Исследование устойчивости по первому

Тогда для исследования устойчивости по первому приближению составляют систему, получаемую из (И ) отбрасыванием нелинейных слагаемых (уравнения в вариациях) [c.652]

Как и в теории малых колебаний, примем за начало отсчета положение равновесия. При исследовании устойчивости по первому приближению достаточно применить выражение для R, составленное с точностью до членов [c.180]

В настоящее время для исследования устойчивости имеется ряд методов, в частности, два метода Ляпунова, в которых используется так называемая функция Ляпунова ), отыскиваемая применительно к исследуемой системе. Общих методов отыскания функций Ляпунова для нелинейных систем не существует. На этом самостоятельном вопросе останавливаться не будем. Обсудим лишь исследование устойчивости по первому приближению, используя при этом теоремы Ляпунова. [c.72]

Исследование устойчивости по первому приближению для неавтономных систем значительно сложнее, чем для автономных, и на нем не останавливаемся. [c.75]

Исследование устойчивости по первому приближению 72 [c.476]

Исследование устойчивости по первому приближению. При исследовании устои- чивости по первому приближению правые части дифференциальных уравнений воз-f [c.38]

Таким образом, для исследования устойчивости по первому приближению достаточно определять знаки вещественных частей корней характеристического уравнения. Это можно сделать, не вычисляя корней, с помощью критерия Рауса—Гур-вица (см. т. 1). [c.39]

Для неавтономных систем (р. и Xf явно зависят от t) задача исследования устойчивости по первому приближению существенно усложняется. О свойствах решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае судят по характеристичным числам. [c.39]

Исходя из Теоремы 1, можно предложить следующий метод исследования устойчивости по первому приближению невырожденного периодического движения с ударами Линеаризуем систему (7) [c.246]

Сравнивая приведенное здесь решение с решением этой задачи в 2.7, видим, что применение теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению может существенно упростить исследование. [c.113]

Если же среди корней характеристического уравнения вещественная часть по меньшей мере одного из них равна нулю, при отрицательных остальных, то исследование устойчивости по уравнениям первого приближения невозможно и необходимо в исследовании учитывать и члены высшего порядка малости, т. е. учитывать X]. [c.74]

Первый метод, говоря словами Ляпунова, сводится к непосредственному исследованию возмущенного движения и основан на изучении общих или частных решений дифференциальных уравнений (Ь). При выяснении важнейшего вопроса о том, когда можно судить об устойчивости по первому приближению, т. е. ограничиваясь в правых частях уравнений (Ь) линейными членами, требуется изучить поведение решений однородной линейной системы [c.125]

Если круговое кольцо подвергнуть действию равномерно распределенных внешних давлений интенсивности д, то ось кольца будет испытывать равномерное сжатие, сохраняя первоначальную круговую форму. Постепенно увеличивая интенсивность давлений, мы можем достигнуть предела, за которым круговая форма перестает быть устойчивой и кольцо начинает сплющиваться, как показано на рис. 67. При исследовании устойчивости применим первый метод (см. стр. 258). Предположим, что под действием внешних давлений сплющивание произошло, составим дифференциальное уравнение равновесия для искривленной формы и из решения этого уравнения найдем, каковы должны быть давления д, чтобы искривленная форма была возможной. Оси симметрии сплющенной формы принимаем за координатные оси X, у ж производим разрез кольца по горизонтальной оси симметрии (рис. 67, б). [c.305]

Случай Л =0. В этом случае диск представляет собою консервативную систему. Корни характеристического уравнения (3.26), не считая двух нулевых корней, оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают, что система обладает консервативной устойчивостью. Однако с точки зрения теории устойчивости по первому приближению (см. 1) последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования. Это исследование было проведено в 2 гл. II. [c.310]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ. Заключения об устойчивости, сделанные на основании исследования линеаризованных уравнений возмущенного движения системы, не всегда остаются в силе для исходной (неупрощенной) системы. Устойчивость или неустойчивость последней определяется во многих случаях как раз отбрасываемыми при линеаризации нелинейными членами. Рассмотрим, например, задачу об устойчивости невозмущенного состояния системы [c.441]

