Материал линейно упругий

Если материал линейно-упругий, то е = (z) E и перемещение любой точки поперечного сечения стержня [c.57]

Задача в постановке (3.6)—(3.8) является аналогичной тем, к которым приводят принципы виртуальной работы или минимума полной потенциальной энергии исключение составляет лишь то обстоятельство, что пробные функции перемещений и априори не удовлетворяют граничным условиям по перемещениям. В результате полная потенциальная энергия трещинного элемента увеличивается за счет члена, накладывающего условие (3.7). Принимая материал линейно-упругим, расширенный функционал получаем в таком виде [c.191]

Основу механики тел, содержащих трещины, обычно образуют два допущения трещину представляют в виде математического разреза в однородной сплошной среде среду полагают линейно упругой вплоть до разрушения. Это направление теории называют также линейной механикой разрушения (в отличие от нелинейной механики разрушения, где учитывают нелинейные свойства материала, в частности, пластические деформации у фронта трещин). Название линейная механика разрушения не вполне точно передает содержание ее предмета, поскольку все задачи механики разрушения, по существу, нелинейные (нахождение полей упругих напряжений вблизи трещин —предмет теории упругости, а не механики разрушения). В связи с этим употребляем, как правило, термины механика хрупкого разрушения и механика квазихрупкого разрушения в зависимости от того, считаем материал линейно упругим вплоть до разрушения или нет. [c.105]

Если предположить материал линейно-упругим, то напряжения, обусловленные инерцией и действием температурного поля, соответственно выражаются в виде [c.184]

Это уравнение можно использовать для того, чтобы найти перемещение Д произвольной точки конструкции, когда материал линейно упругий и можно применять способ наложения. Каждый интеграл характеризует вклад в полное перемещение одного из видов деформации. Таким образом, первый интеграл описывает влияние на перемещение Д осевых деформаций, второй — деформаций изгиба, а третий и четвертый — остальных видов деформаций. [c.427]

Характерной особенностью изотерм сжатия пространственно сшитых полимеров являются изломы на кривой р =р(АК). Наличие дефектов в полимерном материале имеет место на нескольких уровнях дефекты (дырки) между крупными надмолекулярными образованиями, дефекты меньших размеров внутри надмолекулярных образований, дефекты, обусловленные нерегулярностью упаковки на молекулярном уровне, и другие, зависящие от химического строения полимерного материала [151, 159]. При всестороннем сжатии изменение объема полимерного образца происходит за счет деформирования бездефектных областей и закрытия (залечивания) дефектов. Заметим, что в области дефекта (дырки) всегда имеет место сложное напряженное состояние. Если считать материал линейно-упругим и принять, что дефект имеет форму сферы, то при исследовании картины напряженно-деформированного состояния получим, что на поверхности дефекта напряженное состояние является весьма далеким от гидростатического. [c.182]

Используя теорему II.3 приложения II, заключаем, что для линейно-упругого материала решение вариационного неравенства (5.343) эквивалентно задаче минимизации функционала [c.288]

Изучение курса начнем с рассмотрения основ теории упругости, где предполагается материал идеально упругим н линейно деформиру- [c.9]

В случае линейного напряженного состояния плотность энергии деформации выражается площадью диаграммы деформирования материала (рис. 3.2, в — нелинейно-упругий материал, рис. 3.2, — линейно-упругий). В последнем случае Uq = 0,5 сте. Обобщая эту формулу на случай объемного напряженного состояния, получим [c.52]

Обратим внимание на важную особенность системы (4.17) в нее не входят константы упругости и и. Следовательно, при заданных на поверхности пластинки нагрузках р , ру (4.4) эти уравнения могут быть решены и дадут напряжения, не зависящие от упругих свойств изотропного линейно-упругого материала. Это положение обычно называют теоремой Леви. Она служит теоретическим основанием, позволяющим напряжения, найденные на моделях, изготовленных из какого-либо материала, переносить на геометрически подобные и аналогично загруженные детали конструкций, выполненные из другого материала. Например, в методе фотоупругости используются прозрачные модели, а результаты экспериментальных исследований переносят на стальные, бетонные и т. п. элементы конструкций. Подчеркнем, что строго это положение справедливо только для элементов с заданной поверхностной нагрузкой (а не перемещениями) и, как показывает более подробный анализ, только для односвязных тел, т. е. тел без отверстий. В телах с отверстиями для применимости теоремы Леви надо, чтобы выполнялось дополнительное условие, а именно на каждом из замкнутых контуров тела и отверстий главные векторы и момент поверхностной нагрузки должны быть равны нулю. [c.77]

