Закон Гука для изотропных сред

Наиболее просто сформулировать обобщенный закон Гука для изотропной среды. В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей. [c.39]

Полученные шесть соотношений (1) и (2) и представляют собой обобщенный закон Гука для изотропной среды. Из полученных соотношений следует, что в изотропной среде главные оси напряженного и деформированного состояния совпадают. Действительно, если оси х, у, z главные для напряженного состояния, то Ту = = О и соот- [c.42]

Приведем окончательное выражение закона Гука для изотропной среды в развернутом виде и в символической форме [c.223]

Формула (5.12) выражает закон Гука для изотропной среды. Иногда (см., например, Мусхелишвили [1]) вводят обозначение [c.24]

Запишем обобщенный закон Гука для изотропной среды в форме [c.41]

Формулы (2.11 ) или (2.11) представляют собой запись закона Гука для изотропной среды в произвольной криволинейной системе координат. [c.171]

В декартовой (не главной) системе координат закон Гука для изотропной среды имеет вид [c.171]

В изотропной среде 24 из 36 элементов матрицы (1.5) обращаются в нуль, а часть оставшихся выражается через соседние элементы. В результате остается всего два независимых элемента матрицы (1.5), и закон Гука для изотропной среды принимает вид [c.10]

Запишите обобщенный закон Гука для изотропной линейно-упругой среды с учетом температурных напряжений. [c.185]

Определяющие уравнения для изотропной однородной ньютоновой жидкости можно получить из (7.7) и (7.3), следуя точно такой же процедуре, которая была проделана с обобщенным законом Гука для упругих сред в гл. 6. Окончательная их форма такова [c.229]

Тензор термоупругости a j является симметричным тензором, что следует из (13.1) ввиду симметрии тензора напряжений. Число независимых компонент aij уменьшается, если тело обладает симметрией. Например, для кубических кристаллов и изотропных сред тензор aij сводится к одной величине а. Таким образом, закон Гука для изотропных упругих тел с учетом изменения температуры можно представить в форме [c.552]

Выведем теперь закон Гука для изотропной (гиротропной) среды в произвольной системе координат. Для этого умножим равенства (2.7) соответственно на (1х ) , йх , сложим их [c.170]

Закон Гука для изотропной упругой среды записывается в. виде [c.262]

Закон Гука для линейной изотропной упругой среды [c.23]

Итак, для г. ц. к. и о. ц. к. кристаллов имеем три константы (S l, Si2, S44), для г. п. у. пять констант (5ц, Si2, 5)3, S33, S44), а для изотропной среды две ( ц и S12). Форма записи связи напряжений и деформаций для изотропной среды в виде (17) ив виде традиционной записи обобщенного закона Гука имеет вид [c.24]

Упражнение 2.3. Показать, что закон Гука для плоского деформированного состояния для изотропной среды может быть записан в виде двух взаимно обратных соотношений [c.122]

Компоненты тензора напряжений определяются по закону Гука по компонентам тензора деформаций соотношениями, имеющими для изотропной среды вид [c.139]

Как уже отмечалось, в уравнения закона Гука для трансверсально-изотропной среды входит пять независимых упругих постоянных [c.100]

Уравнения движения. Понятия напряжения и деформации и терминология, установленная для изотропных твердых тел, применимы без изменений к анизотропным твердым телам так же, как и уравнения движения, выраженные через напряжения, согласно уравнению (2.3). Но изменяется связь между напряжениями и деформациями- Согласно закону Гука в его наиболее общей форме каждая компонента напряжения зависит линейно от каждой компоненты деформации, а константы пропорциональности интерпретируются как упругие константы. Для изотропной среды имеются только две независимые константы. В случае поперечно-изотропной среды закон Гука содержит пять независимых констант. Если для них использовать обозначения Лява, то связь напряжения и деформации запишется так [c.46]

Простейшим примером уравнения состояния может служить обобщенный закон Гука для модели линейно-упругой изотропной сплошной среды, формулирующий связь между компонентами тензора деформаций (2.3) и компонентами тензора напряжений (2.9) в виде линейных зависимостей [c.25]

Это — выражение удельной потенциальной энергии для материала, подчиняющегося закону Гука, независимо от того, изотропна или анизотропна среда. [c.46]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Упражнение 3.14. Показать, что для изотропной упругой среды закон Гука можно записать в виде двух скалярных соотношений, связывающих отдельно шаровые части тензоров напряжений и деформаций (а и 0) и отдельно девиаторы (в не) [c.23]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

В предыдущем параграфе, как и в гл. VII, мы, по существу, рассматривали влияние границ на распространение объемных волн в толще среды. Выясним теперь характер возмущений и распространения этих возмущении в непосредственной близости от свободной границы изотропного твердого тела. Ведь заранее ясно, что поскольку при любых деформациях напряжение на свободной границе равно нулю, а при удалении от границы оно возрастает до некоторой величины, определяемой законом Гука (X 34), то эффективная жесткость пограничного слоя будет отличаться от таковой в объеме упругой среды, и, следовательно, будут отличаться характер упругих возмущений в этом слое и скорость распространения возмущений вблизи свободной границы. Количественную картину распространения таких поверхностных возмущений можно, очевидно, получить, исходя из общего волнового уравнения, справедливого во всем объеме упругой среды, найдя его решение для точек, прилегающих к се свободной границе. [c.229]

