Матрица упругих податливостей

Рассмотрим упругие свойства материала 4П в системе осей 1 2 3, связанной осью 1 с одним из направлений волокон. Положение оси 2 определяется углом ф, характеризующим поворот вокруг оси 1, от направления, перпендикулярного ей и проходящего через ближайшую вершину куба. Плоскость 2 3 перпендикулярна одному из направлений волокон, она же параллельна плоскости основания правильного тетраэдра, рассмотренного ранее. Матрица упругой податливости исследуемого материала, полученная путем классических преобразований, имеет в системе координат 123 восемь отличающихся друг от друга компонент [c.192]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

Следует отметить, что упругие постоянные Сц и составляющие матрицы упругой податливости зц взаимосвязаны. Решая систему шести уравнений (1.5) относительно шести компонент тензора напряжений, получаем эту взаимосвязь. Как видно из сопоставления зависимостей (1.5) и (1.6) с (1.14) и (1.15), число независимых постоянных жесткости и упругой податливости одно и то же для данного материала и оно определяется лишь степенью анизотропии материала. [c.14]

Практический интерес представляют деформационные свойства однонаправленно-армированного пластика при нагружении в плоскости армирования в направлениях, не совпадающих с направлениями упругой симметрии. Закон деформирования однонаправленно-армированного слоя при длительном. постоянном плоском напряженном состоянии в самом общем случае характеризуется матричным уравнением, аналогичным уравнению (1.29), где составляющие матрицы упругой податливости заменены соответствующими функциями времени [c.107]

Здесь ауй — элементы матрицы упругих податливостей, связывающих компоненты деформаций бх, Ъу, е , Уух, Ухг, Ууг] с компонентами напряжений Ох. Оу, а , Хуг, Ххг> С]ь — эле- [c.179]

Какой вид имеет матрица упругих податливостей Sjj у пьезокерамики, поляризованной по оси z (оси 3) [c.306]

Упругие постоянные dj следует рассчитывать по обратной матрице упругих податливостей [c.417]

Для того чтобы перейти от коэффициентов жесткости к более распространенным в инженерной практике модулям упругости и коэффициентам Пуассона, следует обратить матрицу 1Сц] и получить матрицу коэффициентов податливости [5 у] [93]. [c.162]

В табл. 15.4 (заимствована из упомянутой выше книги Дж. Пая) показана структура матриц упругих постоянных (упругих жесткостей и упругих податливостей), соответствующих всем тридцати двум видам симметрии кристаллов 1). В этой таблице черным кружком показаны отличные от нуля элементы матрицы, точкой — равные нулю элементы. Одинаковые по величине и знаку [c.476]

В рассматриваемом случае проблему представляет величина Sij p). Эта величина зависит от армирующего материала, материала матрицы, содержания армирующего материала в композите, распределения наполнителя, сцепления упрочняющего материала с матрицей. Она представляет собой некоторое преобразование податливости при ползучести, и при помощи упругой податливости при сдвиге J(/) и объемной упругой податливости В(0 может быть представлена в виде [c.136]

Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например, композиционный материал, состоящий из упругого связующего, регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами (рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным. В системе координат (Xi, х , х ) плоскость (х , Xs) можно считать плоскостью упругой симметрии матрица коэффициентов податливости в этом случае будет иметь структуру (1.11). Еще более полно симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется в системе координат (х1, хг, Xj) плоскость х, Хг) тоже можно считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет структуру (1.12). Более того, при равномерном распределении армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех направлениях в плоскости (x l, Хз) идентичны. Теперь становится ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид [c.13]

Основное уравнение в методе переменных параметров упругости теории пластического течения [уравнение (9.11.19)] соответствует соотношениям упругости анизотропного тела при наличии обобщенной температурной деформации. Матрица пластической податливости содержит переменные параметры упругости , которые в первом приближении принимаются по напряжениям предыдущего этапа нагружения. При расчете очередного этапа нагружения предполагается выполнение условий (9.11.9) и (9.11. 10). При нарушении хотя бы одного из условий расчет этапа проводится сначала, причем приращение де рмаций пласти"шости не учитывается. [c.201]

