Решение систем нелинейных уравнений

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

Система (6. 29) и (20) имеет явное решение в алгебраическом виде лишь в частных случаях. Она всегда может быть решена в числовом виде одним из методов, применяемых при решении систем нелинейных уравнений. Из этой системы уравнений определяются коэффициенты [k, I = 1,J 2, 3) как функции разностей координат f, g, h и I, а, X двух определенных точек в подвижной и неподвижной системах. [c.105]

Методы синтеза по заданным положениям приводятся к методам решения систем уравнений, получающихся при условии замыкания механизма. Получаемая система уравнений зачастую является нелинейной. Поэтому основными методами для нахождения численных значений параметров служат методы решения систем нелинейных уравнений. [c.139]

Точных методов решения уравнения (1.73) не существует. Одним из наиболее распространенных приближенных методов решения систем нелинейных уравнений является метод Ньютона [10,36]. Согласно этому методу корни уравнения (1.73) находятся с помощью итерационного процесса [c.35]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.129]

Изложенные выше трудности использования метода Ньютона для решения одного нелинейного уравнения (5.12) усугубляются при применении его к решению систем нелинейных уравнений (5.16). Во-первых, возникает проблема вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных. Во-вторых, обостряется проблема нахождения хорошего начального приближения. Для преодоления этих трудностей используют специальные модификации метода [2, 72]. [c.131]

Разработана также методика решения систем нелинейных уравнений со многими неизвестными способом постепенных приближений. Несколько вариантов этой методики, вполне применимых к решению задачи расчета оптических систем, также приведено в [10, гл. VIM. [c.251]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Методы приближенных вычислений (стандартные численные методы вычисле ния интегралов, решения систем нелинейных уравнений, приближения функций, реше ния обыкновенных дифференциальных уравнений, методы регуляризации при решении неустойчивых задач). [c.25]

Мы начинаем изучение самого плодотворного метода теоретической физики — гамильтонова формализма [8, 15, 16, 28, 40, 156, 262]. В современной физике гамильтоновы системы занимают весьма важное место. С одной стороны, они описывают практически все явления, изучаемые в классических теориях гамильтонов формализм является основой квантовой механики и теорий вторично-квантовых полей [15, 156-158]. С другой стороны, теория канонических преобразований позволяет развить универсальные методы получения точных и приближенных решений систем нелинейных уравнений. [c.250]

Рис. 2.10. Блок-схема алгоритма метода простой итерации для решения систем нелинейных уравнений.

Это наиболее распространенный метод решения систем нелинейных уравнений. Его популярность обусловлена тем, что по сравнению с методом простой итерации, он обеспечивает гораздо более быструю сходимость. В основе метода Ньютона лежит представление всех п уравнений в виде рядов Тейлора [c.39]

Для решения систем нелинейных уравнений лучше всего пользоваться методом Ньютона. Если точные значения частных производных найти не удается, можно пользоваться их приближенными значениями, найденными методом секущих. [c.45]

Перечисленные атрибуты могут фигурировать н в приближенных методах расчета. Например, при решении систем нелинейных уравнений часто прибегают к линеаризации (атрибут А2). Другой пример — решение уравнений методами последовательных приближений (атрибут ЛИ). Однако теория приближенных методов заранее предполагает оценку погрешностей, а эвристическое решение имеет вероятностный характер в том смысле, что оно пригодно для большинства случаев. [c.21]

Решить поставленную задачу можно с использованием известного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Приращения функций Ф могут быть представлены в виде разло- [c.390]

О ШАГОВОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.135]

В ЭТОМ параграфе мы хотели бы обсудить некоторые свойства методов простых итераций вида (15.3.2-2) для решения систем нелинейных уравнений (15.3.2-1) [c.411]

Для решения систем нелинейных уравнений применяют [6, 281 метод Ньютона, метод наименьших квадратов, градиентные методы и некоторые др. [c.387]

По-видимому, наиболее часто используемым методом решения систем нелинейных уравнений, встречающихся в задачах нелинейной теории упругости, является метод последовательных нагружений. Будучи в некоторых чертах сходным с методом Ньютона — Рафсона, этот метод обладает рядом особенностей, делающих его особенно полезным в приложениях к физическим задачам. Во-первых, каждый шаг итерационного процесса допускает ясную физическую интерпретацию. А именно рассматривается нагружение деформируемого тела приращением нагрузки бр, которое считается достаточно малым, так что реакция тела на это приращение линейна. После приложения каждого приращения нагрузки выписывается новое жесткостное соотношение и осуществляется следующее приращение нагрузки. Продолжая этот процесс, мы получаем полную картину нелинейного поведения тела в виде последовательности кусочно-линейных шагов. Поскольку до приложения нагрузок тело, как правило, находится в естественном ненапряженном состоянии, вопрос о выборе начального приближения отпадает. Действительно, если X обозначает вектор неизвестных узловых перемещений, то мы просто полагаем Хо = О, что дает начальную точку, соответствующую недеформированному состоянию тела. В случае же, когда тело несжимаемо, мы приравниваем нулю узловые перемещения и вычисляем гидростатические давления в недеформированном состоянии. Они и служат компонентами начальной точки Хо- [c.317]