Заметим, что для линейно-упругого материала площади двух заштрихованных фигур совпадают (рис. 10.9), в связи с чем потенциальная энергия и такого тела совпадает с дополнительной работой. Очевидно, что для нелинейно-упругого т(зла подобное равенство оказывается несправедливым. [c.308]

В книге использованы простейшие модели, описывающие свойства материалов. В разделе теории упругости это была модель линейно-упругого сплошного и однородного тела. Вопросы пластичности также рассматривались применительно к простейшим моделям пластического деформирования, а в явлении ползучести мы вынуждены были ограничиться лишь линейной ползучестью. В то же время, например, новые композитные материалы иногда не могут быть описаны с помощью рассмотренной выше модели ортотропного материала и требуют привлечения общей теории анизотропных тел, физические свойства которых описываются соответствующими тензорами параметров упругости. [c.389]

При решении задач 1.1 — 1.82 предполагалось, что деформации стержней весьма малы и схема сооружения практически не изменяется вследствие перемещений. В этом случае получаются линейные соотношения между внешними нагрузками, внутренними усилиями и перемеш,ениями. Ниже приводится ряд задач, в которых необходимо использование нелинейных зависимостей. Во всех задачах материал стержней считается линейно-упругим. Характерные осо-бенности.задач состоят в том, что при их решении а) должны использоваться более точные, чем линейные, соотношения между перемещениями и удлинениями стержней и б) при составлении условий равновесия необходимо учитывать изменение расчетной схемы, вызванное перемещениями. Такие расчеты называются расчетами по деформированному состоянию (по деформированной схеме, деформационными). В следующем параграфе приводятся задачи, связанные с расчетом гибких нитей, относящихся тоже к классу геометрически нелинейных систем. [c.37]

Следовательно, из трех упругих постоянных Е, О я V для изотропного линейно упругого материала независимыми являются лишь две. Поэтому на практике экспериментально находят две какие-либо величины, третью же вычисляют по (5.17). [c.132]

Поскольку значение нагрузки на диаграмме Р — о не зависит от места измерения смещений, то последние целесообразно измерять вблизи точек приложения нагрузки или вблизи средней точки линии фронта трещины. По синхронно регистрируемым диаграммам Р — Vp можно дополнительно к силовой характеристике Ki определять и деформационную 6i характеристику трещиностойкости материала. Такой подход позволяет комплексно, с единых методических позиций, оценивать трещиностойкость материала как в хрупком, так и в пластическом состояниях. Отметим, что описанная методика определения характеристики Ki строго обоснована только при испытании хрупких материалов, разрушающихся в линейно-упругой области. [c.741]

Здесь Р (а) — линейная функция от о и производных о до порядка п включительно с постоянными коэффициентами, Q e) — такая же функция от деформации е. К соотношению вида (17.5.9) можно прийти, если рассмотреть модель, составленную из большого числа пружин и вязких сопротивлений, соединенных в разных комбинациях последовательно и параллельно. Конечно, было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы, однако способ, основанный на построении реологических моделей, обладает некоторым преимуществом. Мы убедились, что в уравнении (17.5.8) должно быть J. < , при этом не было необходимости в обращении к модели, условие < Е, из которого следует первое неравенство, означает только то, что приложенная сила совершает положительную работу, расходуемую на накопление энергии деформации, а частично рассеиваемую в виде тепла. В общем случае (17.5.9) тоже должны быть выполнены некоторые неравенства, которые могут быть не столь очевидны. Но если построена эквивалентная реологическая модель из стержней, накапливающих энергию, и вязких сопротивлений, рассеивающих ее, то у нас есть полная уверенность в том, что для соответствующего модельного тела законы термодинамики будут выполняться. Второе преимущество модельных представлений состоит в том, что для любой заданной конфигурации системы может быть вычислена внутренняя энергия, представляющая собою энергию упругих пружин, и скорость необратимой диссипации энергии вязкими элементами. Имея в распоряжении закон наследственной упругости (17.5.1), (17.5.2), мы можем подсчитать полную работу деформирования, но не можем отделить накопленную энергию от рассеянной. Поэтому, например. Блонд целиком строит изложение теории на модельных представлениях. [c.590]

Для линейно-упругого материала стержня = Евг и [c.59]

Для линейно-упругого материала стержня возможны следующие эквивалентные записи объемной энергии деформации [c.59]

Если материал пластины линейно упругий, то из соотношений обобщенного закона упругости (8.1), отбросив в правых частях малую величину = Од, получим [c.371]