ОТНОСЯТСЯ В ОСНОВНОМ химическая инертность армирующего компонента (обычно волокна) при умеренных температурах изготовления материала, а также большая упругая податливость матрицы. [c.15]

Прочность материала не является некоторой функцией, усредненной по всему испытуемому сечению, как, например, упругая податливость. Прочность скорее является функцией точки и может быть определена как среднее напряжение в наиболее слабой точке поперечного сечения, которое вызывает разрушение материала. Обычно прочность материала определяется напряжением, рассчитанным по первоначальному поперечному сечению (техническое напряжение), а не напряжением, рассчитанным по площади в данный момент. В случае статических растягивающих напряжений критерий разрушения прост и определяется наиболее высоким или предельным растягивающим напряжением по первоначальному сечению, которое может выдержать материал образца. Для высокомодульных композиций с металлической матрицей этим разрушением заканчивается четвертая Стадия деформации, как описано в предыдущем разделе. В результате, по мере того как нагрузка увеличивается, несущая способность снижается вследствие разрушения отдельных волокон. [c.26]

Как видим, элементы матрицы податливости [6] представляют произведения пар базисных векторов и в этом смысле аналогичны матрице упругой жесткости [/С1. Однако, если элементы [/(] представляют метрическую матрицу базиса подпространства явных параметров, то элементы [б] — базиса р скрытого подпространства Y. Найдя из выражения (9.19) набор [х], из (9.17) получаем упругое решение. [c.213]

Тензор упругих податливостей также можно представить в виде матрицы [/]. Например, для ортотропного упругого тела эта матрица в так называемых технических постоянных имеет вид [c.20]

Для линейно-упругого тела, материал которого при деформировании подчиняется закону Гука (1.11), деформации е определяются через напряжения е = С- о, где — матрица коэффициентов податливости. Тогда вариационная формулировка принципа возможных изменений напряженного состояния, соответствующая (1.65), принимает вид [c.19]

Коэффициенты составляющие матрицу упругих характеристик, называются коэффициентами податливости. Отметим, что матрица упругих характеристик симметрическая, т.е. Ац = [c.344]

Эта матрица симметрична (зу, = 5у, = е, ) и в общем случае содержит 45 коэффициентов, включая 21 упругую податливость, 6 [c.232]

Приведем примеры конкретных преобразований. Пусть в кристаллофизическом базисе представлены тензоры коэффициентов теплового расширения и упругой податливости и соответствующие величины из системы отсчета и, V, т переводятся в локальную систему координат I, т, п с помощью ориентационных матриц т) или направляющих косинусов т] р. Согласно изложенному выше тензоры теплового расширения и упругой податливости в базисе /, т, п будут иметь ковариантные компоненты и С крд, соответственно равные [c.11]

Для таких гетерогенных объектов, как двухфазные сплавы, следует различать еще свойства матрицы и включения. Обозначим коэффициенты теплового расширения включения в кристаллофизическом его базисе как 7 , а для матрицы сохраним прежнее их наименование у 1 . Точно также будем различать упругие податливости включения Са-р и матрицы С°/гр,. Тогда нетрудно видеть, что для гетерогенной среды уравнение (1.71) имеет вид [c.30]

Величины S il—5бб называют упругие податливости. Матрица величин Sij также симметрическая, поэтому среди 36 величин ij или Sij лишь 21 независимая. У кристаллов в зависимости от симметрии количество независимых постоянных уменьшается в такой последовательности [c.254]

Величины СаЗ называют модулями упругости (или постоянными упругой жесткости). Элементы матрицы 5 порядка 6x6, обратной к матрице С, называют упругими постоянными (или постоянными упругой податливости). [c.74]

Свойства П. м. характеризуются следующими основными величинами матрицами пьезомодулей й и диэлектрич. проницаемости 8, коэфф. упругой податливости 8 , скоростью распространения звуковых волн с (продольных, сдвиговых, поверхностных), тангенсом угла диэлектрич. потерь [c.278]

