Нейтральное равновесие и устойчивость

Нейтральное равновесие и устойчивость [c.350]

НЕЙТРАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ 351 [c.351]

Ранее отмечалось, что термодинамические системы не могут находиться в состоянии неустойчивого равновесия. Но очень часто между устойчивыми и неустойчивыми состояниями существует значительная область значений термодинамических переменных, в которой критерии устойчивого равновесия не выполняются, но система тем не менее может существовать длительное время, причем ее состояние зависит от бесконечно малых изменений внешних переменных. Это состояние нейтрального (безразличного) равновесия. Любые гетерогенные системы, в которых происходят процессы, не влияющие на состояние ее-щества в гомогенных частях системы, т. е. не изменяющие интенсивных термодинамических характеристик фаз, находятся. по отношению к таким процессам в нейтральном равновесии. Чтобы пояснить особенности этого состояния, рассмотрим устойчивость равновесия гетерогенной системы, состоящей из двух открытых фаз, а и р, с одинаковым химическим составом и плоской межфазной границей. Можно воспользоваться уже выведенными формулами (12.15) — (12.17) или (12.19), если положить в них а = 0 или г = оо. Нетрудно видеть, что в этом случае при постоянных Т, V [c.119]

Таким образом ясно, что вопрос об устойчивости зависит от знака величины g Ар = g(p -р"), ибо все остальные величины под корнем существенно положительны. Далее проанализируем случай, когда gAp > О, т.е. р" < р (легкая фаза находится над тяжелой). Очевидно, что при этом условии при любых положительных к (к > О, X > 0) величина О) вещественна. Этот случай соответствует распространению на поверхности прогрессивных волн, система находится в нейтральном равновесии. С ростом волновых чисел к круговая частота со увеличивается. Интересны предельные по к соотношения, соответствующие случаям длинных (гравитационных) и коротких (капиллярных) волн. Линейным масштабом, придающим смысл такой классификации волн по их длине, служит капиллярная постоянная [c.136]

Здесь А и С — инерционный и квазиупругий операторы, введенные в гл. IX О — линейный оператор, учитывающий параметрические силы в уравнениях нейтрального равновесия. Операторное уравнение динамической устойчивости получают путем объединения уравнений (22) и (23) и замены параметров нагрузки в операторе G заданными функциями времени [c.248]

Классический продольный изгиб при сжатии длинного тонкого стержня показан на рис. 1. В действительности линия приложения нагрузки не совпадает с продольной осью стержня, вследствие чего возникает изгибающий момент относительно его центра и стержень изгибается. При незначительных нагрузках для сохранения прямолинейности стержня и возвращения его в исходное положение при небольших боковых смещениях достаточно упругого противодействия, т. е. система будет находиться в стабильном равновесии. При увеличении нагрузки до некоторого значения достигается состояние нейтрального равновесия, при котором изгибающие силы и силы упругого противодействия уравновешены, и любые боковые смещения стержня не нарушают его стабильности. При дальнейшем увеличении нагрузки происходит потеря устойчивости стержня, так как малейшая несоосность вызывает катастрофический продольный изгиб его, заканчивающийся течением материала или разрушением стержня. Критическая нагрузка, необходимая для нейтрального равновесия, зависит от соотношения между длиной и толщиной стержня, модуля упругости материала стержня и способа приложения нагрузки к его концам. [c.9]

