Напряжения Выражение через деформации

В формулах (1.8.1) составляющие деформации выражены через составляющие напряжений. Часто бывает необходимо иметь обратные зависимости, т. е. напряжения, выраженные через деформации. Для этой цели, разрешая формулы (1.8.1) относительно напряжений, получим [c.23]

При использовании деформационной теории, согласно которой связь между напряжениями и деформациями является конечной нелинейной, полная система уравнений может быть приведена к разрешающим уравнениям в перемещениях или напряжениях, аналогичным уравнениям Ламе или Бельтрами — Мичелла в теории упругости. Для решения конкретных задач с успехом применяются различные варианты метода последовательных приближений. Возможна, например, следующая схема этого метода (метод дополнительных нагрузок). Напряжения, выраженные через деформации по формуле (10.15) [c.745]

Будем под записью о понимать, что тензор напряжений выражен через деформации по формулам (4.1), а под записью о , что определяющие соотношения выбраны в виде (4.4) [c.58]

Напряжения, выраженные через деформации, имеют [c.197]

Решение в перемещениях строится на базе уравнений равновесия (19.3), в которых, как и в случае плоской деформации, напряжения следует заменить их выражениями через деформации по соотношениям упругости (19.13), а деформации заменить их выражениями через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). [c.443]

Уравнения закона Гука могут быть представлены и в другой форме, в которой каждый из компонентов напряжения выражен через компоненты деформации. Для этого достаточно уравнения [c.503]

Используя закон Гука в форме (5.3.2) или (5.3.3), можно легко найти выражения U r через напряжения или через деформации [c.120]

Подставляя в уравнение (4.2.46) вместо напряжений их выражения через деформации, полученные из первых двух соотношений [c.101]

Эти условия все же не дают гарантии того, что данные поля перемещений являются соответствующим решением задачи. Для ы и у должны быть выполнены граничные условия на перемещения, а поле напряжений, выраженное через ы и у (полученное путем дифференцирования этих компонент, согласно связи деформаций с перемещениями и подстановки в зависимость напряжений), должно удовлетворять граничным условиям для напряжений. [c.120]

Полученное уравнение неразрывности деформаций, выраженное через напряжения, иногда называют уравнением Леви. [c.132]

Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа, записанный в полярных координатах. Уравнение совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений, примет вид [c.34]

Уравнение (4) удобно записать по-иному, заменив по закону Гука деформации их выражениями через напряжения [c.109]

Принцип Кастильяно в интегральной форме выражает условия совместности деформаций тела. Если функционал Кастильяно выразить только через напряжения (о), то отвечающие ему уравнения Эйлера дадут для постоянных объемных сил уже знакомые нам уравнения Бельтрами (2.42) — условия совместности деформаций, выраженные через напряжения. [c.64]

Уравнение (4.19) или, что то же, (4.20) называется бигармоническим уравнением плоской задачи. Оно представляет собой условие совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений ф. [c.78]

Как видели, функция напряжения ф определяется из условия совместности деформаций, выраженного через напряжения + [c.112]

Далее установим закон изменения зоны пластических деформаций в сред- ей трети балки. Изгибающий момент на этом участке, выраженный через нормальные напряжения (рис. б), равен УИ =0тЬ/1 1——yV(3h )]. Приравнивая что [c.143]

Подставляя в уравнение (3.7.1) по формулам (1.8.3) вместо компонентов тензора напряжений компоненты тензора деформации, выраженные через перемещения с помощью уравнений Коши (1.7.1), и учитывая независимость друг от друга аппроксимирующих функций , (р , ф , получим три приближенные системы (т + л- -/) уравнений в частных производных по трем переменным относительно (т + п + /) искомых функций /и П, [c.73]

Совершенно такой же результат будет получен, если система собрана без усилий при температуре и, а после этого средний стержень нагрет до температуры t > to. Действительно, безразлично в каком порядке осуществляются нагревание стержня и сборка системы. Можно представить себе, что сначала средний стержень нагрет, в результате чего он приобрел удлинение — a t — to)l, и после этого произведена сборка. Заменяя в полученных выше формулах величину б ее выражением через температуру (см. 2.9), получим решение задач о температурных напряжениях. Заметим, что для задач о температурных или монтажных напряжениях в статически неопределимых системах можно применять полностью указанную в начале этого параграфа схему, т. е. составлять уравнения совместности деформаций обьганым способом, но при выполнении пункта 2 учитывать, что полная деформация стержня состоит из упругой деформации и вынужденной несовместной деформации б, которая может происходить от температуры или от несоответствия действительного размера элемента проектному размеру. Поэтому вместо (2.3.1) нужно использовать следующие соотношения [c.54]

