Компоненты деформаций Упругое изотропное напряжений

В этой книге излагается общая теория криволинейных координат и ее применения в механике, в учении о теплоте и теории упругости разъясняется преобразование уравнений теории упругости к криволинейной системе координат и в качестве примера исследуется деформация сферической оболочки. В заключительных главах Ламе подвергает критическому анализу принципы, на основе которых строится вывод основных уравнений теории упругости. Теперь он уже не одобряет вывод уравнений по способу Навье (с привлечением гипотезы молекулярных сил), а отдает предпочтение методу Коши (в котором используется лишь статика твердого тела). Затем он принимает гипотезу Коши, согласно которой компоненты напряжения должны быть линейными функциями компонент деформации. Для изотропных материалов принятие этой гипотезы приводит к сокращению кисла необходимых упругих постоянных до двух, находимых из испытаний на простое растяжение и простое кручение. Таким путем все не- [c.144]

Деформируемое тело, полностью восстанавливающее свои размеры и форму после снятия нагрузки, называется упругим. Для изотропного однородного упругого тела при малых деформациях и напряжениях, не превышающих некоторых определенных значений, принимаем линейные зависимости между компонентами деформации и компонентами напряжения. Эти линейные зависимости выражают собой закон Гука [c.180]

В этой главе рассматриваются задачи линейной теории упругости, выводы которой справедливы для тела однородного и изотропного, у которого между компонентами деформации и компонентами напряжений существует наиболее простая линейная связь (обобщенный закон Гука), а самые деформации предполагаются малыми, т. е. такими, когда компоненты деформации (относительные удлинения, относительные сдвиги) пренебрежимо малы по сравнению с единицей. [c.50]

Изотропный линейно-деформируемый материал характеризуется двумя константами - модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона v. В зависимости от этих двух величин находятся упругие постоянные, связывающие компоненты напряжений и деформаций при плоском напряженном состоянии следующим образом [c.72]

Связь между напряжениями и деформациями. Для изотропного упругого тела при малых деформациях обобщенный закон Гука устанавливает линейные соотношения между компонентами деформации и компонентами напряжений [c.38]

Деформированное состояние тела является неравномерным и меняется от точки к точке. Оно полностью определяется шестью компонентами деформаций тремя относительными линейными деформациями е ., е е. и тремя угловыми деформациями 7 . , Y ,,. Для изотропных материалов при малых деформациях в упругой стадии связь между деформациями и напряжениями устанавливается обобщенным законом Гука [c.405]

Если допустить, что Yi равно деформации в изолированном сферическом включении t-того компонента в бесконечной изотропной упругой матрице, подвергающейся в бесконечности сдвиговым напряжениям и имеющей упругие константы (пока неизвестные) гетерогенной композиции (рис. 3.3, а), то сдвиговая деформация в сферическом включении является однородной и равной [c.154]

В главе 8 было показано, что соотношения напряжение — деформация для изотропного абсолютно упругого твердого тела приводятся к виду (8.26) в компонентах телесных полей в случае деформации малой в том смысле, что телесные компоненты деформации (8.22) бесконечно малы. Выведем соответствующие уравнения для компонент пространственных полей. Воспользуемся градиентами вектора смещений и определяемыми уравнением [c.420]

Предположим, что только компоненты упругой деформации способствуют изменению. напряжения в соответствии с законом Гука в дифференциальной форме для изотропного твердого тела [c.182]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

Видное место в истории механики сплошной среды занимает Дж. Г. Стокс, давший в 1845 г. вывод уравнений теории упругости, опирающийся на строго континуальный подход (Эйлера — Коши) и естественную гипотезу о линейной зависимости компонент напряжения от компонент деформации. В результате для изотропного тела он получил две упругие постоянные и привел ряд веских соображений в пользу того, что они не могут быть сведены к од- [c.52]

Рассмотрим деформирование изотропного упругого тела. Предположим, что при перемене знака напряжений на обратный компоненты деформации также меняют лишь знак, другими словами, при растяжении и сжатии тело ведет себя совершенно аналогичным образом. Целесообразно выделить класс подобных тел среди всей совокупности изотропных тел и назвать их нормально изотропными. [c.106]