Если к концам кривого бруса прямоугольного поперечного сечения (рис. 19.13) приложены моменты М, то изгибающий момент в любом поперечном сечении имеет одно и то же значение. Решим задачу о напряженно-деформированном состоянии этого кривого бруса, изготовленного из изотропного линейно-упругого материала, при краевых условиях [c.457]

Если материал вполне упругий, то после разгрузки длина образца полностью восстанавливается, независимо от того, линейна или нелинейна его характеристика. Таким образом нелинейность зависимости а = а(в) и существенные отклонения от закона Гука в принципе не обязательно означают, что материал неупругий — материал может вести себя упруго, оставаясь нелинейно деформируемым. [c.136]

В дальнейшей ограничимся применением метода вариации напряжений для линейно упругого материала. Ограничения могут быть сняты, если вместо U подразумевать II. [c.337]

Установив, что материал подчиняется закону Гука, определяют величину модуля линейной упругости при сжатии по формуле (И, 14) [c.87]

При направленном распределении волокон композиционный материал является ортотропным и имеет три главные оси симметрии. Для балки, показанной на рис. 18, предполагается, что главные оси ортотропии совпадают с осями симметрии. Если далее принять, что связь между волокнами и матрицей не нарушается и последняя является линейно упругой, то для расчета балки можно воспользоваться методами сопротивления материалов. Поскольку балки рассматриваемой фермы используются наиболее часто и рассчитываются довольно просто, этот случай подробно будет исследован далее. В соответствии с работой [53] основное внимание уделено пределам применимости методов расчета и влиянию свойств композиционных Материалов на получаемые результаты. [c.135]

Для линейно-упругого материала наиболее общие соотношения упругости (физические соотношения) можно записать в тензорной форме [c.158]

На основании гипотез Дюамеля соотношения термоупругости для трехмерного линейно-упругого анизотропного материала могут быть записаны в виде [c.220]

В главе 4 представлен подробный обзор исследований, посвященных статике, устойчивости и динамике пластин из композиционных материалов. Рассмотрены феноменологические соотношения упругости для пластин из однонаправленных композиционных материалов, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, матрицы жесткости для тонких слоистых пластин, теории малых и больших прогибов тонких пластин, толстые слоистые и трехслойные плиты. Для всех типов пласТин приведены основные гипотезы, теоретические соотношения, подробно рассмотрены различные частные случаи. Анализ дан в предположении, что материал линейно упругий и установлены случаи, для которых это предположение нарушается. [c.10]

Макромеханика монослоя 274-276 - Закон деформирования в осях упругой симметрии 274 - Закон деформирования в произвольных осях 274-278 - Расчетная схема монослоя 274 Мартенсит 247 - Термоупругие переходы 247 Материал линейно-упругий - Связь между компонентами напряжения и деформации 36 Материалы композиционные - см. Композиты [c.609]

Для упругих материалов можно получить ряд формулировок для определяющих соотношений (2.17), переписалных в скоростях, в зависимости от используемых производных индифферентных тензоров напряжений s и деформаций е. Рассмотрим только оцну модель упругого материала — линейного. упругого изотропного материала в предположении малой деформации тела. Закон Гука для такого материала имеет две эквивалентные записи — в виде определяющих соотношений для гиперупругого и упругого материалов [c.85]

При новом нагружении материал деформируется линейно-упруго до тех пор, пока напряжения не окажутся равными Таким образом, для упрочняющихся материалов при повторных нагруя ениях характерно увеличение предела текучести и величина мо>] ет рассматриваться лишь как текущий предел текучести, который зависит от накопленной пластической деформации и позволяет разграничить процессы нагружения и разгрузки. [c.296]

Предположим, что из тех или иных соображений заданы геометрия стержневой системы и нагрузка на нее. Пусть материал стержней линейно упругий, т. е. подчиняющийся закону Гука, а возникающие в системе перемещения малы. Такие системы называются линейно деформируемыми. Известно, что к расчету таких систем применим принцип Е[езависимости действия сил, согласно которому результат воздействия ряда нагрузок различной природы можно рассматривать как сумму результатов воздействия каждой из нагрузок в отдельности. [c.79]

При деформирован ии материала между компонентами материала и компонентами деформаций существует связь. В упругих материалах эта связь является алгебраической, однозначвюй. В данной главе мы займемся простейшей моделью гипотетического тела, обладающего свойствами линейной упругости. Закон линейной [c.125]