При принятой упругой симметрии элементы матрицы податливости среди индексов которых встречается один или три раза индекс 3 , равны нулю. [c.199]

Модули упругости ij и податливости образуют матрицы 6X6, симметричные вследствие существования потенциала. Таким образом, число упругих постоянных равно 21. [c.242]

Матрица упругости (упругой податливости), преобразующая компоненты напряжения в компоненты деформации, сохраняет свой вид в любой системе осей. Действительно, и в уравнениях (7.8), записанных для главных осей, и в уравнениях (7.12), справедливых для произвольных орто1 ональных осей, матрица упругой податливости одна и та же [c.498]

Сведение трехмерноармированной среды к однонаправленно-армированной. Суть третьего подхода заключается в том, что арматура материала, уложенная в двух направлениях, усредняется со связующим в макроскопически однородную анизотропную матрицу, упругие характеристики которой определяют по расчетным зависимостям для ортогонально-армированного материала. Расчет упругих констант последнего подробно изложен в работе [49]. Анизотропная матрица представляется пронизанной волокнами третьего направления. Выражен ния для расчета упругих констант трехмерноармированного композиционного материала, полученные на основе подхода работы [49], приведены в табл. 5.2. Верхние индексы в скобках при упругих постоянных обозначают направление укладки арматуры, нижние — компоненты матрицы податливости. [c.125]

Для подтверждения справедливости данного выше подхода обсудим в оставшейся части этого раздела статистические вопросы разрушения при растяжении отдельного класса композитов, состоящих из параллельно расположенных линейных непрерывных жестких, прочных и хрупких упрочняющих элементов, разделенных материалом матрицы, упругая или пластическая податливость которой значительно выше податливости упрочняющих элементов. Кроме того, предцоложим, что композит состоит из листов, толщина которых много меньше других размеров, и нагружение происходит только в плоскости листа. Хотя этот вид слоистой микроструктуры является весьма частным среди большого многообразия присущих композитам видов микроструктуры, но он имеет широкое применение при конструировании легких тонкостенных оболочек и конструкций из тонких панелей. Эти материалы мы будем называть слоистыми композитами в отличие от композитов, под которыми мы будем подразумевать материалы со структурой более общего вида. [c.178]

Верхние индексы в (15.51) указывают на факторы, остающиеся неизменными при определении индексируемой величины так, например означает, что упругие податливости определены при 1) Е = onst и Т = onst (вследствие отмеченных равенств S — изотермические податливости при постоянном электрическом поле). Адиабатические податливости при постоянном электрическом поле обозначаются так (верхний индекс S соответствует энтропии при адиабатическом процессе 5 = onst). Рядом с линиями на рис. 15.6, соединяющими окружности, показаны символы матриц коэффициентов в зависимости между величинами, соответствующими окружностям. Так, например, на линии, соединяющей а и е, показаны S и С. Для получения е, обусловленного <т, имеем уравнение e = So , а для получения а, обусловленного е, — уравнение о = Сё аналогично для получения е, обусловленного Е, имеем уравнение e = D E. [c.469]

Если линейно-упругая система находится под воздействием усилий, изменяющихся во времени по гармоническому закону с частотой (О, то по гармоническому закону с этой же частотой изменяются и перемещения любых ее точек. Тогда зависимостью вида (1.1) мож но связать амплитудные значения перемещений и усилий. Поскольку период системы содержит массы, линейные операторы зав1исят от (квадрата частоты, приобретая форму интегральных операторов с га.рмоническими функциями влияния или операторов в виде матриц динамических податливостей. [c.7]