Известно, что ограничения, накладываемые результатами простейших экспериментов (связь между напряжениями и деформациями при растяжении-сжатии, чистом сдвиге и т.п.), не определяют полностью функцию Ф, поэтому, вообще говоря, можно построить сколько угодно зависимостей между компонентами напряжений и деформаций для упругого изотропного тела, приводящих при одноосном растяжении-сжатии к линейному закону Гука [3, 4]. [c.112]

Чтобы выразить через перемещение и, надо обратиться к соотношениям упругости (2.3) между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. При выбранных направлениях осей перемещение V в направлении у и —напряжение, перпендикулярное пластинке, равны нулю, так что из первого и третьего уравнений (2.3) [c.79]

До настоящего момента мы рассматривали изотропное тело, однако обычно приходится иметь дело с анизотропными телами. В этом случае деформация и механическое напряжение становятся тензорами, имеющими соответственно по шесть компонент. Упругих постоянных становится 36. [c.250]

Метод определения напряжения в пластинках ). Мы переходим к рассмотрению некоторых частных решений уравнений равновесия упругого изотропного тела, на которое действуют только поверхностные силы эти решения можно будет применить к исследованию вопроса о деформации пластинок под действием заданных сил. Л 1ы получим эти решения, рассматривая первую, данную в 92 систему уравнений, которые служат для определения компонентов напряжения. В этом параграфе было показано, что кроме уравнений [c.485]

Устанавливается связь между компонентами напряжения и производными от удельной энергии деформации по компонентам деформации. Отсюда выводятся, в наиболее общем виде, соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных упругих телах. [c.106]

Изотропные упругие тела вполне симметричны по своим механическим свойствам. Последнее вытекает из того, что для этих тел удельная энергия Ф не изменяется при повороте главных осей, если при этом значения главных компонентов деформации остаются без изменения. Значения главных напряжений в любой точке изотропного упругого тела полностью определяются значениями главных [c.149]

В заключение следует указать, что поскольку для следующих закону Гука анизотропных тел самого произвольного типа удельная энергия деформации является однородной квадратичной формой от компонентов деформации, для них остается справедливым ряд положений, доказанных ранее для линейно упругих изотропных тел. В частности, остается справедливой формула (12.6) и вытекающая из нее теорема Клапейрона (13.4), а также обобщение этой теоремы (13.3). Остается справедливой и теорема взаимности работ (что было показано в 15) и сохраняются в силе рассуждения при доказательстве теоремы единственности. Рассмотрение задач теории упругости анизотропных тел (в классической постановке) производится аналогично случаю изотропных тел, только при выражении напряжений через деформации приходится пользоваться не формулами (6.2) или (6.6), а более сложными линейными зависимостями (19.2), причем в последних (оставаясь в рамках допущений классической теории упругости) надо положить В дальнейшем заниматься [c.227]

Аналогично, но с другими индексами, записываются модули сил, приложенных к площадкам dS и dS3. Полная сила, действующая на выделенный объем, зависит как от ориентации площадок, ограничивающих этот объем, так и от внутренних напряжений в той области, где находится рассматриваемый объем. Эти напряжения описываются совокупностью девяти величин стц (i, к = 1,2,3), которые составляют тензор напряжений. В упругих телах деформации пропорциональны соответствующим напряжениям. Таким образом, сложные деформации упругих тел описываются системой линейных дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора деформаций и тензора напряжений. Материальные свойства изотропных сред представлены, как правило, коэффициентом Пуассона д. (1.4) и модулем всестороннего сжатия к (1.29). Анализ такой системы уравнений позволяет не только рассчитать деформацию тел, но и ответить на вопрос, устойчивы эти деформации или нет. [c.22]

Из курса сопротивления материалов известно, что в пределах упругости зависимости компонентов деформации от компонентов напряжения для изотропного тела имеют вид [c.37]

Уравнения движения. Понятия напряжения и деформации и терминология, установленная для изотропных твердых тел, применимы без изменений к анизотропным твердым телам так же, как и уравнения движения, выраженные через напряжения, согласно уравнению (2.3). Но изменяется связь между напряжениями и деформациями- Согласно закону Гука в его наиболее общей форме каждая компонента напряжения зависит линейно от каждой компоненты деформации, а константы пропорциональности интерпретируются как упругие константы. Для изотропной среды имеются только две независимые константы. В случае поперечно-изотропной среды закон Гука содержит пять независимых констант. Если для них использовать обозначения Лява, то связь напряжения и деформации запишется так [c.46]