Уравнения (4.5.1), (4.4.4) — (4.4.6), (4.5.2), (4.4.9) составляют полную систему зависимостей, на основе которых могут быть получены решения задач об устойчивости равновесия цилиндрической панели (только эта задача и будет рассматриваться) и круговой арки. Решение задачи устойчивости начнем с преобразования уравнений нейтрального равновесия (4.5.1), в которых й, iv [c.124]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Критическую нагрузку для сжатого продольными силами стержня можно найти непосредственно, исследовав поведение идеального стержня, который является идеально прямым и сжимается центрально приложенными силами (линии действия сил проходят через центр тяжести поперечного сечения). Рассмотрим сначала тонкий идеальный стержеНь длиной Ь, нижний конец которого заделан, а верхний свободно перемещается (рис. 10.4, а). Материал стержня считается линейно упругим. Если осевая нагрузка Р не превышает критического значения, то стержень остается прямым и претерпевает только осевое сжатие. Такая прямолинейная форма равновесия является устойчивой это означает, что если приложить поперечную силу и создать небольшой прогиб, то при устранении поперечной силы прогиб исчезает и стержень вновь становится прямым. Однако при постепенном увеличении Р будет достигнуто состояние нейтрального равновесия, когда нагрузка Р станет равной Р р. [c.392]

Итак, уравнения (11.63) можно рассматривать как математическую формулировку принципа стационарности потенциальной энергии. Этот принцип гласит, что если потенциальная энергия упругой конструкции (линейной или нелинейной) представляется функцией от неизвестных перемещений узлов, то конструкция будет находиться в состоянии равновесия, когда перемещения имеют такие значения, при которых полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Обычно конструкция находится в состоянии устойчивого равновесия, и тогда полная потенциальная энергия минимальна. При этих условиях уравнения (11.63) представляют собой запись принципа минимума потенциальной энергии. Для неустойчивых конструкций потенциальная энергия может иметь либо максимальное, либо нейтральное значение. При линейном поведении конструкции уравнения (11.63) соответствуют уравнениям равновесия метода жесткостей, который можно считать частным вариантом метода перемещений ). [c.503]

В этой главе излагаются общие положения теории конвективной устойчивости, на основе которых в последующих главах проводится решение конкретных задач. Сначала приводятся общие уравнения, описывающие тепловую конвекцию несжимаемой жидкости, и обсуждаются приближения Буссинеска, лежащие в основе этих уравнений. Далее формулируются условия механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. В третьем параграфе содержится постановка задачи об устойчивости равновесия подогреваемой жидкости относительно малых нормальных возмущений, формулируется краевая задача для амплитуд и выясняются некоторые общие свойства спектра возмущений. В последнем параграфе этой главы речь идет о нахождении критических (нейтральных) возмущений и критических значений числа Рэлея, определяющих границы устойчивости равновесия. Здесь же обсуждаются варианты метода Бубнова — Галеркина, позволяющего эффективно решать краевые задачи для характеристических возмущений [c.7]

В учебной и технической литературе обычно утверждается, что этот метод годится только для тех задач, в которых потеря устойчивости происходит по типу разветвления форм равновесия. В действительности уравнения нейтрального равновесия могут описывать поведение системы в окрестности предельных точек. Однако при этом необходимо учитывать перемещения и деформации невозмущенного состояния, т. е. исходить [c.336]

Пример 2. Если выпуклая сферическая поверхность находится в положении равновесия на верхней части неподвижной выпуклой сферической поверхности, то это равновесие заведомо неустойчиво. Однако если вогнутость нижней поверхности направлена вверх, то равновесие будет устойчиво или неустойчиво в зависимости от того, будет ли ее радиус больше или меньше удвоенного радиуса верхней поверхности, и это равновесие будет заведомо нейтральным, если радиус нижней поверхности равен удвоенному радиусу верхней поверхности. [c.446]

Получить теоретический ответ на поставленные вопросы чрезвычайно сложно. В настоящее время, по-видимому, невозможно в общем случае исследовать сходимость и устойчивость конечноразностной схемы уравнений нейтрального равновесия (2.121— [c.192]

Докритическое искривление образующей оболочки в месте потери устойчивости направлено внутрь оболочки поэтому, как и для сферы, возможно, что неучет этого искривления повысит расчетное значение критического параметра Решение упрощенных уравнений нейтрального равновесия, не учитывающее докритического искривления образующей оболочки, приводит к завышенному значению параметра (пунктирная кривая на рис. 10.28). При этом с увеличением 3, это различие также быстро растет. [c.287]

