Математические аппроксимации

Аналогичным образом по точкам строятся окружности и другие линии, которые поддаются математической аппроксимации. Для этого используется универсальная цифровая модель дифференциального анализатора, описанного в [75]. [c.177]

Для соответствующего приближенного расчета подобных процессов целесообразно пользоваться следующими элементарными приемами. Исходя из известной (например, полученной экспериментально) определяющей свойства системы нелинейной зависимости, необходимо выбрать ее математическую аппроксимацию. Наиболее удобна полиномиальная аппроксимация. Наивысшую степень аппроксимирующего полинома следует выбирать, исходя из условий желаемой точности аппроксимации реальной физической зависимости в используемом интервале значений переменных и, что самое важное, из ожидаемой кратности умножения частоты. Можно просто выбрать высшую степень полинома равной номеру интересующей нас гармоники гармонического воздействия. Считаем, что собственная частота системы близка к частоте этой [c.107]

Найдем уточненные значения коэффициентов у , Р, у методами математической аппроксимации. [c.367]

Обсуждение метода контрольного объема. В книге будет использоваться метод контрольного объема для получения дискретных аналогов. Основная причина этого заключается в том, что дискретные аналоги, полученные этим методом, являются не только формальной математической аппроксимацией, но и имеют ясный физический смысл. Интересующие нас дифференциальные уравнения представляют собой законы сохранения. Например, уравнение теплопроводности основано на законе сохранения энергии. В дальнейшем мы используем законы сохранения количества движения при течении в каналах и сохранения массы при течениях в пористых средах. Когда дискретные уравнения получены методом контрольного объема, они представляют собой законы сохранения энергии, количества движения, массы для каждого контрольного объема. Из этого следует, что полученное численное решение удовлетворяет законам сохранения этих величин во всей расчетной области. [c.31]

С точки зрения исследования распространения волновых процессов одним из существенных качеств применяемой модели динамики сплошной среды является ее гиперболичность, т. е. соответствующие дифференциальные уравнения должны принадлежать к уравнениям так называемого гиперболического типа. Физически это выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде, что, однако, не всегда принимается во внимание при построении математических аппроксимаций. Это обстоятельство особенно важно для построения упрощенных теорий. Такие приближенные теории строятся обычно как асимптотически вырожденные по параметру (параметрам) или как некоторые аппроксимации точно поставленных задач математической теории упругости. Гиперболические аппроксимации являются, по-видимому, наиболее подходящими. Они, в отличие от параболических аппроксимаций, характеризуют процессы распространения волн с разрывами и поэтому способны описать динамические явления в областях, расположенных ближе к реальным волновым фронтам, предсказываемым трехмерной теорией. Иначе говоря, если рассматривать гиперболические и параболические аппроксимации одного порядка (имеется в виду порядок пространственно-временного дифференциального оператора), то с помощью первых можно построить теории, применимые при более высоких частотах гармонических составляющих [2.54]. Все сказанное относится к модели динамической теории упругости, которая, как известно, является гиперболической, и ее аппроксимациям— теориям стержней, пластин и оболочек. Условию гиперболичности не удовлетворяют классические тео- [c.6]

Известны другие способы оптимального раскроя с применением ЭВМ, предусматривающие аппроксимацию самих контуров фигур отрезками прямых и дугами окружностей, а также с применением достаточно сложного математического аппарата. [c.298]

Для гладких неразрывных функций хорошо развит математический аппарат изучения аппроксимации и доказательства устойчивости разностных схем. [c.47]

Математическая модель диода основана на аппроксимации вольт-амперной характеристики р-п-перехода [c.90]

Математическое описание задач типа В и Г в общем случае включает уравнения динамики и возможные дифференциально-ин-тегральные выражения функционалов цели и ограничений. Однако с учетом (3.61) и (3.62) замена дифференциальных уравнений и интегралов их дискретными аналогами не обязательна. Достаточно дать аппроксимацию лишь вектор-функции Y(/) и исключить из рассмотрения управляющие переменные, зависящие от времени. [c.78]

Таким образом, применяя ту или иную аппроксимацию Y(/), можно функционалы цели и ограничений преобразовать в функции многих переменных. Общее число переменных возрастет за счет добавления параметров, необходимых для аппроксимации временных функций. В этом случае математическое описание задач в конечной форме при переходе от векторов к скалярным составляющим принимает следующий вид (назовем ее задачей Д) [c.78]