Простейшим примером уравнения состояния может служить обобщенный закон Гука для модели линейно-упругой изотропной сплошной среды, формулирующий связь между компонентами тензора деформаций (2.3) и компонентами тензора напряжений (2.9) в виде линейных зависимостей [c.25]

Упругая сплошная среда. Линейно-упругая изотропная сплошная среда характеризуется уравнением состояния в виде закона Гука и представляет собой одну из наиболее простых классических моделей сплошных сред. Свойство упругости означает полную обратимость процесса деформирования при освобождении от нагрузки приобретенная упругим телом деформация исчезает. Математически это выражается формулировкой уравнения состояния в виде конечных однозначных функций (2.11), связывающих компоненты тензоров напряжений и деформаций. Если в формулах [c.25]

Если для изотропной среды имеются две независимые упругие постоянные, выражающие связь компонентов нормального и касательного напряжений с компонентами объемных и сдвиговых деформаций X = С23 = i3 = С12 и G = С44 = С55 = Сбб, [см. формулы (15), (16)], а в общем случае анизотропной среды ее упругие свойства в каждой точке характеризуются 21 независимой упругой постоянной, то упругие [c.63]

Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Очевидно, что для изотропного материала условие появления пластических деформаций не должно зависеть от выбора координатной системы. Тогда указанная функция должна быть функцией трех инвариантов тензора напряжений, в качестве которых можно взять, например, три главных напряжения [c.293]

В изотропном линейно-упругом теле, если не превзойден предел пропорциональности, в силу гипотезы Неймана компоненты тензора деформаций е/г/ связаны с компонентами тензора напряжений формулами обобщенного закона Гука [c.71]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Осветим бегло содержание книги Нейманна. В первых пяти главах он выводит основные уравнения теории упругости изотропного тела, вводя понятие компонент напряжения и деформации и устанавливая соотношения между ними через две упругие постоянные. Его обозначения для компонент напряжения были впоследствии приняты многими авторами в частности, их принял Ляв (А. Е. Н. Love). В следующих трех главах дается вывод основных уравнений с помощью гипотезы о молекулярном строении твердых тел. Излагаются работы Навье и Пуассона. Выводятся уравнения для неравномерного распределения температуры, исследуется теорема об единственности решений уравнений упругости. Следующая часть книги посвящена приложениям основных уравнений к частным задачам. Глава, в которой описывается [c.303]

Обозначим диаметр зерна поликристалла через В. При отсутствии текстуры всевозможные ориентировки зерен равновероятны, и объем V, линейные размеры которого намного больше О, будет практически изотропен. Если размеры макрообъема V малы по сравнению с размерами всего поликристаллического тела (т. е. V достаточно мал), то его можно рассматривать как физическую точку и, выбирая некоторую фиксированную, так называемую лабораторную систему координат ег(1 = 1, 2, 3), определить значения компонент тензоров макронапряжений а°. и макродеформаций е° в этой точке. Когда на поверхности поли-кристаллического тела заданы силы или перемещения, значения о°. и 6,°. определяют, решая соответствующую задачу теории упругости изотропного тела. Вследствие случайности ориентировок зерен, неоднородности их формы и разориентировки по границам значения компонент тензоров напряжений и деформаций ец для фиксированного зерна (микронапряжения и микродеформации) будут случайными величинами. При этом в лабораторной системе координат [c.387]

Изотропная среда. Компоненты деформаций и напряжений и постоянные, связанные законом Гука, зависят от ориентации осей координат. Если упругие постоянные среды Сщ не зависят от ориентации осей координат, или, как иногда говорят, упругие свойства среды одинаковы во всех направленияХу то ереду называют изотропной. Если среда не является изотропной, ее называют анизотропной. [c.23]

Число различных упругих постоянных в изотропной среде сводится к двум. Это нетрудно показать (см., например, Love [11, Sneddon, Berry [1 J, Филоненко-Бородич [11, Лехницкий [11), воспользовавшись формулой (5.8) и свойствами компонент деформаций и напряжений. Получаются соотношения [c.23]