Причина отмеченных особенностей заключается в том, что при выводе (12.29) и (12.36) считались возможными любые вариации координат qi. Допустимо, следовательно, и такое изменение состояния системы, при котором масса одной из ее частей возрастает за счет массы другой части без каких-либо изменений в интенсивных свойствах. Этот процесс соответствует изменению положения граничной поверхности между подсистемами, выбранными внутри однородной системы, и не представляет интереса с точки зрения анализа устойчивости равновесия, поскольку рассматриваемая часть системы выделялась произвольно. Однако формально возможность таких изменений приводит к выводу о существовании в системе нейтральных [c.122]

Поскольку при потере устойчивости прямолинейной формы равновесия изгиб всегда происходит в плоскости наименьшей жесткости Е/иин, то нейтральной линией будет служить та из главных центральных осей инерции, для которой момент инерции минимальный (/ и). Тогда формула для определения критической силы в общем виде будет [c.165]

На рис. 18.1 изображен классический пример из курса физики, который показывает, что равновесие может быть устойчивым, безразличным (нейтральным) и неустойчивым. Представлены все (шесть) мыслимые ситуации равновесного положения шарика на телах, имеющих различные поверхности, и только в одном из этих случаев положение равновесия является реализуемым (устойчивым) и при том единственным — шарик в наи-низшей точке дна чаши . К обсуждению рис. 18.1 мы еще вернемся. [c.277]

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284]

Проведем через центр кольца три взаимно перпендикулярных оси координат, причем пусть плоскость ху совпадает с плоскостью кольца, а ось г пусть совпадает с осью симметрии кольца. Мы можем характеризовать потерю устойчивости плоской формы равновесия бесконечно малыми перемещениями С параллельными оси г, которые и нарушают плоскую круглую форму нейтральной осевой линии кольца. Происходящие при этом перемещения точек нейтральной осевой линии параллельно плоскости кольца будут бесконечно малыми величинами высших порядков, и, следовательно, ими в сравнении с перемещениями С можно пренебречь. Перемещение С представляет пока еще неизвестную функцию от центрального угла а. Мы применим общие условия равновесия к форме кольца, характеризуемой перемещениями [c.378]

Из существующих теорий для объяснения пассивного состояния металлов рассмотрим наиболее обоснованные и признанные — пленочную и адсорбционную. Пленочная теория пассивности объясняет состояние повышенной электрохимической устойчивости металлов образованием на их поверхности очень тонкой защитной пленки из нерастворимых продуктов взаимодействия металла со средой. Пленка состоит обычно из одной фазы, может быть солевой, гидроокисной или (наиболее часто) окисной природы. Поведение металла в пассивном состоянии определяется, таким образом, не свойствами самого металла, а физико-химическими свойствами пленки. Образовавшийся на анодной поверхности при электрохимическом процессе фазовый окисел вызывает более стойкое пассивирование в кислородсодержащем электролите, имеющем нейтральную или щелочную реакцию. Вместе с тем при анодной поляризации металла в кислородсодержащих кислотах образовавшаяся пассивная пленка находится в состоянии динамического равновесия с раствором, т. е. растворение внешней части пленки под химическим воздействием электролита компенсируется одновременным процессом анодного возобновления пленки. [c.28]

Физически совершенно ясно, что прц достаточно большой разности температур равновесие подогреваемой снизу жидкости становится неустойчивым. Это значит, что декременты X некоторых характеристических возмущений с увеличением числа Рэлея становятся отрицательными, а сами эти возмущения, затухая со временем при малых Н, начинают нарастать при больших Н. Обращение в нуль декремента выделяет условия, при которых возмущение нейтрально — не затухает и не нарастает. Очевидно, эти условия как раз и определяют границу устойчивости равновесия относительно данного возмущения. [c.25]