Предположим, что модуль упругости и коэффициент а ив зависят от температуры (это верно лишь приближенно, в узком диапазоне температур). Выражение (2.9.6) для напряжения через деформацию и температуру получается по формулам (2.9.3), о есть производная свободной анергии по деформации. Поэтому, интегрируя (2.9.6), найдем выражение для свободной энергии [c.68]

Функция F называется функцией напряжений. Выражая компоненты деформации через напряжения, а следовательно, через функцию F и подставляя эти выражения в единственное теперь условие совместности из системы (7.3.5) [c.342]

Выражение составляющих деформации через составляющие напряжений [c.32]

Так- же, жак уравнения равновесия, преобразуем условия на поверхности (4.2), заменив в них напряжения через перемещения. Для этого, в первое уравнение,(4.2) подставим выражения напряжений через деформации (4.6). Получим . ......... [c.44]

Выражение напряжений через деформации. Выполнив с учетом (8.4) преобразование в первом из соотношений (8.1), получим [c.145]

Соотношения (8.13) называются формулами Грина и дают выражение напряжений через деформации в нелинейно-упругом теле при малых деформациях. Более строго можно установить, что соотношения (8.13) справедливы для конечных деформаций при малом изменении объема. [c.148]

Потенциальная энергия. Наи лее простую форму принцип возможных перемещений в механике деформируемого твердого тела принимает для линейно-упругих сред. Пусть имеет место обобщенный закон Гука (8.1), что дает основание заменить в выражении b Vv напряжения деформациями, которые предполагаем выраженными через перемещения. Тогда согласно формуле (9.4) [c.194]

Решение задачи в перемещениях строится на базе уравнений, получающихся путем замены в уравнениях равновесия (19.3) напряжений T.V, ст,/, Хху деформациями с использованием соотношений упругости (19.1) с последующей заменой деформаций их выражением через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). Это дает два дифференциальных уравнения в частных производных вида [c.441]

Решение задачи в напряжениях. В этом случае к уравнениям равновесия (19.27) следует добавить условие совместности деформаций, выраженных через напряжения. Так как процедура получения уравнений совместности, состоящая в исключении перемещений и, V из выражений деформации (19.28), трудоемка, то получим уравнение совместности иным путем. [c.455]

Шесть компонент напряжений выражаются через шесть компонент деформаций с помощью формул (11) совместно с (6). Чтобы записать эти выражения с помощью числовых индексов, нам потребуется таблица [c.32]

Можно записать формулу (к) полностью или через компоненты напряжения, или через компоненты деформации. Выбирая последнее, удобно воспользоваться законом Гука в форме (11) и (6). Далее для подынтегрального выражения в (к) находим [c.282]

Заменим в этой формуле относительные деформации их выражениями через напряжения [см. обобщенный закон Гука — формулы (3.21)] [c.111]

Подставив выражения для деформаций (4.6) в (4.5), после преобразований получим уравнение совместности деформаций, выраженное через напряжения [c.69]

Следует отметить, что уравнение совместности деформаций, выраженное через напряжения (4.8), (4.9) или функцию напряжений (4.11), имеет такой же вид и в случае плоской деформации. [c.70]

Уравнение совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений ф и потенциал С/, можно представить следующим образом [c.70]

Уравнение совместности деформаций (5.17), выраженное через функцию напряжений ф с учетом того обстоятельства, что ф является только функцией г, примет следуюш ий вид [c.96]

Получите уравнение совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений ср, в случае осесимметричной деформации. [c.118]

Тип напряженного состояния и обозначение главных деформа1 ий Величина Un, выраженная через деформации Величина Uo выраженная через напряжения [c.15]

