Закон Гука для анизотропных тел

Система уравнений (2.1), выражающая закон Гука для анизотропного тела, может быть записана в матричной [c.38]

Какое количество упругих постоянных имеется в уравнениях закона Гука для анизотропного тела в самом общем виде [c.49]

Обобщенный закон Гука для анизотропного тела можно сформулировать так в каждой точке тела компоненты тензора деформаций являются однородными линейными функциями компонент Oij тензора напряжений. [c.8]

Сокращенная тензорная запись. Формулы (2.5), выражающие закон Гука для анизотропного тела, можно записать значительно короче, если воспользоваться приемом сокращенной (так называемой тензорной) записи. [c.32]

Обобщенный закон Гука для анизотропного тела [c.384]

Известно, что под действием динамических внешних нагрузок деформация может сопровождаться образованием тепла и другими физическими эффектами. Следуя упрощающим положениям классической теории упругости [3531 такими эффектами пренебрегаем. Тогда тензоры напряжений и деформаций связаны между собой законом Гука. Для анизотропного тела он имеет вид [c.195]

Закон Гука для анизотропных тел [c.218]

ЗАКОН ГУКА ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ [c.125]

Соотношения (3.1) и (3.2) описывают так называемый обобщенный закон Гука для анизотропного упругого тела. [c.17]

Упругие постоянные в общем случае. Такие материалы, как естественные кристаллы и дерево, не являющиеся изотропными, называются анизотропными. Закон Гука для таких тел выражается аналитически соотношениями (10) 66. На языке матриц эти уравнения принимают внд [c.116]

Для анизотропного тела в общем случае закон Гука записывается в форме [c.254]

Для анизотропного тела вводятся тензор-операторы четвертого ранга, заменяющие упругие константы в законе Гука. Соответственно закон наследственной упругости записывается в одной из следующих форм [c.593]

Обобщенный закон Гука для изотропного и анизотропного тела [c.38]

Упражнение 3.18. Доказать, что закон Гука (3.1) для анизотропного тела можно записать отдельно для шаровой части тензора напряжений а и отдельно для его девиатора 5 в виде [c.24]

Упражнение 3.19. Доказать, что закон Гука (3.2) для анизотропного тела можно записать в виде [c.24]

Заметим, что условно, исключительно для простоты изложения, мы можем называть прямолинейно-анизотропным и неоднородное тело, если уравнения обобщенного закона Гука для него задаются в декартовой системе координат А а — заданные функции х, у, г). [c.25]

Согласно наследственной теории ползучести уравнения связи между напряжениями и деформациями ри сложном напряженном состоянии имеют тот же вид, что и закон Гука для упруго-анизотропного тела. Разница проявляется в том, что деформация сдвига определяется не только модулем сдвига, но и некоторой функцией наследственной ползучести, зависящей от времени. [c.45]

Уравнения термоупругости для анизотропного тела. Для тела с упругими свойствами, различными в разных направлениях, например для стеклопластиковых материалов, обобщенный закон Гука записывают как [c.124]

Связь (3.7) носит название закона Гука. Константы К, р, называются модулями всестороннего сжатия и сдвига соответственно. Когда деформации не малы и необходимо учитывать нелинейные эффекты, связь сгг (С г ) следует дополнить членами более высокого порядка (например, квадратичными по Um). Для анизотропных тел (кристаллов) закон Гука записывается в виде где — тензор четвертого порядка. [c.29]

Следует отметить, что теорема Бетти о взаимности работ может быть подобным же образом доказана и для любого анизотропного тела, для которого обобщенный закон Гука в самом общем виде может быть представлен выражениями (2.2). [c.45]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

Классическая теория упругости основана на обобщении закона Гука, который вначале был сформулирован для пружины или пружинящего тела . Так называемый обобщенный закон Гука устанавливает, что в каждой точке линейно-упругого трехмерного тела шесть компонент тензора напряжений = ji линейно связаны с шестью компонентами тензора деформаций = e . Постоянные, связывающие компоненты напряжений и деформаций, характеризуют упругие свойства тела. Пока предположим, что эти свойства не зависят как от положения, так и от ориентации, т. е. будем считать, что тело однородно и изотропно. Некоторые аспекты линейной теории упругости для однородных анизотропных тел будут рассмотрены в дальнейшем. [c.23]

Связь между напряженными и упругими деформациями для трансверсально анизотропного тела выражается законом Гука [118, 175] [c.160]

Сделаем предположения относительно свойств материалов слоев. Будем полагать, что материал каждого слоя оболочки в процессе деформахщи остается упругим и подчиняется обобщенному закону Гука для анизотропного тела. Учет анизотро- [c.9]

Найдем функциональногинвариантвые решения уравнений анизотропной теорий упругости. Закон Гука для анизотропного тела имеет вид (. — упругие постоянные) [c.25]