Уравнения Нейтрального равновесия и граничные условия, аналогичные уравнениям (2.73) — (2.79), на основе последовательно нелинейной постановки были получены X. М. Муштари в 1938 году [51]. Эти уравнения наряду с членами, содержащими докритические усилия Г р 22 в срединной поверхности оболочки, содержат также члены, учитывающие докритические искривления образующей оболочки 0]°. Из-за серьезных математических трудностей, возникающих при решении уравнений (2.73) — (2.77) с граничными условиями (2.78) — (2.79), подавляющее большинство исследователей при решении конкретных задач устойчивости оболочек отбрасывало члены, содержащие докрити-ческое искривление образующей оболочки. Это постепенно привело к тому, что и сами уравнения нейтрального равновесия стали трактоваться по-новому. При их выводе использовались линейные соотношения теории оболочек и вводилась фиктивная поперечная нагрузка, равная сумме дополнительных проекций основных усилий Г 1> 22 на направление нормали к изогнутой поверхности. В этом случае как-то стушевывается тот факт, что задача устойчивости как задача о бифуркации форм равновесия должна рассматриваться исходя исключительно из нелинейной теории. [c.49]

В гетерогенных системах при фиксированных некоторых координатах возможны нейтральные равновесия за счет перераспределения веществ между гомогенными частями без изменения их интенсивных свойств. Такие процессы называют фазовыми реакциями. При использовании ограничений на термодинамические свойства гетерогенной системы они должны исключаться из рассмотрения. Запрет на определенные процессы не является, однако, чем-то особенным, исключительным с точки зрения методов термодинамики, поскольку понятие термодинамического равновесия имеет смысл лишь тогда, когда конкретно указаны все возможные, допустимые в системе процессы (см. 4). Поэтому можно условиться не рассматривать фазовые реакции, считая их запрещенными, что позволяет, как уже говорилось, выяснить аналогию между устойчивостью равнове-си71 в гомогенных и в гетерогенных системах. С другой стороны, если допустить возможность протекания в гетерогенной системе фазовых реакций, то удается обнаружить существенные особенности поведения гетерогенных систем (подробнее см. [6]). [c.128]

Общие уравнения динамической устойчивости упругих систем. Пусть соотношение между частотами возбуждения и наименьшей собственной частотой в невозмущенном движении таково, что при нахождении невозмущенного напряженно-деформированного состояния допустимо использовать квазистатическое приближение и пренебречь перемещениями в этом состоянии. Тогда уравнения динамической устойчивости каждой конкретной упругой системы могут быть получены из уравнений нейтрального равновесия для задачи статической устойчивости добавлением далам-беровых сил инерции и заменой усилий (напряжений) невозмущенного состояния соответствующими функциями времени. Если необходимо учитывать диссипацию, то в уравнения добавляют также диссипативные силы. [c.248]

На рис. 7.3.1 приведена простейшая иллю-ирация к теореме Лагранжа - тяжелый цилиндр на гладкой цилиндрической поверхности. Система по предположению имеет одну степень свободы. В случае а равновесие устойчиво, в случае в - неустойчиво. Случай б отвечает нейтральному равновесию - переходному от устойчивого к неустойчивому. Нейтральное равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Так, если поверхность - плоскость, то это состояние неустойчиво при сообщении цилиндру сколь угодно малой начальной скорости он удалится сколь угодно далеко от начального положения. Если поверхность - вогнутая, но вогнутость порождается членами четвертого или более высокого порядка относительно q, то нейтральное равновесие - устойчивое. Поясним это на менее элементарном примере. [c.474]