П. м. используются для изготовления пьезоэлектрических преобразователей раэл. назвачения в гидролокации, УЗ-технике (см. Ультразвук), акустоэлектронике, точной механике и др. Для изготовления пьезоэлемента выбирают П. м., сопоставляя их параметры и характеристики, к-рые определяют эффективность и стабильность работы пьезоэлектрич, преобразователя с учётом его назначения и условий эксплуатации, П. м. характеризуются след, величинами (табл.) матрицами пьезомодулей d и относительной диэлект-рич. проницаемости е , коэф. упругой податливости SE, скоростью распространения звуковых волн с, тангенсом угла диэлектрич. потерь tgo, механич. добротностью Qmi плотностью р, предельно допустимой темп-рой 0 (темп-ра Кюри для сегнетоэлектриков). Во мн. случаях оценивать П. м. удобнее след, параметрами 1) коэф. зл.-механич. связи (для квазистатич. режима, когда длина звуковой волны существенно превосходит размеры пьезоэлемента) [c.189]

Анизотропия самого общего вида у реальных материалов, когда матрица коэффициентов податливости ISl содержит 21 независимый коэффициент, — явление редкое. Обычно структура материала такова, что его упругие свойства в некоторых направлениях идентичны. В этих случаях число независимых коэффидиентов в матрице коэффициентов податливости (и, следовательно, в матрице коэффициентов жесткости) уменьшается, и при надлежащем выборе системы координат упрощается запись закона Гука. [c.9]

Здесь fi, Е , Ез — модули упругости в соответствующем направлении Gi2, Gi3, G23 — модули сдвига соответственно в плоскостях (xi, Х2), (xi, Хз), (ха, Хз) v ,-— коэффициенты Пуассона первый индекс указывает направление действующего напряжения, а второй — направление возникающей при этом поперечной деформации. > уЧисло независимых коэффициентов в (1.12А) сохраняется равным девяти, поскольку вследствие симметрии матрицы коэффициентов податливости выполняются равенства [c.11]

Матрицы упругой и пластической податливости определяются соотношениями (9.11.20) и (9.11 21). Приращение деформаций связанное с изменением температуры, вычисляется по равенству (9.11.22). Приращение деформации ползучести опредезшется с помощью зависимостей (9.11.23) и (9.11.25) [c.203]

Если в выражении (3.47) заменить sie и see соответственно упругими характеристиками Si6(oo) и 5бв(оо) согласно зависимостям (3.45), то можно определить максимальные значения напряжений ххуУ после затухания процесса релаксации. Задача по определению составляющих матрицы вязкоупругой податливости двухнаправленно-армированных пластиков упрощается, если предположить, что напряжения в процессе ползуче- [c.110]

Необходимым условием существования пьезоэлектричества является отсутствие центра симметрии. Таким образом, пьезоэлектрические материалы существенно анизотропны. Пьезоэлектричество, по определению, предполагает наличие связи ме кду упругими и диэлектрическими свойствами, и поэтому описание пьезоэффекта невозможно без привлс чения диэлектрических и упругих постоянных. Комплекс этих постоянных в наиболее общем случае среды, лишенной симметрии, оказывается очень большим он никогда пе был определен для несимметричных кристаллов. Коэффициенты могут быть представлены матрицей 9 X 9, каждый столбец которой связан с одной из независимых переменных напрягкения (компоненты упругого напряжения или электрического поля), а каждая строка — с одной из зависимых переменных деформации (компоненты деформации или электрической индукции). Эта матрица симметрична и в общем случае содержит (и- + п)/2 = 45 коэффициентов, представляющих собой 21 упругую податливость х ( , у — 1, 2,. . ., 6), 6 диэлектрических проницаемостей е(т ( , тп = 1, 2, 3) и 18 пьезоэлектрических модулей (г = 1, 2, 3, к = I, 2,. . ., 6). Индекс Е обозначает, что упругие податливости определены при постоянном электрическом поле, а индекс Т указывает на постоянство упругих напряжений. Упругоэлектрические свойства можно описать [c.206]

Основное уравнение задачи (7,320), разумеется, упрощается для ортотропного бруса. В этом случае в рмуле закона Гука (7.304) модули упругости представляются матрицей (3.38) с числом независимых упругих постоянных, равным девяти. Упругие постоянные tjt, и Аkiij (в случае ортотропного тела), у которых среди индексов встречаются один или три раза индекс 1 , 2 или 3 , равны нулю. Поэтому при кручении ортотропного бруса коэффициент податливости Л assi = О и равенства (7.311) упрощаются - [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...