Особое значение имеют методы аналитического синтеза механизмов, разработанные великим русским математиком н механиком П, Л, Чебышевым ). Своими трудами П. Л, Чебышев, в частности, зало.жил основы двух связанных между собой направлений научных исследований в области математического анализа и механики и соответственно двух научных школ в СССР. Речь идет об исследованиях вопросов наилучшего в смысле П. Л. Чебышева приближенного представления (аппроксимации) функций и вопросов теории расчета механизмов ). [c.212]

Многие задачи механики стерл<ней, с которыми приходится сталкиваться инженеру-расчетчику, не поддаются точному решению. К таким задачам, например, относятся задачи статики и динамики стержней с переменным сечением и нелинейные задачи. Для решения подобных задач приходится использовать приближенные методы, как численные, так и аналитические. Часто оказывается, что полученные точные решения из-за чрезвычайной сложности записи являются практически бесполезными для математической и физической интерпретации или численных расчетов, т. е. приходится для получения нужной информации все равно прибегать к упрощениям или к аппроксимациям полученных решений. Среди приближенных методов решения уравнений равновесия наибольшее распространение получили методы, использующие вариационные принципы механики. [c.128]

Для получения конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения (4.32) можно воспользоваться математическими преобразованиями с заменой производных отношениями конечных разностей или методом тепловых балансов. Воспользуемся первым из этих способов. [c.82]

При анализе конкретной задачи необходимо задаваться какой-либо аналитической или графической аппроксимацией реальных нелинейных зависимостей, т. е. переходить к рассмотрению системы, приближенно передающей свойства реальной системы, а затем искать точное или приближенное, качественное или количественное решение соответствующей математически сформулированной задачи. [c.47]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Поэтому вря ли имеет смысл стремиться к точному аналитическому описанию кривых ползучести на всех их участках, так как это неизбежно приводит к очень трудным математическим Задачам и в то же время лишь приближенно отражает (вследствие разброса) исходные данные, добытые из экспериментов. Вместо этого достаточно, чтобы полученные в результате аппроксимаций зависимости правильно отражали главные черты явлений ползучести в стареющих материалах и одновременно были бы достаточно простыми для решения прикладных задач. [c.63]

Математическая обработка полученных зависимостей потерь массы О [ г/м2] от времени t [ч] с помощью регрессионного анализа показала, что наилучшая аппроксимация достигается при использовании логарифмического закона [c.33]

Р. И. Янус, Л. X. Фридман и В. И. Дрожжина [12] дали развитую теорию феррозондов с продольным возбуждением для области слабых измеряемых полей. Не задаваясь какой-либо конкретной аппроксимацией кривой намагничивания сердечников, пользуясь математическим разложением индукции от суммарного поля в ряд Тейлора и считая измеряемое поле достаточно малым по сравнению с полем возбуждения, авторы получили выражение для среднего и пикового значения, а также для максимальных значений амплитуд четных гармоник выходной э.д.с. феррозонда. [c.41]

Развитие нелинейной динамики машин за последние десятилетия показывает, что решение е наиболее трудных проблем требует органического единства качественных, численных и аналитических методов теории дифференциальных уравнений, математического и функционального анализа, методов приближенных вычислений и теории аппроксимации, аналитической механики голономных и неголономных систем. Предпочтение в выборе тех или других методов диктуется содержанием рассматриваемых задач и целями исследования. Однако почти во всех случаях вопрос [c.29]

Схематизация диссипативных свойств различных элементов является одним из наиболее сложных вопросов при построении динамических моделей механических систем и объясняется отсутствием достоверных математических описаний диссипативных явлений. Существующие предложения могут рассматриваться только как правдоподобные аппроксимации сложных нелинейных законов диссипативных сил. [c.11]