Для идеального продольно сжатого упругого стержня, если сжимающая сила не превышает критического зйлерова значения стержень будет возвращаться в первоначальную прямолинейную форму, если ему задать малый прогиб в виде sin (па /0 и затем отпустить состояние стержня, предшествовавшее заданию в нем перемещений, опишем как условие устойчивого равновесия. Если силу Р можно было бы довести до значения, намного превышающего критическое, не допуская выпучивания, а затем стержню задали бы некоторое смещение и снова отпустили, toi он стал бы неограниченно изгибаться дальше, т. е. выпучиваться , говорят, что это было условие неустойчивого равновесия. Если нагрузка Р в точности равна критическому значению и стержню-придаются прогибы небольшой величины, а затем его отпускают, то стерн ень останется в состоянии равновесия в изогнутом положении будем говорить, это есть условие нейтрального равновесия при малых перемещениях. [c.81]

В дальнейшем исследование в рамках линейной (при малых прогибах) теории условий, при которых конструкция или элеменг конструкции с идеальными формой и упругостью могут находиться в состоянии нейтрального равновесия при нагрузках, заставляющих их выпучиваться, будем называть классической задачей устойчивости. До сравнительно недавнего времени теоретические исследования задач устойчивости были ограничены такими идеализированными решениями. Инженеры, которым при-ходилгось использовать такие элементы в проектируемых ими машинах и конструкциях, давно уже обнаружили, что зти решения иногда имеют малую, связь с действительным поведением конструкций. Такие исследования в рамках классической устойчивости дают удовлетворительные результаты для очень тонких сжатых стержней, но из-за ограничений на упругое поведение реальных материалов наибольшее применение находят результаты,, полученные эмпирическим путем. Когда классические теории устойчивости стали применяться для более сложных элементов было найдёно, что нелинейное поведение — только один из случаев серьезного расхождения 1й(ежду теориями и экспериментами. Например, классическая теория устойчивости предсказывает во много раз большую, чем действительная, способность к сопротивлению очень тонких цилиндрических оболочек при осевоМ сжатии с другой стороны, классическая теория предсказывает только часть действительной предельной прочности тонких шарнирно опертых или защемленных по краям пластин при сжатии-или сдвиге (хотя эта теория предсказывает, когда начнется выпучивание). Эти расхождения становятся тем большими, чеш [c.81]

Рассмотрим слоистую изотропную длинную круговую цилиндрическую панель радиуса R и толщины h, несущую поперечную нагрузку. Используем систему координат ip, у, Z, описанную в предыдущем параграфе. Примем, что длина панели достаточно велика, условия ее опирания и нагружения не зависят от координаты у и рассмотрим задачу о выпучивании панели по цилиндрической поверхности. Целесообразно одновременно рассматривать задачу об устойчивости круговой арки единичной ширины, которую будем представлять себе вырезанной" из панели двумя нормальными сечениями у = с, у = с+1 (с = onst). Уравнения этой задачи, как будет видно из дальнейшего, лишь значениями некоторых коэффициентов отличаются от уравнений выпучивания панели по цилиндрической поверхности. Уравнения нейтрального равновесия получим из уравнений (3.5.10), в которых следует учесть, что для обеих рассматриваемых конструкций вариации составляющих тензора напряжений равны нулю. [c.123]

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и, v, w ) и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у и w решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющееся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла. [c.258]

Значительное число частных задач теории упругой устойчивости решено на основе уравнений нейтрального равновесия типа (4.6) и (4.7). Решение задач сводится к отысканию собственных значений и выбору среди них тех, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. При этом применяются разнообразные методы — как заимствованные из математической физики, вычислительной математики, теории колебаний, так и более специализированные приемы строительной механики, теории оболочек и т. п. Среди них важное место занимают вариационные методы метод Рейли — Ритца (1873, 1889, 1908 гг.), метод Бубнова (1911 г.) и др. Применение этих методов широко освещено в книгах [c.337]