Основными подходами к исследованию устойчивости являются 1) второй, или прямой, метод Ляпунова 2) теория устойчивости по первому приближению 3) частотная теория абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем. Первые два подхода, наиболее общие и распространенные в прикладных задачах, излагаются ниже применительно к автономным сосредоточенным системам. Частотные критерии абсолютной устойчивости подробно изложены в литературе по теории автоматического регулирования, в частности в монографиях [7,14]. [c.29]

Таким образом, исследование по первому приближению позволяет окончательно ответить на вопрос об устойчивости движения в тех случаях, когда корни характеристического уравнения имеют отрицательную или положительную вещественную часть. [c.652]

Упрощения исследования частного вида движения можно достичь, исключив влияние ускорений. Практически это оправдано, когда движение развивается достаточно медленно. При необходимости учесть ускорение можно ввести поправку к аэродинамическому коэффициенту в виде члена, равного произведению первой производной устойчивости по ускорению и соответствующего безразмерного ускорения. [c.25]

В связи с отмеченными явлениями возникает проблема устойчивости ударных волн. Как отмечалось выше, произвольный разрыв является неустойчивым и распадается на два возмущения, каждое из которых может быть ударной волной либо волной разрежения. Оказывается, что при некоторой специфической форме адиабаты Гюгонио возможен распад ударной волны. Существуют два направления теоретического исследования устойчивости ударных волн. В первом из них исследуется эволюция малых возмущений на фронте ударной волны. Возмущения задаются в области за ее фронтом. По сути дела, изучается отражение возмущений от фронта ударной волны, падающих со стороны сжатого газа. Если возмущения с течением времени возрастают, то считается, что ударная волна неустой- [c.81]

Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, но и для линеаризованных уравнений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова) . Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней линеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости. [c.86]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Можно было бы на этом основании ожидать, что достаточно сообщить небольшой толчок гироскопу, вращающемуся около экваториальной оси, чтобы отклонить мгновенную ось вращения на конечный угол от своего первоначального положения. Если бы мы выполнили такой опыт, то не получили бы ожидаемого эффекта отклонение оси вращения было бы при этом едва заметным, а угловая скорость осталась бы почти без изменения. И все же нет никакого противоречия между опытом и заключением теоретического исследования, так как речь идет о различных оценках устойчивости. В теории исследуется устойчивость по отношению к проекциям р, q, г угловой скорости на оси, связанные с телом, а на опыте проверяется устойчивость по отношению к проекциям той же угловой скорости на неподвижные оси. По отношению к первым движение неустойчиво, а по отношению ко вторым оно устойчиво. Это следует из того, что после толчка неподвижный аксоид будет конусом с очень острым углом при вершине, а угол при вершине подвижного аксоида будет близок к к. [c.540]

Устойчивость траекторий (1). Впервые понятие устойчивости было установлено для системы, выведенной из положения равновесия ( 9.1). В 9.9 мы это понятие применили при исследовании равновесия гироскопической, системы, а в 9.6—при исследовании установившегося движения гироскопической системы. Наконец, при изучении уравнений в вариациях ( 23.1) мы ввели понятие устойчивости движения по первому приближению. [c.471]

Если бы все корни уравнения (29.7.21) были простые и чисто мнимые, то можно было бы заключить, что исходное равновесное решение устойчиво по крайней мере в первом приближении. Однако на данной стадии исследования такого заключения сделать нельзя вследствие наличия множителя и повторения множителя (Р + со ) в левой части уравнения (29.7.21). В следующем параграфе мы покажем, каким образом порядок системы можно понизить с 12 до 6. Для приведенной системы собственные значения будут определяться уравнением шестой степени [c.584]