Практически все численные методы решения систем нелинейных уравнений являются итерационными, т. е. для систем уравнений вида [c.66]

Решение систем нелинейных АУ выполняется итерационными методами, при этом на требуемое число итераций И в методе Ньютона решающее влияние оказывает выбор начального приближения, а в остальных итерационных методах — число обусловленности Ц матрицы Якоби решаемой системы уравнений. [c.233]

В заключение отметим, что оба рассмотренных метода можно применять и для решения систем нелинейных алгебраических уравнений общего вида. Для общего случая изложение метода простой итерации и метода Ньютона приведено в (2, 101. [c.16]

Для решения жестких систем применяют специальные неявные разностные схемы, при реализации которых возникает ряд трудностей. Во-первых, при решении систем нелинейных разностных уравнений применение метода простой итерации неэффективно. Необходимо применять метод Ньютона. Во-вторых, линейные системы разностных уравнений, получающиеся либо непосредственно в процессе решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, либо при реализации метода Ньютона в случае нелинейных систем, являются часто плохо обусловленными. Для их решения применяют специальные приемы. [c.41]

Некоторые разновидности шаговых методов. Рассматриваемые метод последовательных жесткостей и ряд модификаций шаговых методов единообразно укладываются в схему известного в. прикладной математике метода дифференцирования по параметру (методы продолжения) Методы продолжения использовались для доказательства суш,ествования решения еш,е в прошлом столетии [84]. Впервые этот метод для численного решения систем нелинейных уравнений был применен, по-видимому,. яэемом [82]. Кроме того Д. О. Давыденко [22] применил метод дифференцирования по параметру к широкому классу задач, в том числе и для решения систем нелинейных уравнений. В ряде более поздних работ [10, 74] эти методы были снабжены четким физическим смыслом, что обусловило их широкое распространение при решении различных нелинейных задач механики. [c.80]

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрируюшдх применение метода усреднения для решения систем нелинейных уравнений. [c.320]

Использование традиционных методов решения систем нелинейных уравнений (метода наискорейшего спуска, метода Ньютона, итерационных методов) наталкивается на значительные трудности, связанные, нанример, с дифференцированием функций, определяемых в данном случае интегралами. Поэтому использован численный алгоритм, заключаюгцийся в следуюгцем. [c.287]

Хотя симплексный метод предполагает осутцествление множества проб и итераций, доказано, что он достаточно эффективен при решении некоторых нелинейных систем в тех случаях, когда не проходят другие методы. Особенно эффективен этот метод при решении больших систем линейных неравенств. Поэтому он гораздо чаще применяется в нелинейном программировании, чем при решении систем нелинейных уравнений. [c.328]

Функции (5.37) возникают при решении задач многокритериальной оптимизации, чебышевской аппроксимации, решении систем нелинейных уравнений. В [226] предложен метод сведения общей задачи математического программирования к безусловной минимизации функции вида (5.37). Сложность минимизации функций максимума (5.37) связана с тем, что функция g ) недифференцируема, и поэтому рассмотренные ранее методы не могут быть непосредственно использованы. Выделим основные подходы к построению алгоритмов минимизации функции максимума. [c.149]

Для решения систем нелинейных конечных уравнений используют диакоптический вариант метода Ньютона с контролем сходимости итерационного процесса отдельно по выделенным фрагментам. Выполнение условий сходимости в г-м фрагменте является основанием для прекращения вычислений по уравнениям этого фрагмента. Очевидно, что раздельное интегрирование означает и раздельное решение подсистем ЛАУ, относящихся к отдельным фрагментам. [c.244]

Отказы в решении задач могут проявляться в несхо-димости итерационного процесса, в превышении иогреш-ностями иределыю допустимых значений и т. и. Причинами отказов могут быть такие факторы, как плохая обусловленность ММ, ограниченная область сходимости, ограниченная устойчивость. Так, итерации ио методу Ньютона ири решении систем нелинейных алгебраических уравнений сходятся только в случае выбора начального приближения в достаточно малой окрестности корня. [c.49]

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Ограничимся изложением только двух методов реп1ения, рассматривая их применительно к нелинейным системам частного, но наиболее часто встречающегося в разных теплофизических задачах квазилинейного вида. Такие системы записываются аналогично (1.8), но имеют коэффициенты ац, зависящие от искомых величин и. a,j = = a,j (и,,. .., u/v). Они возникают, например, при решении стационарных уравнений теплового баланса (1.2), в которых тепловые проводимости Ojj зависят от температур Т,-, Г,-. Для решения этих нелинейных систем обычно применяют итерационные методы, в которых на каждой итерации решается линеаризованная система, т. е. некоторая линейная система, полученная из исходной нелинейной задачи. Наиболее часто применяют два подхода к линеаризации. [c.15]

Рассмотрим еще один получивший распространение на практике способ построения итерационного процесса для решения систем нелинейных разностных уравнений. Этот способ основан на линсари эации уравнений по методу Ньютона и обычно применяется в том случае, когда зависимости коэффициентов от температуры заданы аналитическими зависимостями, которые могут быть продифференцированы. Искомое значение температуры на текущей итерации представляется в виде [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...