В работах Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева (1965, 1966) был развит статический метод исследования устойчивости вязко-упругих оболочек, основанный на изучении ветвления форм равновесия в процессе ползучести. Так как вследствие ползучести напряженное и деформированное состояние оболочки непрерывно меняется, то в некоторый момент времени исходная форма равновесия оказывается не единственно возможной и появляются смежные формы равновесия, отличные от исходной. Э. И. Григолюком и Ю. В. Липовцевым было показано, что учет ползучести не приводит к принципиальным изменениям тех представлений о понятии устойчивости и методов решения, которые сложились при исследовании устойчивости упругих систем. Меняется и уточняется лишь расчетная схема. Причем эти изменения существенны лишь в той ее части, которая связана с определением напряжений и деформаций исходного состояния системы. Здесь необходимо учитывать возможные отклонения системы от идеального состояния, обусловленные наличием начальных перемещений, особенностями приложения нагрузки и т. д. Уравнения же нейтрального равновесия, записанные относительно мгновенных приращений (вариаций) напряжений и перемещений, имеют тот же вид, что и для упругих систем. При их записи необходимо лишь учитывать те дополнительные деформации и напряжения исходного состояния, которые накапливаются в процессе ползучести. [c.349]

В настоящей статье излагается теория расчета пластин, гп-ставленных из жестких и мягких слоев в произвольной последовательности. Для вывода уравнений используются вариационные принципы, что позволяет также получить естественные граничные условия и установить, таким образом, систему внутренних усилий, не противоречащих введенным гипотезам. Уравнения равновесия выводятся из принципа Лагранжа, уравнения колебаний — из принципа Гамильтона и уравнения нейтрального равновесия для задачи об устойчивости безмоментного состояния — из принципа Треффца. Обсуждаются частные и предельные случаи. [c.32]

Пусть пластина нагружена таким образом, что в ее жестких слоях возникают тангенциальные усилия Мх х, у), уа х, у) и 1 хуа (х, у), равномерно распределенные по толщине этих слоев, а нормальные прогибы т всюду равны нулю. Исследуем устойчивость этого состояния, для чего, следуя обычной методике, составим уравнения нейтрального равновесия. Уравнения выведем из известного вариационного принципа Треффца [12], согласно которому вторая вариация полной энергии системы б Э принимает для состояния нейтрального равновесия стационарное значение [c.63]

В 18—21 приведено услозие устойчивости равновесия и уравнения нейтрального равновесия несжимае.мого материала (18.12) —(18.14), дано выражение критерия Битти в применении к задачам устойчивости равновесия в неискаженном состоянии (20.4) и сжатого стержня (21.4). См. также [8.15 и [Ц. [c.506]

Обозначим через R радиус кривизны траектории точки G при качении одного цилиндра по другому тогда, как известно, R = AGEING и все точки, лежащие вне окружности, построенной на AS как на диаметре, описывают кривые, обращенные вогнутостью к точке А, в то время как точки внутри окружности описывают кривые, обращенные выпуклостью к точке А. После этого очевидно, что равновесие будет устойчиво, неустойчиво или нейтрально в зависимости от того, лежит ли Цеитр тяжести внутри, вне или иа границе круга. [c.387]

Примеры. Пример 1. Тяжелое тело находится в нейтральном положении равновесия на абсолютно шероховатой плоскости, наклоненной к горизонту под углом п. Показать, что если dpids Ф tg п, то равновесие устойчиво для отклонений тела по одну сторону от положения равновесия и неустойчиво для отклонений тела в противоположную сторону. Если указанное неравенство не выполняется, то равновесие будет устойчивым или неустойчивым в зависимости от знака второй производной. [c.446]

Таким образом, система (5.5), кроме пространственнооднородного равновесия с нейтральной (не асимптотической) устойчивостью имеет решение, периодическое во времени и по пространству. Здесь в зависимости от граничных и начальных условий существуют синусоидальные распределения ресурса и потребителя с периодом, пропорциональным радиусу активности. В каждой точке пространства эти значения биомасс совершают колебания 204 [c.204]