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером. В дальнейшем его подход был развит Лагранжем. По Эйлеру — Лаг- [c.106]

По изучению устойчивости гидросистем проведены первые теоретические исследования схемы, состояшей из регулируемого насоса, гидромотора, зубчатой и винтовой передач и салазок, Установлено, что передача с гидромотором более устойчива, чем передача с гидроцилиидром, и менее чувствительна к изменениям нагрузки (см. стр. 125). Приближается к завершению изготовление стенда для экспериментального исследования устойчивости передачи с гидромотором. [c.20]

Работы Ивана Ивановича, выполненные им во второй половине 40-х и первой половине 50-х годов, были направлены на развитие и решение важнейших задач теории. В области динамики машин он разработал новый метод определения маховых масс (1944 г.) в соавторстве с Б. М. Абрамовым были решены некоторые уравнения движения машины (1944 г.) занимался исследованием устойчивости режима установившегося движения машины (1952 г.) вместе с В. Т. Костицыным и Н. П. Раевским начал разработку экспериментальных методов исследования в теории механизмов (1952 г.). В области кинематики Иван Иванович продолжал исследования механизмов для воспроизведения некоторых математических функций. Им выпущен справочник по механизмам в четырех томах (т. 1 — 1947 г., т. 2—1948, т. 3—1949, т. 4—1951 г.). В 1952 г. вышел классический труд Л. В. Ассура под редакцией и с комментариями Артоболевского. [c.15]

Наряду с проверкой по этому критерию на каждом шаге по внешним воздействиям (при исследовании устойчивости в упругой области) и по времени (при исследовании устойчивости при ползучести) осуществляем контроль за скоростью изменения прогиба оболочки по ведущему параметру. Ее резкое возрастание указывает в первом случае на потерю устойчивости в большом хлопком, т. е. на достижение внешним воздействием верхнего критического значения, во втором — на потерю устойчивости при ползучести путем резкого выпучи- [c.34]

Условие, что q o>0. можно несколько ослабить. Для того чтобы большие по модули корни уравнения (3.7) имели отрицательные вещественные части, достаточно, чтобы при малых положительных значениях уравнение (3.8) имело конечное число корней с положительной вещественной частью. Это будет иметь место, если коэффициент при высшей степени. V в полиноме F(y ) положителен. Если известно количество чисто мнимых корней и корней с положительной вещественной частью уравнения 5(Х) = -0, то при исследовании устойчивости следует умножать на [j. первый член уравнения (3.7), Все остальные рассуждения проводятся без существенных изменений. [c.158]

Системы автоматического регулирования обычно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, в связи с чем возникает вопрос в какой мере результат исследования устойчивости линеаризованной системы, т. е. по линеаризованным уравнениям, или, как иначе говорят, по уравнениям первого приближения, будет справедлив для исходной нелинейной системы (при не слишком больших отклонениях) Этот вопрос был полностью решен знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым в 90-х годах прошлого века, когда он сформулировал и доказал две теоремы, которые здесь приведем без доказательства. [c.212]

Б. Первые экспериментальные исследования устойчивости сжатых стержней имели целью проверку формулы Эйлера. Для длинных (гибких) стержней она полностью подтвердилась, но для коротких (как это ясно из теоретических соображений) приводила к резкому расхождению с результатами опытов. На базе подобных опытов, нередко проводившихся довольно небрежно, были предложены различные эмпирические формулы для критических напряжений, в большей части недостаточно обоснованные. Однако по мере совершенствования техники эксперимента качество их улучшалось. [c.463]

Исследованию динамической устойчивости механических систем при случайных воздействиях посвящено много работ. Это объясняется, во-первых, большим разнообразием определений стохастической устойчивости и соответствующих методов изучения. Вводятся понятия устойчивости по вероятности, по моментам, устойчивости почти наверное и т. д. [28]. Во-вторых, трудности анализа обусловлены особенностями различных воздействий, среди которых рассматриваются узкополосные случайные процессы, экспоненциально-коррелированные функции, процессы типа белого шума и др. [c.135]

