Модули упругости тензор

Так как для большинства материалов объемная деформация упруга и модули шаровых тензоров ао, ео связаны простейшей зависимостью [c.86]

Докажем теперь коэрцитивность J (v). Предварительно заметим, что из неравенства положительной определенности тензора модулей упругости [c.274]

Триклинная система. Триклинная симметрия (классы l и i) не накладывает никаких ограничений на компоненты тензора а выбор системы координат с точки зрения симметрии вполне произволен. При этом отличны от нуля и независимы все 21 модуль упругости. Произвольность выбора системы координат позволяет, однако, наложить на компоненты тензора дополнительные условия. Поскольку ориентация системы координат относительно тела определяется тремя величинами (углами поворота), то таких условий может быть три можно, например, три из компонент считать равными нулю. Тогда независимыми величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 18 отличных от нуля модулей и 3 угла, определяющих ориентацию осей в кристалле. [c.52]

Впрочем, не исключается в отдельных случаях и экспериментальное нахождение компонентов тензора модулей упругости, т. е. В [c.46]

Свойство взаимности компонентов тензора коэффициентов упругости и компонентов тензора модулей упругости [c.47]

Точно так же симметричным тензором является и тензор модулей упругости, поскольку [c.47]

Принято указанные компоненты называть основными компонентами тензора модулей упругости. [c.49]

Связь компонентов тензора коэффициентов упругости и тензора модулей упругости с обычными техническими постоянными [c.49]

Здесь — тензор модулей упругости, измеренных при постоянной напряженности электрического поля, йтч — тензор пьезоэлектрических постоянных, — тензор диэлектрических постоянных, измеренных при постоянных деформациях. [c.237]

Очевидно, что выражения (8.2.6) для модулей упругости изотропного тела сохраняют свой вид для любой системы координат, поскольку тензор Кронекера при изменении системы координат не меняется. [c.240]

В обп ем случае модули упругости Еци и податливости Пуы преобразуются по формулам преобразования тензора четвертого ранга [c.240]

Часто оказывается, что анизотропное тело обладает известной симметрией строения. Это относится, прежде всего, к кристаллам, к композитным материалам регулярного строения, к биологическим объектам типа древесины или кости. Используя свойства симметрии, можно выбрать такую специальную систему координат, для которой некоторые компоненты тензора модулей упругости обращаются в нуль или становятся тождественно равными между собой, и общее число упругих констант оказывается меньше чем 21. [c.240]

Составляющие тензора четвертого ранга, заключенные в скобки в формуле (8.6.7), представляют собою адиабатические модули упругости, которые больше чем изотермические. Для металлов [c.252]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

В работе 10 содержится вывод выражений для упругих констант в случае плоской задачи для малых искривлений арматуры. За основной прием при решении задачи принято усреднение тензора податливости неоднородного материала по углу, характеризующему поворот площадки при движении точки по линии искривления волокон. Сложные интегралы для вычисления коэффициентов матрицы податливости представлены разложениями в ряды. Выражение для модуля упругости при удержании первого члена в ряду соответствует (3.14). При этом погрешность вследствие неучета остальных членов ряда не превышает 9 % при ф 0,5. В этом же диапазоне параметра ф расчетные значения модуля упругости [по (3.13)1 удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле [c.64]

Диэлектрическая проницаемость е — тензор со слабо отличающимися компонентами, поэтому его рассматриваем как скаляр. Модуль упругости Сд связан со скоростью ультразвука с формулой [c.62]

Распространение упругих волн, в анизотропной среде. Эффекты упругой анизотропии в К. обычно описываются применительно к распространению в кристалле плоских волн. Фазовая скорость упругих волн определяется тензором модулей упругости устанавливающим в линейном приближении связь между упругими напряжениями а/у п вызвавшими их деформациями [c.506]

Количестве 1но У. выражается в том, что компоненты тензора напряжений (см. Напряжение ме.ханическое) в изо.-термич. условиях являются ф-циями компонентов тензора деформации (см. Деформация), к-рые универсальны для данного материала и не зависят от того, в каком порядке происходит изменение разл. компонентов деформации до достижения ими рассматриваемых значений. В большинстве материалов (напр., в металлах, керамике, горных породах, древесине) при малых деформациях зависимости между напряжениями и деформациями можно считать линейными и описывать обобщённым Гука законо.м. Законам нелинейной У. можно придать форму, подобную обобщённому закону Гука, заменив модули упругости нек-рыми универсальными ф-циями (см. Упругости теория). [c.235]

