Нормальная линия

Из формулы (8.49) следует, что знак разности р (0) — / о определяется знаком sin 0, т. е. р (Q) — р s О при О < 0 < я и /J (0) — р < О при л < 0 с 2л. Распределение избыточного давления р (0) — /7 чо поверхности цилиндра показано в виде полярной диаграммы на рис. 8.13. Очевидно, такое распределение давлений должно создавать результирующую силу, не равную нулю. Эта сила направлена нормально линии центров (прямой, проходящей через центры Oj и О,). Действительно, из выражения (8.49) видно, что [c.315]

A. Волокна и нормальные линии..............301 [c.287]

Заметим, что при постановке краевой задачи в перемещениях нельзя задать произвольным образом граничные значения перемещений по всей границе плоской области. Деформация определяется единственным образом, если задана компонента и вектора перемещений в некоторой точке каждого волокна и компонента v в некоторой точке каждой нормальной линии. Нормальной линией мы всегда будем называть кривую, перпендикулярную направлению волокон в каждой своей точке.) [c.292]

Мы обнаружили, что построенные решения могут приводить к разрывам касательного напряжения на волокнах или нормальных линиях. Обычно это происходит в тех случаях, когда волокно или нормальная линия представляют собой часть границы тела и заданные здесь касательные усилия не совпадают с касательными напряжениями внутри тела. Для того чтобы имело место равновесие, к концам отрезка с различными касательными усилиями на двух его сторонах необходимо приложить растягивающие усилия, разность которых имеет конечное [c.297]

Основные параметры GjE) i и (1—v) / играют важную роль и в других оценках в связи со следующим обстоятельством. Идеализированная теория предсказывает, что возмущения напряженного состояния могут распространяться без затухания бесконечно далеко вдоль волокна или нормальной линии, что противоречит известному принципу Сен-Венана. Анализом точных решений было установлено, что такое распространение возмущений без затухания можно интерпретировать как распространение на расстояние порядка Lj GIE) i вдоль волокон и [c.298]

L/(l—v) ВДОЛЬ нормальных линий. В данном случае L является характерной длиной по направлению, перпендикулярному слою концентрации напряжений. [c.299]

А. Волокна II нормальные линии [c.301]

Кривизны волокон и нормальных линий равны скоростям изменений соответствующих углов при движении вдоль этих линий [c.302]

Таким образом, кривизна каждой нормальной линии равна нулю, т. е. нормальные линии являются прямыми. [c.304]

Волокна располагаются вдоль кривых, являющихся ортогональными траекториями семейств прямых. Следовательно, они располагаются вдоль параллельных (конгруэнтных) кривых] например прямых или концентрических окружностей. Расстояние между двумя кривыми одного семейства, измеряемое вдоль прямой нормальной линии, является одним и тем же для каждой нормальной линии. Таким образом, при любой кинематически допустимой деформации первоначально прямолинейные и параллельные волокна остаются параллельными, хотя и не прямолинейными. Расстояние между двумя волокнами остается таким же, каким оно было в недеформированном состоянии. [c.304]

Так как нормальные линии являются прямыми, угол наклона волокна постоянен вдоль любой нормальной линии, поэтому часто удобно отождествлять нормальную линию с соответствующим значением угла 6. В таких случаях мы будем говорить об угле 6 нормальной линии. [c.304]

Используя неизменность длины волокна и расстояний между волокнами и вытекающее отсюда свойство прямолинейности нормальных линий, нетрудно указать способ построения кинематически допустимых деформаций. [c.305]

Поскольку угол наклона волокна постоянен вдоль каждой нормальной линии, в рассматриваемом примере удобно принять за направление волокна 0 = 0 направление, совпадающее с полярной осью 0 = 0 тогда угол наклона волокна в любой точке будет совпадать с полярным углом, отвечающим этой точке. Очевидно, радиус кривизны Го волокна совпадает с полярной координатой г. [c.305]

В настоящем примере мы неявно предположили, что нормальные линии, пересекающие граничное волокно заданной формы, целиком заполняют область, которую может занимать тело, [c.306]

Аналогичные условия должны иметь место также на границе = 0. В самом деле, каждый раз, когда граница, являвшаяся до деформации нормальной линией, после деформации свободна от усилий, граничные условия имеют форму (43). [c.310]

В области kD <. X <. L, покрытой нормальными линиями, не пересекающими боковых сторон деформированной пластины, усилие Р будет неопределенным до тех пор, пока мы не зададим его значения в одной точке каждой нормальной линии (см. рис. 3). Если мы будем рассматривать условие отсутствия вертикальных перемещений на прямой У = О как граничное условие, то условие отсутствия вертикальных перемещений на прямой Y — D будет не независимым граничным условием, а следствием из других условий и уравнений. В качестве независимого граничного условия мы примем = О при Y = D, kD < X а L Тогда Р будет равно нулю для всех у в указанной области изменения х. [c.310]

