Вариационные методы в динамике

Отсюда можно заключить, что значение аналогичного вариационного метода в динамике является также в значительной мере формальным. [c.45]

ГЛАВА 9 Вариационные методы в динамике [c.341]

Часть 2. Гл. 9. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ДИНАМИКЕ [c.342]

Сравнение векторного и вариационного методов в механике. Векторная и вариационная механики — это два различных математических описания одной и той же совокупности явлений природы. Теория Ньютона базируется на двух основных векторах на импульсе и на силе вариационная теория, основанная Эйлером и Лагранжем, базируется на двух скалярных величинах на кинетической энергии и силовой функции . Помимо математической целесообразности возникает вопрос об эквивалентности этих двух теорий. В случае свободных частиц, движение которых не ограничено заданными связями , эти два способа описания приводят к аналогичным результатам. Однако для систем со связями аналитический подход оказывается более экономичным и простым. Заданные связи учитываются здесь естественным путем, так как рассматриваются движения системы лишь вдоль таких траекторий, которые не противоречат связям. При векторном подходе нужно учитывать силы, поддерживающие связи, а потому приходится вводить различные гипотезы относительно этих сил. Третий закон движения Ньютона ( действие равно противодействию ) не охватывает всех случаев. Он оправдывается лишь в динамике твердого тела. [c.19]

Расширение приложений являлось одной из главных целей подготовки нового издания. Приложения А — N посвящены четырнадцати различным темам. Среди новых тем, включенных в приложения, отметим Вариационные принципы в динамике системы материальных точек (приложение В), О функциях энергии деформации и дополнительной энергии (приложение D), О различных видах тензоров напряжений в теории конечных перемещений (приложение Е) и О методе граничных элементов (приложение N). [c.8]

У.Р, Гамильтон. Об общем методе в динамике.— Вариационные принципы , стр. 175—233. [c.231]

Главной функции посвящен Второй очерк об общем методе в динамике Гамильтона (Сборник Вариационные принципы механики , С]р. 235 —28 ). [c.704]

Введение. Приступая к принципу Даламбера, мы покидаем область статики и попадаем в область динамики. Здесь задачи гораздо более сложны и их решение требует более совершенных методов. В то время как задачи статики для систем с конечным числом степеней свободы приводят к алгебраическим уравнениям, которые могут быть решены при помощи исключения переменных и подстановок, задачи динамики приводят к дифференциальным уравнениям. Настоящая книга посвящена главным образом формулировке и интерпретации основных дифференциальных уравнений движения, а не их окончательному интегрированию. Принцип Даламбера, который мы обсудим в настоящей главе, непосредственно ничего не дает для целей интегрирования. Однако он является важной вехой в истории теоретической механики, так как он дает интерпретацию силе инерции, а это существенно для дальнейшего развития вариационных методов. [c.112]

Столь же перспективными для решения нелинейных задач динамики оказываются и вариационные методы сведения уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.351]

Систематически применялись вариационные методы А. А. Космодемьянским. В частности, в работе Экстремальные задачи динамики точки переменной массы (1946) им поставлены и решены задачи определения максимальной высоты подъема ракеты и задача достижения ракетой заданной высоты в минимальное время (при наличии сил сопротивления среды). [c.307]

Итак, приближенное решение вариационных задач статистической динамики по методу множителей Лагранжа для простейших нелинейных систем обеспечивает высокий уровень точности уже при учете моментных соотношений второго порядка. В отличие от метода редукции уравнения относительно моментных функций здесь удовлетворяются не приближенно, а в строгом соответствии с совместной плотностью вероятности фазовых переменных. При этом форма распределения выбирается не произвольно, а на основе вариационного принципа максимума энтропии. Однако построение дальнейших приближений, которые могут потребоваться для системы с существенными нелинейностями, связано с громоздкими вычислениями. Привлечение моментных соотношений более высокого порядка приводит к усложнению выражения для р и резкому увеличению машинного времени на реализацию численного алгоритма. В связи с этим ниже рассмотрены другие варианты прямого метода решения вариационных задач, более удобные для практической реализации. [c.61]