При и = 2 и и = 5 соответствует форма потери устойчивости по двум и трем полуволнам синусоиды (рис.19.4). Исследования, проведенные Лагранжем, показали, что только первая форма изгиба является устойчивой, а все остальные могут быть лишь при наличии промежуточных опор (в точках перегиба). [c.275]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

В практическом использовании второй метод Ляпунова значитель но сложнее, чем способы исследования устойчивости по первому при ближению, ибо общих рецептов построения функций Ляпунова не су ществует- Теория устойчивости по первому приближению сводит вопр об устойчивости к чисто алгебраической задаче - к анализу расположени корней характеристического уравнения в комплексной плоскости корне а для этой цели разработаны различные стандартные приемы [14, 33]. [c.44]

Дастся изложение основ теории усхойчпвоети движения, базирующееся на общем курсе высшей математики для втузов. Основное внимание уделено наиболее эффективным методам иссл< дова-ния — прямому методу Ляпунова, исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения и частотным методам. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения но стру -туре действующих сил, устойчивости неавтономных систем, в тол числе систем с периодическими коэффициентами, и систем автоматическою регулирования. [c.2]

Основное внимание в кпиге уделено наиболее эффективным методам исследования устойчивости движения — прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости дви>кения по структуре действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе систем, возмущенное движение которых описывается линейными дифференциальными уравиениями с периодическими коэффициентами. [c.7]

Рассмотрим сн ала даижение первого типа, для которого малые возмущения амплитуд Al и А2 эволюционируют независимо. Пусть для определенности Al Ф 0,А2 =0. Исследование устойчивости по отношению к возмущению Al приводит к тем же критериям, что и в случае невырожденной колебательной неустойчивости, в частности, интервал устойчивости по волновому числу существует toj ko при оов ф - ( ) >0. Устойчивость же по отношению к возмущениям А2 возможна только в ny iae os ф< а osx-При этом критерий устойчивости имеет вид [c.247]

Очевидно, что выражение для Ко = Ф7Фо совпадает с (8.26). Полученные выше соотношения показывают, что во всех случаях эффективность управления возрастает с увеличением коэффициента усиления X в цепи обратной связи. Однако величина этого коэффициента в действительности ограничивается условиями устойчивости системы. Для исследования устойчивости вернемся вновь к передаточной функции разомкнутой системы и ее амплитудно-фазовой характеристике, показанной на рис. 48, а. Пусть первое (при возрастаппи а от нуля) пересечение годографа с левой вещественной полуосью происходит при ю кт, что означает, что переход годографа в левую полуплоскость происходит при кт-1 < ш < Ат. Тогда по критерию Найквиста замкнутая система окажется устойчивой, если точка пересечения окажется правее точки (—1, 0), т. е. если будет выполняться условие [c.135]

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике,— применение понятия теоретически устойчивых двия№пий к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создании аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Чета-евым в работах 1931 — 1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях [c.289]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

Относительно низкие значения величины dXidt для предельных одноатомных спиртов и предельных одноосновных кислот (по сравнению с предельными углеводородами) являются прямым следствием существования водородных связей, которые способны создать довольно устойчивые по отношению к тепловому движению комплексы молекул. Влияние температуры на изменение структурного строения ассоциированных жидкостей значительно слабее, чем у углеводородов. С увеличением молекулярного веса спиртов и кислот уменьшается степень ассоциации молекул, но возрастает ориентирующее воздействие удлиненной формы. Первое способствует увеличению температурной зависимости X, второе, наоборот, —ее уменьшению (подобно предельным углеводородам). Совместное воздействие этих факторов и определяет вид кривых dk/dt = f n) для исследованных спиртов и кислот. [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...