В треугольных областях, образованных нормальными линиями, пересекающими боковые стороны деформированной пластины, т. е. при О X kD и L X L kD, граничное условие (43) определяет Р в одной точке каждой нормальной линии. Поскольку при деформации чистого сдвига Р постоянно вдоль нормальных линий, всюду внутри рассматриваемых областей Р = —S/k. [c.310]

В примерах, рассмотренных в разд. II, Б, II, В, и III, Е, для определения деформации необходимо было использовать уравнения равновесия. Однако этих уравнений недостаточно для полного определения поля напряжений. Чтобы получить недостающую информацию, нужно рассмотреть суммарное касательное усилие, действующее по всей длине каждого волокна или нормальной линии. В настоящем разделе мы используем этот способ для получения некоторых простых результатов, касающихся конечных деформаций. [c.311]

Рассмотрим пластину постоянной толщины D, в которой волокна первоначально параллельны оси Y. Мы нашли (см. равенство (24)), что при любой деформации величина сдвига к равна сумме угла наклона волокна 6 и некоторой величины /, постоянной вдоль каждого волокна. Мы также установили (см. равенство (27)), что угол наклона волокна постоянен вдоль каждой нормальной линии, т. е. что нормальные линии являются [c.311]

Для того чтобы показать, как используется этот результат, рассмотрим область, покрытую некоторым семейством нормальных линий, и предположим, что на обеих сторонах пластины, соответствующих этой области, поверхностные усилия отсутствуют. Тогда в этой области R будет одним и тем же на любой нормальной линии и формула (46) принимает вид [c.312]

Случаи, когда функция f(Y) равна постоянной, и, следовательно, величина 5/(0) просто равна DS Q- f), встречаются сравнительно часто. Зачастую из граничных условий известно, что некоторые материальные линии, являвшиеся нормальными линиями до деформации, остаются нормальными линиями и после деформации. Величина сдвига на таких линиях равна нулю, так что на них величина —/ равна значению 0. [c.313]

Вблизи заделки существует веерообразная область, в которой нормальные линии с углом наклона, меняющимся от О до [c.313]

Мы предположили, что 5з не зависит от 2 и в соответствии с этим выпадает из рассмотрения. Используем зависимости (16), (18) и (19) для упрощения уравнения (55), а затем перепишем это уравнение в проекциях на направление волокна, нормальной линии и оси Z, что даст [c.316]

Если деформация задана, так что S и поля векторов а и п известны, то уравнение (58) определяет изменение Т вдоль каждого волокна и может быть проинтегрировано непосредственно. Для того чтобы найти постоянную интегрирования, необходимо задать значение Г в одной точке каждого волокна. Заметим, что при переходе от одного волокна к другому Т может меняться разрывно, поскольку уравнение (58) не накладывает никаких ограничений на изменение Т в направлении нормальной линии. [c.316]

Если Т известно, то уравнение (59) на каждой нормальной линии представляет собой обыкновенное дифференциальное ура- [c.316]

В смешанных задачах, таких, какие рассматривались в разд. 111,3, определить деформации только из кинематических соображений невозможно, а уравнения равновесия дают лишь условия равновесия результирующих сил. В этих случаях Т может быть задано более чем в одной точке каждого волокна или же Р может быть задано более чем в одной точке каждой нормальной линии, но деформации выбираются так, чтобы они удовлетворяли ограничениям, налагаемым уравнениями (58) и (59). [c.317]

При интегрировании уравнений (58) и (59) прямые и искривленные участки тела удобно рассматривать по отдельности. На прямых участках, где величина 0 постоянна, кривизна волокон 1/Га равна нулю следовательно, оси декартовой системы х и у можно направить вдоль волокон и нормальных линий соответственно. Тогда из уравнений (58) и (59) имеем [c.317]

Следовательно, производные по направлениям волокон и нормальных линий соответственно равны [c.318]

Для определения v x) мы используем метод, применимый, как нам кажется, к широкому кругу задач (см. разд. И, В и III, Ж). Прежде чем переходить к закону распределения напряжений, рассмотрим только суммарное усилие, действующее на нормальной линии х = onst, в частности перерезывающую силу, параллельную этой линии. Из формулы (3) с учетом равенства и = О мы найдем, что полная перерезывающая сила,, действующая в нормальном сечении, равна DGv (x). Поскольку эта величина должна быть равна нагрузке на конце —F, можно сразу найти v x). Учитывая граничное условие у(0) = О, получаем [c.294]

Это уравнение определяет измененне Р — в данном случае тривиальное — отдельно вдоль каждой нормальной линии. Для полного определения Р необходимо знать его значение в одной точке каждой нормальной линии. Граничное условие ауу = О при у — О доставляет нам недостающую информацию, и мы получаем, что Р = О везде. Условие Оуу = О при у = D удовлетворяется, таким образом, автоматически, и это произошло по- [c.294]