Вернемся к нашему опыту, результаты которого представлены в виде диаграммы на рис. VI. 1. Если мы после того, как будет достигнута точка / на кривой, разгрузим образец, то произойдет некоторая упругая деформация, соответствуюш,ая разности абсцисс в точках / и g, а деформация og будет пластической или остаточной. Затем снова произведем нагружение до величины, соответст-вуюш,ей точке /, при этом мы приблизительно достигнем той же точки (обозначенной на рисунке h) за счет упругой деформации образца с тем же самым модулем упругости, что и при нагружении. Это видно на рисунке, где наклон линии gh совпадает с наклоном линии оа. Таким образом, кривая а — с — Ь — е является геометрическим местом точек всех пределов текучести, соответствующих последовательно возрастающей деформа ц и и Тем не менее, как уже ясно по причинам, с которыми мы уже сталкивались раньше в двух других случаях предел текучести не могкет непосредственно зависеть от деформации. Мы упоминали в параграфе 10 о повышении предела текучести материала при кручении стержня. Совершенно ясно, что это явление не может зависеть от того, закручиваем мы стержень в нанравлении часовой стрелки или против часовой стрелки. Поэтому предел текучести Тт должен быть четной функцией деформации сдвига у, т. е. функцией Y Вспомним (см. главу IV, параграф 5), что величина тт сама вычисляется, как корень квадратный от другой величины предельной упругой потенциальной энергии, которая сама есть четная функция напряжения. Полезно вспомнить и тот факт, что нри повышении предела текучести затрачивается р а б о т а на пластическую, по не полную деформацию. Представим себе, что существует такой гигант, который обладает достаточной силой для того, чтобы месить мягкое железо, так как мы месим мучпое тесто. Дадим ему стальной шар, которому он будет придавать любую форму, а в конце восстановит сферическую форму. Когда он вернет нам шар, деформация его будет нулевой все искажения формы — ноложительные и отрицательные — уничтожат друг друга. Однако, работа деформации будет все время возрастать до определенной величины. Если мы предположим, для того чтобы сделать наши рассуждения более определенными, что деформация представляет собой простые сдвиги, в положительном или отрицательном нанравлении, то работа, выраженная через деформацию, в соответствии [c.338]

Для уяснения основ теории пластичности, а также при решении практических задач большую роль играют вариационные принципы теории пластичности. С их помощью можно описать напряженное и деформированное состояние тела в форме требования минимума некоторого функционала при некоторых дополнительных условиях. В качестве последних используются не все уравнения и неравенства задачи, а лишь часть их. Напомним, что вариационные принципы для рассеивающих сред, в которых варьируются кинематически допустимые поля деформаций и статически допустимые поля напряжений, выраженные через упругий потенциал и потенциал рассеивания, были введены еш е Г. Гельмгольцем и Ф. Энгессе-ром. Для идеально пластического тела из принципа Гельмгольца следует, 265 что действительное поле напряжений обращает в максимум мощность поверхностных сил Но поскольку, согласно закону сохранения энергии, эта мощность равна мощности внутренних сил и сил инерции, то и эта последняя должна стремиться к максимуму. Обобщение принципов Гельмгольца и Энгессера на вязко-пластическую среду получили А. А. Ильюшин , а позднее Дж. Г. Олдройд и В. Прагер. [c.265]

Тип напряжённого состояния и обозначение главных напряжений и главных деформаций Величина 1 , выраженная через деформации 1 Величина ивыраженная через напряжения [c.20]

Напряжение, выраженное через полную деформацию (девиаторщто), [c.51]

Б2сли принять объемные силы g = on.st или равными нулю и соответствующим образом использовать при указанных преобразованиях уравнения равновесия, то шесть уравнений совместности деформаций, выраженные через напряжения, приводятся к виду [c.45]

Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет три независимых инварианта первой, второй и третьей степени относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций. Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инвариан- ты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора де-. формаций, если упругий потенциал представлен компонентами тензора деформаций (4.28). В силу того, что упругий потенциал является однородной функцией второй степени, он может содержать только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в первой степени, т. е. [c.68]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Выражение (117) можно сравнить с выражением а , которое дает соотношение (109) при этом следует обратить внимание па множители 2 в трех последних членах. Когда испольяуются индексные обозначения, в частности в уравнениях (е) из 7, правая часть уравнения (117), выраженная через e./j, содержит соответствующие множители 2. Такая форма удобна, когда рассматриваются изменения координат, а напряжения и деформации представляются тензорами второго ранга. [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...