, которые относятся к методам поиска глобального экстремума, является метод сканирования, состоящий в том, что допустимая область поиска, определяемая системой ограничений, разбивается на к подобластей, в центре каждой из которых определяется значение целевой функции. Если целевая функция зависит от п параметров, необходимо выполнить вариантов расчета. Для надежного определения глобального минимума необходимо увеличивать число к подобластей, что приводит к большим затратам машинного времени. [c.319]

Методы локальной оптимизации. Эти методы успешно используются для поиска локальных экстремумов в метризованных пространствах. К сожалению, велика вероятность застревания текущей точки на траектории поиска вдали от глобального экстремума. Чтобы уменьшить эту вероятность, применяют поиск с запретами (tabu sear h), в котором запрещается переход в некоторые точки, в том числе в точки, пройденные на нескольких последних итерациях поиска. Спуск происходит в лучшую из пройденных на очередной итерации точек, даже если эта точка хуже результата предьщущей итерации. Тем самым облегчается выход из локальных экстремумов. [c.208]

Очевидно, что многопопуляционные генетические алгоритмы могут обеспечить более высокую степень приближения к глобальному экстремуму хотя бы потому, что при стагнации вблизи ло- [c.230]

На первом этапе используются методы случайного или детерминированного поиска. Они состоят в том, что в пространстве допустимых параметров берутся точек и для каждой из них вычисляется значение функции качества. Выбираются, таким образом, JV конкретных вариантов исследуемой конструкции и прямым перебором этих вариантов находится наилучший при этом считается, что он находится поблизости от искомого оптимального варианта (вблизи глобального экстремума). В методах случайного поиска, называемых также методами Монте-Карло, N пробных точек в пространстве параметров выбираются случайным образом [77, 267]. В методах детерминированного поиска точек заполняют исследуемое пространство параметров в определенном смысле равномерно [285]. Опыт показывает, что при небольшом числе испытаний N более эффективны методы детермиийровапиого поиска. Один из таких методов, так называемый метод ЛП-иоиска, оказался эффективным при решении многих задач динамики машин [22, 146]. [c.270]

Ограничения (5.52) и (5.53) определяют допустимую область поиска. Если экстремум функции (5.51) находится внутри этой области, то он считается абсолютным экстремумом если же его координаты находятся на границе допустимой области, то считается, что задача решена на условный экстремум. У многоэкстремальных функций различают глобальный и локальный экстремумы. [c.197]

Прежде всего изложенные методы, как детерминированные, так и случайные, являются по существу локальными, т. е. они обеспечивают (с заданной точностью) попадание в точку локального экстремума, в зоне притяжения которого находится начальная точка поиска В то же время, как показывает анализ, критерии качества при оптимизации параметров теплообменных аппаратов являются сложными и, главное, многоэкстремальными функциями оптимизируемых параметров. Таким образом, для решения поставленной задачи необходим метод, который бы позволял находить глобальный экстремум функции качества. [c.202]

Метод поиска глобального экстремума функции качества при линейных ограничениях. Для оптимизации параметров теплообменных аппаратов весьма эффективным оказался метод поиска глобального экстремума, разработанный в Институте систем управления АН ГрузССР [5.41]. [c.203]

Программа поиска глобального экстремума для функции типа (5.1), (5.6а), (5.42), (5.48) и т. п. была реализована на ЭЦВМ БЭСМ-4. Блок-схема программы представлена на рис 5.7. [c.204]

Приближенный метод определения координат глобального экстремума основывается на предположении, что координаты центра тяжести множеств (5-77), образованных в результате лебегова разделения оптимизируемой функции (5.51), сводятся к координатам точки экстремума при Ак = к + —к - -0 и 1- оо. Доказательство этого предположения дано в работе Н. И. Джибладзе [5.43]. [c.205]

В табл. 5.8 представлены результаты расчетов локальных минимумов Ч к и Ч к для проекта другого (высокотемпературного) варианта АЭС БРГД-1000 при различных условиях охлаждения. В таблице даны значения глобальных и нескольких ближайших локальных экстремумов минимизируемых функций. Характерно, что этим экстремумам соответствуют примерно одни и те же оптимальные параметры. Однако, как правило, оптимизация по критерию Ч к дает несколько лучшие результаты, чем по критерию Ч к. Это объясняется тем, что в программе поиска с критерием Ч к (5.54) отсутствует нелинейное ограничение (5.18), которое, как показывают результаты табл. 5.8, является сильным притяжением при движении к цели в соответствии с принятой в настоящей работе стратегией поиска при наличии нелинейных ограничений. [c.224]

Возможность существования особых точек (седловых, типа гребней и оврагов и т. д.), разрывности функционала и изменений переменных условных экстремумов на границах допустимых областей, многосвязности, многоэкстремальности функционала, ограничений типа неравенств, дискретность переменных и т. д. — все это приводит к практической непригодности аналитических методов оптимизации теплоэнергетических установок. Применение ЭВМ. и численных методов нелинейного программирования позволяет в основном преодолеть эти затруднения. При малом числе оптимизируемых переменных и при узких пределах их изменения отыскание глобального экстремума практически обеспечивает метод сплошного перебора на ЭВМ вариантов путем обхода в определенном порядке узлов многомерной сетки в пространстве независимых переменных и вычисление в каждой точке значений функций ограничений и функционала. При этом отбрасываются те точки, в которых ограничения не выполняются, а среди точек, для которых ограничения справедливы, выбирается точка с наименьшим (или наибольшим) значением функционала. При оптимизации по большому числу параметров применяются методы направленного поиска оптимума градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска (Л. 21]. [c.57]