В данном примере мы получили решение, задавая граничные условия в точности такого вида, что если бы мы имели дело с классической теорией упругости, то наша задача была бы корректно поставленной. Хотя никаких общих теорем, ка-саюш,ихся существования и единственности решения смешанных краевых задач для идеальных композитов не доказано, мы можем предполагать, что совокупность граничных условий корректно поставленных задач обычной теории упругости будет приводить также к корректно поставленным задачам для идеальных композитов при условии, что и задано не более чем в одной точке каждого волокна, а v задано не более чем в одной точке каждой нормальной линии. [c.296]

Для тел более общей формы описанная здесь в общих чертах процедура решения приводит к зависимостям между разностью перемещений и на двух концах каждой нормальной линии и разностью перемещений v на двух концах каждого волокна. В рассмотренном выше простом примере необходимо было найти значения двух разностей, и это можно было сделать с помощью простых алгебраических действий. Некоторые нетривиальные задачи, в которых разности перемещений нельзя -определить чисто алгебраическим путем, решены Ингландом [7]. Существование решений для тел достаточно произвольной формы было доказано в работе Пипкина и Санчеса [25] при помощи метода, который одновременно может быть использован для построения приближенных решений. Это частично подтверждает высказанное выше предположение о том, что краевые условия корректно поставленной задачи теории упругости приводят также к корректно поставленным задачам теории идеальных композитов. [c.297]

Для обоснования того, что эта интерпретация является законной в некотором вполне определенном смысле, а также для получения оценок толщин слоев концентрации напряжений Эверстайн и Пипкин [12] проанализировали некоторые точные решения теории упругих трансверсально изотропных материалов. Предполагалось, что модуль Юнга Е вдоль волокон много больше модуля сдвига G. Коэффициент Пуассона v, определяющий уменьшение поперечных размеров в направлении, перпендикулярном волокнам, при приложении растягивающей нагрузки, также перпендикулярной волокнам, выбирался близким к единице. Оказалось, что теория упругости действительно предсказывает существование тонких слоев с высокой концентрацией напряжений там, где они должны быть согласно идеализированной теории. Было найдено, что толщина слоев концентрации напряжений вдоль волокон имеет порядок (G/ ) / L, где L — характерная длина слоя. Было установлено также, что толщина слоев концентрации напряжений вдоль нормальных линий, существование которых обусловлено малой сжимаемостью материала, имеет порядок (1—v) i L. В обоих случаях было показано, что максимум растягивающих напряжений с удовлетворительной точностью определяется делением результирующей силы, найденной по идеализированной теории, на, приближенное значение толщины. [c.298]

Кривые, для которых по или п являются касательными векторами, азываются нормальными линиями. В отличие от волокон нормальные линии не являются, вообще говоря, материальными кривыми. Множество частиц, до деформации лежащих на нормальной линии, обычно не образует нормальной линии после деформации. Заметим, что угол 0 равен также углу между нормальной линией и фиксированным направлением j, и такая геометрическая интерпретация иараметра 0 часто оказывается более наглядной и удобной. [c.302]

Так как волокно Y = D после деформации совпадает с известной кривой, можно сразу построить перпендикулярные к нему прямые нормальные линии. В соответствующим образом выбранной полярной системе координат это будут радиальные прямые 0 = onst. Остальные волокна направлены вдоль ортогональных траекторий данного семейства нормальных линий и, следовательно, расположены на концентрических окружностях. Поскольку расстояние между любыми двумя волокнами после деформации должно быть тем же, что и до деформации, волокно У = onst лежит на окружности радиуса [c.305]

И что направления волокон и нормальных линий меняются непрерывным образом. Возможные типы деформации, при которых то или иное из указанных предположений не выполняется, н соответствующие примеры рассмотрели Пипкин и Роджерс [26, 27]. Основной результат, касающийся кинематики деформаций в задаче с разрывным изменением направления, состоит в том, что линия разрыва должна делить пополам угол между волокнами на обеих сторонах разрыва, поскольку расстояние по нормали между двумя волокнами должно быть одним и тем же для обеих сторон разрыва. [c.306]

В деформированном теле нам известна форма двух волокон волокна на верхней и нижней поверхностях прямолинейны. Нормальные линии, ортогональные этим волокнам, суть прямые-X = onst. Прочие волокна, ортогональные нормальным линиям, располагаются по прямым у = onst. Принимая во внимание неизменность расстояний между волокнами и нерастяжимость волокон, заключаем, что деформация должна иметь форму [c.309]

Рассечем пластину на две части нормальной линией 0 = = onst и обозначим через R(0) результирующую поверхностных усилий на части, к которой направлен вектор а(0). Тогда для равновесия необходимо, чтобы п [c.312]

Бнение первого порядка относительно Р. К этому уравнению необходимо добавить граничное условие, определяющее значение Р в одной точке каждой нормальной линии. [c.317]

На искривленных участках, где 0 иеременио, мы можем приписать каждой нормальной линии значение 0 на ней, а каждое волокно пометить числом У, равным расстоянию, измеряемому вдоль нормальных линий, между данным волокном и некоторым фиксированным. Если волокна до деформации прямолинейны и [c.317]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...