В физических основах теории упругости лежит допущение о применимости для некоторых сред, называемых упругими, теории деформаций, напряжений и закона Гука (закона связи между напряжениями и деформациями). Различное понимание теории деформаций, напряжений и закона Гука порождает различные теории. Так, построена классическая теория упругости для изотропных и анизотропных сред, теория термоупругости, моментная теория упругости и др. [c.11]

Приведенные в первой главе формулы и уравнения справедливы для любой сплошной среды, независимо от того, является она упругой, пластической или находится в любом другом физическом состоянии. Для различных физических состояний сплошной среды физические уравнения различны. Рассмотрим среды или тела, для которых зависимости между деформациями и напряжениями носят линейный характер, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука. По упругим свойствам тела разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотропные. Тела, в которых упругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а тела с различными упругими свойствами в различных точках тела — неоднородными. Неоднородность непрерывная, когда упругие свойства тела от точки к точке изменяются непрерывно, и дискретная, когда упругие свойства тела от точки к точке испытывают разрывы или скачки. Тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными, а тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, различны,— анизотропными. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным [91]. В случае однородного упругого тела, обладающего анизотропией общего вида, зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в точке линейная [c.68]

В твердых телах имеются дополнительные источники необратимости при деформации пластичность, дрейф вакансий в кристаллах, взаимодействие с тепловыми фононами и т.д. Общей теории поглощения звука в упругих средах, пригодной для всего их разнообразия (от горных пород до металлов и пластмасс), не существует. Диссипативные процессы обычно описывают феноменологически, заменяя в законе Гука упругие постоянные операторами, зависящими от времени. Для изотропного вязко-упругого тела наиболее общая связь малых деформаций и тензора напряжений имеет вид [31] [c.145]

Используя установленные свойства тензора модулей упругости, запишем обобщенный закон Гука (7.18) для трансверсально-изотропной среды [c.149]

Это уравнение выражает закон Гука, обобщенный для анизотропной среды. Можно заметить, что для изотропного случая [c.17]

Под упругими характеристиками среды понимают показатели, определяемые линейным законом связи между напряжениями и деформациями (законом Гука) и характеризующие особенности ее упругого (обратимого) деформирования. Упругие свойства однородной изотропной среды полностью определяются значениями модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона ц. Для характеристики упругих свойств среды используют также модуль сдвига С, первую константу Ляме X и модуль всестороннего сжатия К. [c.42]

Какие формы записи обобщенного закона Гука для изотропной линейноупругой среды Вы знаете [c.185]

Точно так же, как из (1.5.9) и (1.5.1) было получено (1.5.10), с по-М01Щ.Ю (1.5.63) и (1.5.2) получаем обобщенный закон Р.Гука для изотропных сред в обратном по отношению к (1.5.10) виде [c.148]

Связь между напряжениями и деформациями определяется обобшенным законом Гука. Для изотропной однородной среды, согласно этому закону, [c.73]

Если мывоспользуемся законом Гука и с помощью соотношений (1) и(2) исключим компоненты деформированного состояния, то получим для изотропной среды выражение удельной потенциальной энергии в следующем виде [c.46]

Собственные напряжения в среде с дефектами вычисляли многие авторы. В произвольном континууме аналог закона Гука, связывающий упругие деформации и упругие изгибы — кручения с напряжениями, сводится к (6) и содержит 144 модуля упругости. Для изотропной среды, в которой силовЬге напряжения предполагаются зависящими только "от упругих деформаций, а. моментные напряжения только от упругих изгибов — кручений, остается лишь шесть независимых констант, так как реологическое ура внение может быть представлено в форме [c.118]

В данной главе получим классические уравнения деформирования среды в предположении, что среда эта — сплошная, однородная и изотропная, т. е. упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы. Будем считать, что она линейно деформируема (для материала среды справедлив закон Гука), а перемещения и деформации тела достаточно малы. Там, где это необходимо, сделаем некоторые отступления от указанных допущений. В частности, далее в соответствующих главах будут подробно рассмотрены вопросы расчета упругонластических и вязкоупругих тел. [c.25]

Если упруп е свойства среды не зависят от выбора системы координат, использованной для их описания, то такую упругую среду называют изотропной. Среда, которая не является изотропной, называется анизотропной. Упругие свойств.а твердого тела, подчиняющегося закону Гука, выражены коэффициентами С/<лг, поэтому в общем случае анизотропное тело имеет следующую матрицу упругих констант [c.202]

Ясно, что в изотропной среде напряженные состояния в этом случае также должны в системах и у иметь одинаковый вид. Если Л= 4 чар, т. е. коэффициенты в законе Гука в обеих системах координат одинаковы, тор = р У. Сплошная среда в этом случае является изотропной или гиротропной. Если же ф т. е. коэффициентыв законе Гукав системах координат х , х и г/, г/ , г/ разные, то р ф р У и среда является анизотропной. Опыт показывает, что анизотропными средами, для которых свойства среды в разных направлениях разные, являются, например, кристаллические среды с правильным упорядоченным расположением молекул или атомов, а также волокнистые материалы. [c.168]

Законы Гука и Навье — Стокса при Т = onst, = onst позволяют замкнуть систему уравнений движения для изотропных упругих сред и вязкой несжимаемой жидкости. [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...