Но и в рамках динамики точки переменной массы решается большой класс актуальных задач ракетодинамики, в которых требуется определить оптимальные условия выведения ракеты на орбиту. Группа советских ученых разрабатывала эффективные вариационные методы решения задач об определении оптимальных режимов движения ракеты, при которых достигаются максимальная высота, данная высота в минимальное время, оптимальная программа изменения других параметров и т. п. [c.239]

Изучая движение материальных тел под действием сил, можно выделить весьма важный класс задач динамики, характерных тем, что некоторые из действующих на объект сил могут быть запрограммированы и реализованы в процессе движения человеком-пилотом (или автопилотом). Часть сил, приложенных к движущемуся объекту, конечно, определена (детерминирована) природой, а часть может изменяться в широких пределах по некоторым законам, заложенным в конструкцию летательного аппарата. Так, при изучении движения ракеты в поле тяготения Земли гравитационная сила вполне детерминирована (она, в первом приближении, подчиняется закону тяготения Ньютона), а реактивная сила может изменяться и регулироваться как по величине, так и по направлению. Каждому закону регулирования реактивной силы будет соответствовать некоторый закон движения ракеты. В современной ракетодинамике и динамике самолета такие задачи часто на> зывают задачами с управляющими (или свободными) функциями. Если управляющие функции все заданы и, следовательно, сделаны определенными все действующие силы, тогда мы будем иметь дело с обычной задачей теоретической механики найти закон движения объекта, если действующие на него силы неизвестны. Но выбор (задание) свободных функций можно подчинить некоторым, достаточно общим и широким, условиям оптимальности (экстремальности) и производить определение динамических характеристик для этих классов оптимальных движений. Метод проб или сравнений, лежащий в основе классических вариационных принципов, применим и здесь, но варьируется выбор управляющих функций, а не траекторий в пространстве конфигураций. Задачи такого рода имеют большое практическое значение в динамике полета ракет и самолетов, а также в теории автоматического регулирования- [c.14]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Пример 7.3 Рассмотрим жестко защемленную квадратную пластину, нагруженную силами N =Ny=N (рисунок 7.7,в). Выше отмечалось, что наибольшая погрешность вариационного метода Канторовича-Власова наблюдается у квадратных пластин, а условия ее опирания не позволяют получить точного аналитического решения задач статики, динамики и устойчивости. Поэтому данная задача позволяет дать оценку точности и эффективности различных методов, в том числе и МГЭ. Матрица устойчивости и ее определитель для краевых условий по рисунге 7.7,в примут вид [c.436]

В книге дан обзор известных методов статистической динамики, обоснованы вариационные методы исследования, приведены прикладные задачи и инженерные методы расчета дискретных колебательных систем, й также статические и динамические задачи для упругих конструкций (балок, пластин, оболочек), вопросы распространения волн в стохастически неоднородных средах. [c.5]

Фактически область применимости вариационного принципа в стохастических задачах динамики механических систем более широка, так как здесь, как и в статистической физике, не используется марковское свойство рассматриваемых процессов. Для вывода моментных соотношений, помимо уравнений типа Колмогорова, мбгут быть использованы и другие методы. В гл. 4 показано применение спектрального и корреляционного способов составления уравнений относительно моментных функций для нелинейных систем. [c.46]

В предлагаемой вниманию читателя книге содержится систематическое изложение вариационных принципов и их приложений к различным задачам статики и динамики деформируемых твердых тел и конструкций. Книга публиковалась на английском языке издательством Пергамон пресс трижды (в 1968, 1975 и 1982 гг.). При подготовке к печати второго и в особенности третьего издания текст книги существенно перерабатывался и в него вносились значительные дополнения, отражающие новые результаты использования вариационных методов и применения вариационных принципов в методах конечных элементов. Настоящий перевод осуществлен с третьего издания. [c.5]