Известно, что потеря устойчивости на однопараметрическом семействе некосимметричных равновесий систем обыкновенных дифференциальных уравнений растянута по параметру. Это означает, что вначале на семействе возникают равновесия с нейтральным спектром. Число таких равновесий может быть различным и зависит от самой системы и значений параметров. Затем эти равновесия теряют устойчивость и в их окрестности возникают дуги неустойчивых равновесий. При изменении бифуркационного параметра размеры неустойчивых дуг увеличиваются. Кроме того, может меняться количество устойчивых и неустойчивых дуг как за счет возникновения новых, так и в результате слияния уже существующих. Характер неустойчивости для разных точек семейства при одних значениях параметров может быть различным возможна как монотонная, так и колебательная неустойчивость. Возникновение колебательной неустойчивости при некоторых значениях параметров сопровождается рождением или гибелью автоколебательных режимов. При монотонной потере устойчивости могут пересекаться различные семейства равновесий или возникать новые кривые равновесий. В результате при достаточно больших X все равновесия 56 [c.56]

Термокапиллярная неустойчивость равновесия цилиндрического слоя с недеформируемой свободной поверхностью при наличии радиального градиента температуры относительно монотонных возмущений исследована в [5]. Были численно построены нейтральные кривые и показано, что термокапиллярные силы могут привести к потере устойчивости равновесия и в цилиндрической области. Учет деформируемости свободной поверхности для этой задачи был проведен в [6]. В предположении монотонности возмущений в явном виде выписано выражение для критических чисел Марангони и исследовано поведение нейтральной кривой при изменении параметров задачи. Было обнаружено, что при учете капиллярности в диапазоне больших значений чисел Вебера единая нейтральная кривая распадается на три самостоятельные части. Объяснения этого явления без рассмотрения всего спектра возмущений дать не удалось. Кроме того, остался открытым вопрос о наличии осциллирующих возмущений. [c.3]

Рис. 18.1, К вопросу о различных формах равновесия а) шарик в наинизшей точке дна чашн>—положение равновесия устойчивое б) шарик на горизонтальной пластине —положение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения н неустойчивое —при начальном возмущении в виде импульса в) шарик на вершине купола —положение равновесия неустойчивое г) шарик на дне горизонтального лотка —положение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое —при начальном возмущении в виде импульса д) шарнк на замковой лиыин свода — положение равновесия неустойчивое б) шарик в перевальной точке седла —положение равновесия неустойчивое.

Решение задачи устойчивости атома непосредственно связано с принятой моделью его строения [20], Наиболее привлекательной в этой связи явилась ядерная модель, в соответствии с которой вся масса атома сосредоточена в малом ядре. В этом объеме заключен и положительный заряд атома. Вокруг ядра движутся легкие, отрицательно заряженные электроны атом при этом вцелом остается электрически нейтральным. Динамическая устойчивость атома в этой модели обеспечивается равновесием между кудоновской силой притяжения электронов к ядру и центральной силой, возникающей при обращении электрона вокруг ядра. [c.58]

Определение критических чисел из трансцендентных уравнений (6.14), (6.15) требует громоздких вычислений, поэтому в первых исследованиях устойчивости равновесия слоя с твердыми границами использовались приближенные методы решения краевой задачи для нейтральных возмущений. Впервые значения минимального критического числа Рэлея были найдены Джефрисом с помощью метода конечных разностей [ ], а затем, более точно, — методом Фурье Р]. Исследование границы устойчивости на основе точных характеристических уравнений было проведено Лоу [ ] и особенно обстоятельно — в известной работе Пеллью и Саутвелла [ ] ). В последней работе был также предложен вариационный метод нахождения критических чисел Рэлея для плоского слоя. Дальнейшее развитие вариационный метод получил в работах Чандрасекара (см. [ 2]). Весьма эффективным оказался также метод Галеркина (см. 7 и 8). [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...