Формулы (1) и дают искомую зависимость между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. Величины Я, [а представляют собой постоянные, характеризуюш ие упругие свойства данного тела ). Обозначения эти были введены Ламе (G. Lame, 1795—1870) поэтому Я и [X называются постоянными Ламе. Для каждого данного материала они должны быть определены экспериментально ). [c.64]

Коши ( au hy) Огюстен Луи (1789 - 1857) — известный французский математик, один и.э основоположников теории аналитических функций. Окончил Политехническую школу (1807 г.), Школу дорог и мостов (1810 г.) в Париже. В 1810 1813 гг. работал инженером на постройке порта в Шербуре. С 1816 г. профессор Политехнической школы, Сорбонны, Колеж де Франс (1848 - 1857 гг.). Написал более 700 фундаментальных работ по теории функций, математическому анализу, математической физике. Создал теорию функцнй комп-лексного переменного. Заложил основы теории сходимости рядов. Ему принадлежит постановка одной из ос новных задач теории дифференциальных уравнений, метод интегрирования уравнений с частными произвол ными первого порядка. В теории упругости ввел понятие напряжения, расширил понятие деформации и ввел соотношения между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для изотропного тела. Исследовал задачи о деформации стержней, в частности задачу о кручении. В оптике развил математические основания теории Френеля и дисперсии. [c.242]

Линза представляет собой сплошное тело. При наложении температурного поля оправа не позволяет линзе свободно изменять свои размеры, что приводит к возникновению в них напряженно-д )ормированного состояния. При этом вся система будет находиться в равновесии. После изменения на некоторую величину температура считается постоянной. Для сплошных тел, находящихся в равновесии, в теории упругости формулируются два принципа — начало возможных перемещений и начало возможных изменений напряженного состояния, которые устанавливают связь между компонентами напряжений и производными от удельной энергии деформации по компонентам деформаций. Это позволяет вывести в общем виде соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных упругих телах [26 28 33 34]. Если решение задачи основывается на принципе возможных перемещений (основная задача, или принцип Лагранжа), то в результате получаются перемещения для любой точки тела, для которого производится решение. Принципиально решения на основе обоих принципов равнозначны, оба решения базируются на приращении работы деформации, однако оптиков в большей степени интересует не само напряженное состояние, а то искажение формы детали, которое оно вызывает. Поэтому для расчета перемещений любых точек [c.157]

Упругий потенциал изотропного TfeJta. Если от системы координйт X, у, г перейти к системе х, у, г то компоненты напряжения преобразуются по формулам 49, а компоненты деформации — по формулам 12. Подставляя в гравнения (10) вместо Х ,, ... их выра еищ ч рез Х . .., е х . .ч мы получим линейные соотношения между,ко1 цв 0 спв [c.111]

Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет три независимых инварианта первой, второй и третьей степени относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций. Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инвариан- ты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора де-. формаций, если упругий потенциал представлен компонентами тензора деформаций (4.28). В силу того, что упругий потенциал является однородной функцией второй степени, он может содержать только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в первой степени, т. е. [c.68]

Рассмотрим теперь модель, в которой принимается, что точечный дефект находится в анизотропной упругой среде. Упругие свойства такой среды характеризуются уже пе двумя независимымп параметрами (например, X п ц) изотропной среды, а тензором модулей упругости число независимых компонент которого в общем случае равно 21. Будем рассматривать дефект как точечный источник деформаций и напряжений. Тогда в отсутствие объемных сил система трех уравнений равновесия такой анизотропной среды имеет вид [c.49]

Для получения упрощенных зависимостей, описывающих усредненные упругие характеристики двухмерноарми-рованного слоя, использованы подходы, изложенные в работах [4, 18, 49]. Сначала укажем на основные допущения, принятые при приближенном описании деформативных характеристик однонаправленного композиционного материала [49] 1 — компоненты армированного пластика (волокно и матрица) изотропны и линейно упруги и работают совместно на всех этапах деформирования 2 — единичный объем материала находится в условиях плоского напряженного состояния 3 — пренебрегается напряжениями, перпендикулярными к волокнам при действии нормальной нагрузки вдоль волокон 4 — деформации вдоль нагрузки при поперечном (к направлению волокон) растяжении-сжатии пропорциональны в каждой компоненте ее объемному содержанию в материале 5 — напряжения неизменны в объеме отдельных компонентов. [c.57]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...