Динамика точки формируется на основе разработанного дифференциального принципа движения (принципа полноты), позволяющего в наиболее точной форме учитывать внутренние динамические особенности объекта и ведущего к появлению нового класса гиперреактивных сил. В проводимом теоретическом анализе основное место отводится нахождению оптимальных режимов движения, а также их связи с вариационным методом. [c.163]

См. fl.Il, стр, 25, 30—36, 39-—40 [соответственностр. 37, 43—50, 54 русского перевода], Замечание. Основное ( отношение, связывающеё кривизну с изгибающим моментом, впервые было получено Яковом Бернулли, хотя ему не удалось найти правильное значение п<х тоянной, входящей в это соотношение. Тем не менее его работа должна рассматриваться как первый вклад в решение задач о больших прогибах балок. Следуя совету Даниила Бернулли, Эйлер вновь вывел дифференциальное уравнение линии прогибов и приступил к решению различных задач об эластике см. [1.1J, стр. 27 стр. 39 русского перевода], 1.2], т. 1, ip. 30 и 34, а также 1.3], стр. 3 [стр. 17 русского перевода]. В I6.20] приведена известная статья Эйлера о линиях прогиба. После этого задачей об эластике занимался Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), выдающийся итальянский математик ), впервые сформулировавший принцип возможной работы и сделавший весьма существенный вклад в динамику. Он рассмотрел консольную балку с нагрузкой на незакрепленном конце (см. 1.1], стр. 39—40 стр. 54 русского перевода], и [1.2], т. 1, стр. 58—61, а также статью Лагранжа [6.21]) краткая биография Лагранжа приведена в[6.4] на стр. 133 и в 6.5] на стр. 250. К числу первых ученых, занимавшихся теорией упругости, относится и Джиованни Антонио Амадео Плана (1781—1864), племянник Лагранжа, исправивший ошибки в работах Лагранжа по теории упругих кривых (см. [1,2], т. I, стр. 89—90, а также работу Плана [6,22]) биографические сведения о нем можно найти в [6.5]. Макс Борн в своей диссертации 6.23] исследовал эластику при помощи вариационных методов (см. [1.13], стр. 927—928 и 932 [c.553]

Вариационные принципы газовой динамики. В этом пункте мы рассмотрим некоторые экстремальные свойства установивщегося дозвукового течения. Изучение этих свойств объясняется, с одной стороны, желанием обобщить теорему Кельвина о минимуме кинетической энергии на случай течений сжимаемой жидкости, а с другой стороны,—необходимостью создания методов расчета таких течений. Заметим, что установленная в п. 15 теорема Херивела — Линя не является вариационным принципом в точном значении этого слова, однако идея Херивела о выборе в качестве функции Лагранжа при формулировке принципа Гамильтона величины 2 — Ё в дальнейшем будет служить нам ориентиром при выборе подинтегральной функции. [c.143]

Спецкурс Избранные вопросы теории колебаний и волн в распределенных системах знакомит студентов с современными достижениями теории волн применительно к динамике распредепенных упругих систем. В курсе изучаются колебания периодических структур, составленных из различных комбинаций реологических элементов Гука и Юма. Осуществляется предельный переход к распределенным системам. С помощью вариационного метода строятся модели упругих колебаний стерж1 сй и пластин. Рассматриваются кинематические и динамические характеристики волнового процесса, выводятся уравнения переноса энергии и импульса. Методом стационарной фазы из)Д1а-ется асимптотическое поведение волн в линейных средах. Вводится понятие дисперсии фазовой и групповой скоростей. Рассматривается нелинейная эволюция волн Римана, ударных волн и солитонов. Изучаются также волновые процессы в системах с нестационарными и движущими границами. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...