Модулей упругости тензор 148 Полюсы коэффициентов отражения и Монополь 328, 339, 357 прозрачностн 44, 132, 216, 247 [c.411]

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dutii. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение п rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела — 6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой малой поправкой к термодинамическим величинам не- [c.194]

Здесь ijfei—модули упругости среды, eii — пьезоэлектрические, модули, sfb — адиабатические диэлектрические постоянные, — компоненты напряженности электрического ноля, е г — компоненты тензора деформаций. [c.65]

Предполагается, что компоненты тензора упругих постоянных ijhi, называемые модулями упругости, являются непрерывными функциями лишь координат Xi, 2 и в каждой точке имеет место пло- [c.198]

Тензор ikim — также тензор четвертого ранга. Его называют тензором модулей упругости (постоянных упругой жесткости). Ив этом тензоре 81 компонента. [c.196]

Тождество (8.10.5) представляет собой простое следствие симметрии тензора модулей упругости или тензора податливостей. Действительно, положим в правой части (8.10.5) Ti = OijHj и преобразуем поверхностный интеграл в объемный. Учитывая, что напряжения удовлетворяют вместе с силами Fi дифференциальным уравнением равновесия, получим [c.264]

Принимая за основной элемент структуры монослой, будем задавать его упругие свойства тензором модулей упругости который для ортотронного материала может быть задан так, как это сделано в 10.6. Однако для расчетов нам будет удобно задавать тензор E ju (г, к, 1 = , 2) по отношению к произвольной системе координат. Все слои деформируются одинаково, поэтому напряжения в слое номер s будут [c.708]

Здесь EYjh — тензор податливости или матрица, обратная матрице При конкретных расчетах бывает удобно переходить на матричный язык, представляя тензор модулей упругости как симметричную матрицу 3X3. Внеся выражения для е,-, в формулы (20.8.2), получим [c.708]

Здесь сщг—модули упругости среды, — пьезоэлектрические модули, sfft — адиабатические диэлектрические постоянные, Е — компоненты напряженности электрического поля, 8ы — компоненты тензора деформаций. [c.71]

Рассмотрим теперь модель, в которой принимается, что точечный дефект находится в анизотропной упругой среде. Упругие свойства такой среды характеризуются уже пе двумя независимымп параметрами (например, X п ц) изотропной среды, а тензором модулей упругости число независимых компонент которого в общем случае равно 21. Будем рассматривать дефект как точечный источник деформаций и напряжений. Тогда в отсутствие объемных сил система трех уравнений равновесия такой анизотропной среды имеет вид [c.49]

Здесь Gij] l и К1щ — тензоры четвертого ранга. Величины Gijkl образуют тензор упругих податливостей, а функции Кцх1 представляют собой ядра ползучести. Б общем случае число независимых компонент тензора упругих модулей и тензора ядер ползучести] не превосходит 21. При наличии в теле плоскостей симметрии и осей симметрии различного порядка число независимых компонент тензоров и Gij l сокращается. В случае изотропной среды тензоры и не изменяются при преобразованиях симметрии и поворота системы координат. Из общего вида изотропного тензора четвертого ранга вытекает, что [c.18]

Вследствие симметрии тензора модулей упругости их число для среды с определенной симметрией будет уменьшаться. Так, в случае с тогонально-анизотропной (ортотропной) среды число независщ модулей упругости уменьшается до девяти, для [c.20]

Для иллюстрации рассмотрим пример численной реализации изложенного метода П1 1менительно к типовому элементу полому круговому цилиндру (внутренний радиус - 100 мм, наружный - 200 мм, модуль упругости Е =2, 10 МПа, коэффициент Пуассона ц = 0,3), в котором внутренняя и наружная поверхности рассматриваемой части цилиндра длиною 2 / = 200 мм свободны от нагрузок, а напряженное состояние этой части создается реакцией остальной произвольно нагруженной части цилиндра. Для нескольких вариантов заданного на наружной поверхности рассматриваемой части цилиндра тензора напряжений восстанавливался вектор напряжений на торцах этой части (обратные задачи). Для оценки точности получаемых решений обратных задач использовались численные решения соответствующих им прямых задач теории упругости. [c.72]

Здесь Okie — первый инвариант тензора напряжений а, — коэффициент теплового расширения Е - модуль упругости д - ко фициент Пуассона Т- температурное поле без источников л, - компоненты единичного вектора внешней нормали в точках поверхностей L [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...