Задача оптимизации сложной теплоэнергетической установки является многоэкстремальной, имеющей ряд локальных экстремумов. Для поиска среди них глобального экстремума используются комбинации методов случайного поиска с методами направленного поиска. По существу это заключается в том, что спуск производится из разных подобластей с последующим анализом кривых, соединяющих экстремальные и особые точки. Наличие ограничений превращает задачу поиска безусловного экстремума в задачу условного экстремума (возможность нахождения условного экстремума на границе). [c.58]

В рассматриваемой экстремальной задаче функционал является нелинейной функцией независимых переменных. Поэтому задача относится к задачам нелинейного программирования. Вышерассмотренные градиентные методы оптимизации оказались непригодными для поиска глобального экстремума, так как часть переменных (я, ан, и 2г) дискретна и, кроме того, имеются локальные экстремумы. Поскольку время расчета данносо функционала иа ЭВМ БЭСМ-4 составляет не более 1 с и число оптимизируемых переменных в данной задаче невелико, то эффективным при реализации на ЭВМ оказался метод последовательного обхода с полным перебором узлов многомерной сетки, получаемой путем деления интервала изменения каждой независимой переменной на дискретное число отрезков Д. В каждом узле рассчитывалось значение функционала, при этом отбрасывались из расчета узлы, не удовлетворявшие вышеприведенным ограничениям, налагаемым на зависимые и независимые переменные. Минимальное значение функционала соответствует тлобальному экстремуму в окрестности с точностью Д. [c.61]

Так, например, поиск оптимального параметра диаметра труб конвективной части при фиксированном значении остальных переменных приводит к наименьшему граничному значению диаметра труб, равному 25X3 мм, глобальный оптимум соответствует диаметру 28X3 мм. Необходимо отметить, что локальные оптимумы при варьировании всех переменных оказались практически на границах допустимой области изменений. Таким образом, имеют место локальные условные экстремумы. [c.61]

Для выполнения отдельных этапов синтеза АСР разработаны алгоритмы и программы расчетов на ЭВМ. В [29] приведены программы для расчета на ЭВМ Наири-2 КЧХ замкнутых н разомкнутых автоматических систем регулирования, границы области заданного запаса устойчивости для АСР с ПИ-регулятором, переходных характеристик объектов и замкнутых АСР, статистических характеристик случайных возмущений. Полный аглоритмический синтез АСР может быть выполнен с использованием пакета прикладных программ (ППП), реализованного на ЭВМ ЕС-1020 (ДОС) [37]. Основные модули ППП позволяют решать следующие задачи расчет КЧХ элементов структурной схемы АСР, решение нелинейных уравнений типа F(a )=0, поиск максимума унимодальных функций и глобального экстремума функции нескольких переменных при огранпчении типа неравенства, расчет переходных процессов и построение их графиков. [c.457]

Задача оптимизации парогенератора (4.55). .. (4.64) относится к классу задач нелинейного программирования. Анализ уравнений, используемых для расчета а также системы ограничений, формирующих область допустимых значений независимых переменных, показывает, что первые и вторые частные производные целевой функции могут иметь разрывы, а она сама — быть многоэкстремальной. Область допустимых значений оптимизируемых параметров может оказаться несвязной. В этих условиях в соответствии с рекомендациями [106] для решения задачи следует использовать методы прямого поиска, в которых процедура построения оптимизирующей последовательности основана только на информации о значениях целевой функции. Задача (4.55). .. (4.64), а также ряд других задач оптимизации отдельных агрегатов теплоэнергетического оборудования и ПТУ в целом, приведенных в последующих главах, решены методом прямого поиска с самообучением глобального экстремума функции многих переменных [81]. [c.82]

Пискорскнй Л. Ф. Программа нахождения глобального экстремума функции многих переменных//Алгоритмы и программы. Ташкент, 1973. Вып. 12. [c.215]

Учитывая невыпуклый характер области Л, т. е. по суш еству имея дело с многоэкстремальной задачей, необходимо провести такие дополнительные исследования, которые позволили бы с достаточной степенью вероятности судить о нахождении действительного минимума. Принципиальные и вычислительные трудности, стоящие на пути анализа многоэкстремальных задач, заставляют обычно ориентироваться не на оптимальное (глобальный экстремум), а на приближенное решение (некоторый локальный экстремум). Значение показателя качества 3 (X) на принятом приближенном решении должно быть, естественно, ближе к оптимальному, чем во всех других экстремальных точках, которые удалось обнаружить. Для этого надо опробовать некоторое множество начальных приближений (точек) и либо получить сходимость их с удовлетворяющей точностью к одному решению, либо выбрать из всех полученных локальных решений наилучшее, которое и будет принято в данном случае за оптимальное. К числу дополнительных исследований, кроме счета с различными исходными точками, надо также отнести произвольные испытания [c.31]

Описание взаимного расположения молекул требует введения огромного числа координат, что преобразует одномерные (изотропные, сферически симметричные) зависимости потенц. энергии от координат (имеющие место, напр., для атом-атомного парного взаимодействия) в многомерные потенциальные поверхности М. в. В частности, для описания М. в. двухатомных молекул нужно ввести 6 параметров расстояние между центрами молекул, два угла между осями молекул и линией, соединяющей их центры, угол между плоскостями, в к-рых лежат линия центров и каждая молекула, а также два межъядерных расстояния молекул. При М. в. двух молекул, состоящих из щ и атомов, их потенциал зависит от 3(п1 Иг) — 6 независимых переменных. При рассмотрении М. в. достаточно сложных молекул возникает задача нахождения на мнегомерной иотенц. поверхности глобальных экстремумов среди большого числа локальных, связанных с перемещением и деформацией молекул. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...