Более крупные трещпны обнаруживаются визуально. На рнс. 1.9.2 изображена диаграмма деформирования гипотетического линейно упругого материала, в котором по мере растяжения воэникают трещины. Появление трещин эквивалентно уменьшению эффективной площади поперечного сечения, а так как при вычислении напряжения нагрузка делится на общую площадь, диаграмма при нагружении ничем не отличается от диаграммы пластичности. Разница обнаруживается лишь при разгрузке, которая следует закону упругости, но как бы с уменьшенным модулем, прямая разгрузки возвращается в начало координат, если все трещины полностью смыкаются. Но в процессе деформации может происходить выкрашивание перемычек между трещинами, что препятствует их полному смыканию после разгрузки, поэтому деформация исчезает не полностью и разгрузка следует некоторой кривой, которая схематически показана штриховой линией. Примерно так выглядит действительная кривая разгрузки для многих пластмасс. [c.37]

Следует отметить, что в последние годы появилось очень большое число монографий по механике разрушения. Упомянем семитомный переводной труд энциклопедического характера Разрушение , монографии Морозова и Партона, Черепанова, ряд переводных сборников. Многие авторы понимают под механикой разрушения именно и только механику распространения трещины. Но в теории трещин предполагается, что материал остается упругим и не меняет своих свойств всюду, кроме окрестности конца трещины, которая или стягивается в точку в линейной механике, или рассматривается как пластическая область или область больших упругих деформаций. Такая точка зрения далеко не исчерпывает многообразия реальных процессов разрушения. При переменных нагрузках, например, уже после относительно небольшого числа циклов в материале появляются субмикроскопические трещины, которые растут и сливаются в макроскопические трещины, приводящие к видимому разрушению. Не вдаваясь в детали микроскопической картины, этот процесс можно представить как накопление поврежденности, характеризуемой некоторым параметром состояния. Кинетика изменения этого параметра должна быть включена в определяющие уравнения среды. Такая точка зрения лежит в основе того, что можно назвать механикш рассеянного разрушения. Соответствующая теория развивается применительно к усталости металлов и длительной прочности при высоких температурах. [c.653]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Для получения упрощенных зависимостей, описывающих усредненные упругие характеристики двухмерноарми-рованного слоя, использованы подходы, изложенные в работах [4, 18, 49]. Сначала укажем на основные допущения, принятые при приближенном описании деформативных характеристик однонаправленного композиционного материала [49] 1 — компоненты армированного пластика (волокно и матрица) изотропны и линейно упруги и работают совместно на всех этапах деформирования 2 — единичный объем материала находится в условиях плоского напряженного состояния 3 — пренебрегается напряжениями, перпендикулярными к волокнам при действии нормальной нагрузки вдоль волокон 4 — деформации вдоль нагрузки при поперечном (к направлению волокон) растяжении-сжатии пропорциональны в каждой компоненте ее объемному содержанию в материале 5 — напряжения неизменны в объеме отдельных компонентов. [c.57]

Принцип размазывания , использованный в работе [21], отличен от процедуры сглаживания слабоизменя-ющихся функций, примененной в теории армированных сред [5, 6]. Он в большей степени подобен методу усреднения дискретно распределенных свойств армированной среды по всему непрерывному спектру направлений, который применялся в работах [43, 44] для определения эффективных констант композиционного материала. В работе [21], так же как н в работе [44], размазанная сеть волокон эквивалентна такой модели среды, в которой через каждую точку пространства проходят все направления волокон. Л1атрица жесткости такой среды отождествляется с матрицей жесткости однородного линейно-упругого материала. Плотность энергии деформации этого материала равна удельной энергии деформирования четырех стержней (волокон), создающих симметрию упругих свойсгв первой составляющей модели материала 4D. [c.80]

Соотношения (6.1)—(6.5) справедливы для материала с линейно-упругим законом деформирования. Для материала 8ерсагЬ-40 такое поведение в главных осях 123 ограничивается деформацией порядка 0,1% [211. [c.193]

В этой главе рассмотрена только линейно-упругая модель материала. Такая модель является первым приближением и может быть приемлемой или неприемлемой для данного композиционного материала. Например, как при быстром, так и при длительном нагружении материалов с полимерным связующим необходимо учитывать их упруговязкие свойства. Но для того, чтобы описать до разрушения деформирование композиционных материалов с пластичной металлической матрицей, необходимо учитывать пластические свойства. К сожалению, из-за сложности описания этих эффектов они зшитываются только в отдельных и немногочисленных теориях пластин. В последнее время для анализа сложных конструкций используют метод конечных элементов. Поскольку такой подход описан в гл. 7 т. 8, здесь он не обсуждается. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...