Теория деформаций анизотропного тела. Теория деформаций изотропного тела потребовала только двух констант (коэфициента Лямэ). Анизотропное тело, упругие свойства которого по всем направлениям различны, ие м. б. охарактеризовано только двумя постоянными. Пуассон и Кошп одновременно указали для анизотропного тела 36 постоянных, из к-рых кансдое указывает на то или другое качество тела. Вследствие существования упругого потенциала (53), доказанного В. Томсоном, количество постоянных сокращено до 21. Для нек-рых кристаллич. систем это число м. б. еще уменьшено, но не ниже 3. Закон Гука для анизотропного тела и.чи постулируется или м. б. выведен из теории кристаллич. решетки (Борн). Рассмотрено состояние анизотропных тел под всесторонним давлением, при простых растяжении и сжатии, также изгибе и кручении. В технич. вопросах теория анизотропных тел занимает еще малое место, несмотря на то что металлы, железобетон и другие материалы больщей частью анизотропны. Губер вывел уравнение состояния ортогонально-анизотропной пластины, Штейерман распространил теорию изгиба симметрично расположенных и нагру-л енных оболочек (Лове-Мейснер) на случай анизотропных стенок. [c.222]

Соотношения (6.10) носят название обобщенного закона Гука для анизотропного упругого тела. Коэффициент ii,mn образуют тензор упругих констант. Их всего восемьдесят одна. Действительно, пусть преобразование координат дается формулой x i = lijxj. Тогда в новых осях x i компоненты тензора напряжений а ц найдутся по формуле [c.114]

Выше мы видели, что однородное напряжение и однородная бесконечно малая деформация описываются тензорами второго ранга, каждый из которых определяется девятью компонентами деформации ezj и девятью компонентами напряжения Oij. Если de opj iatj,UH бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжения линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных твердых тел. Математический закон Гука для монокристаллов запишется либо как [c.125]

Трудно найти область человеческих знаний, в которой в той или иной степени не использовались бы соображения симметрии. Широко ими пользуются и в теории упругости при рассмотрении как естественных, так и искусственно созданных анизотропных сред. В параграфе 17.1 приводятся сведения о преобразованиях симметрии, необходимые для выяснения структуры закона упругости для анизотропных тел. В параграфах 17.2—17.8 излагается круг вопросов, связанных с законом Гука для анизотропных материалов. Особое внимание уделяется несжихмаемому ортотроп-ному материалу в плоском напряженном состоянии. Оригиналь- [c.285]

Для анизотропных тел закон Гука подробно обсун<дается в главе XV. [c.495]

Для анизотропного тела коэффициенты податливости зависят от выбора системы координат. В общем случае для анизотропного тела коэффициенты податливости образуют полностью заполненную матрицу [S] размером 6x6. Нетрудно показать, что в силу теоремы взаимности работ для компонент матрицы податливости выполняется условие Smi s n j. Поэтому в матрице коэффициентов податливости независимыми являются лишь шесть диагональных коэффициентов и половина недиагональных, т. е. всего 21 коэффициент, и закон Гука в развернутом виде записывается сутедующим образом [c.9]

Для анизотропного тела обобщенный закон Гука существенно усложняется он отражает прямую пропорци-нальность между каждым компонентом тензора деформаций и всеми шестью независимыми компонентами тензора напряжений. [c.30]

Ограничиваясь квадратичной формой в разложении (/(( , D ), учитывая для анизотропных тел выражение закона Гука, заключаем, что ковариантность разложения требует существования еще двух групп констант вещества двухиндексных — для сверток компонент вектора Е и трехиндексных — для сверток компонент ij и Ek. В результате [c.273]

В соотношениях (11) мы узнаем закон Гука, обобш,енный на случай термоупругости. Эти соотношения носят название закона Дюамеля—Неймана для анизотропного тела. [c.13]

Если анизотропное тело обладает симметрией упругих свойств (упругой симметрией), то уравнения обобш,енного закона Гука для него упрош аются, так как некоторые из коэффициентов оказываются равными нулю, тогда как между другими появляются линейные зависимости. Эти упрош,ения можно вывести, применяя следуюш,ий метод. Отнесем тело к системе координат х, у, 2, а затем ко второй — х у, г, симметричной с первой, в соответствии с тем видом симметрии, какая наблюдается в теле. Направления осей х.у ъ и х у 2 одинакового наименования будут направлениями, эквивалентными в отношении упругих свойств, а поэтому уравнения обобщенного закона Гука для симметричных систем координат запишутся одинаково. Записав эти уравнения в системе д , у, 2 и в системе х у 2, далее переходим к одной из них, выражая, скажем, х, у, через х, у, ъ. Сравнивая получившиеся одноименные уравнения, мы находим зависимости между или Л Вместо уравнений обобщенного закона Гука можно взять выражение упругого потенциала, записанное в основной системе х, у, z и симметричной х у, z Переходя во втором выражении к системе х, у, zш приравнивая упругие потенциалы, приходим к тем же результатам. [c.31]

Пусть тело является однородным криволинейно-анизотропным и следует обобш,енному закону Гука, т. е. сос-тавляюш,ие деформации являются линейными функциями составляющих напряжения, и наоборот. Обозначим через Г], координатные направления упомянутой криволинейной системы координат. Тогда, предполагая, что существует упругий потенциал, можем записать уравнения обобщенного закона Гука для однородного [c.65]

Рассмотрим достаточно большой объем анизотропного тела и вырежем из него в различных направлениях по отношению к связанной с телом системе координат призматические образцы для испытаний на растяжение. Для материала, не обладающ,его симметрией строения, поведение таких образцов при одинаковых условиях нагружения не будет идентичным. Однако большинство материалов, применяющихся в инженерной практике, имеют направления, в которых реакция материала на идентичное нагружение является одинаковой. Это свойство должно быть отражено в структуре обобщенного закона Гука. [c.18]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...