При статистическом анализе нелинейных динамических систем обычно возникает задача приближенной замены нелинейных функций, входящих в систему дифференциальных уравнений, более простыми. Так, например, статистическая линеаризация позволяет во многих практиче ских случаях находить линейные эквиваленты для нелинейных преобразований и применять для нелинейных систем хорошо разработанные методы, которые подробно рассмотрены в I главе и в [33, 69, 85]. Если нелинейные функции не могут быть описаны математически, то задача сводится к выбору подходящей аппроксимации совместно с методами статистической линеаризации [29]. Таким образом, может быть решена задача идентификации нелинейных систем. Отличительная черта рассматриваемых приближенных методов состоит в том, что анализируются соотношения между статистическими характеристиками процессов, а не между самими процессами. Это приводит к тому, что 10 147 [c.147]

Рассмотрим в качестве примера применение стандартной градуировочной таблицы термопар типа Я. Сама таблица задана в форме полинома [38] (см. приложение V) седьмой степени в интервале температур от —50 до 630 °С и четвертой степени в интервале от 630 до 1064 °С. Вопрос об упрощении математической аппроксимации этой и других справочных таблиц будет рассмотрен ниже. На рис. 6.16 показаны отклонения показаний значительного числа современных термопар от стандартной таблицы Отклонения были измерены [27] в точках затвердевания цинка ( 419 °С), серебра ( 960 °С) и золота ( 1064°С), точность была оценена величиной 0,2°С. Очевидно, что квадратичной формулы вполне достаточно для описания отклонений в пределах погрешности измерений. Сопостав- [c.299]

Наконец, для научного и практического использования принимается обобщенная, достаточно простая математическая аппроксимация — эллипсоид вращения, параметры которого подбирают из условия наилучшего соответствия фигуре геоида (более строго — квазигеоида). [c.1180]

Приведенная интерпретация модели Тимошенко (2.8) — (2.17) не является строгой в смысле математической аппроксимации точной постановки задачи, указанной в предисло-вlии >. Действительно, соотношение (2.8) точно выполняется только на нейтральной поверхности, а вторая формула (2.17) справ-едлив>а только в том случае, если не учитывать связи между изгибом и сдвигом стержня . [c.18]

Были предложены различные искусственные приемы отыскания корректирующего коэффициента k в уточненных теориях, основанных на сдвиговой модели Тимошенко. Все эти приемы являются приближенными. При построении уточненных уравнений, как математических аппроксимаций краевой задачи динамической теории упругости, не требуется введения каких-либо искусственных величин. Поэтому из сравнения математических аппроксимаций с соответствующими уточненными теориями, содержащими искусственные величины, можно найти формулы для корректирующих коэффициентов, иногда в явном виде. Такой подход был применен в случае пластины И. Т. Селезовым [2.50] (I960). [c.49]

Внутренняя противоречивость -модели Тимощенко отмечалась ранее в работе [2.52] (I96I), где уточненные уравнения были получены как математические аппроксимации трехмерной динамической задачи для упругого слоя. В дальнейшем было отмечено, что для построения первого Приближения к модели Кирхгофа компоненты вектора перемещений 1, 2 и Ыз следует брать в виде [2.3а] (1972) [c.121]

В карту подготовки информации записывают номера всех опорных точек, их координаты и приращения координат. При этом в целях упрощения для промежуточных опорных точек координаты проставляют относительно центра дуги Ц, а не от начала отсчета координат. Остальная работа по подготовке геометрической информации выполняется в том же порядке, что и для прямолинейных перемещений. Шаг аппроксимации должен быть выбран настолько малым, чтобы математическая погрешность (стрела прогиба дуги) не превысила заданную величину (допуск). Дальнейшее уменьшение шага бесполезно, так как возрастает длина и трудоемкость управляющей программы. При шаге Лер > > 3° шероховатость обработанной поверхности может быть нпдна невооруженным глазом. [c.251]

Следовательно, дискретизация и алгебраизация уравнений в МКР сводит задачу анализа моделей на микроуровне к численному решению систем конечных (4.23) или обыкновенных дифференциальных (4.24) уравнений. Следует отметить, что точность аппроксимации растет с уменьшением величин шагов, однако при этом увеличивается порядок систем уравнений (4.23) или (4.24). Так, если окажется, что для достижения приемлемой точности рассматриваемую область R нужно делить вдоль каждой из координатных осей на 10 участков, то порядки систем уравнений (4.23) или (4.24) в одно-, дву- и трехмерных задачах составляют соответственно около 10 , 10 и 10 . Очевидно, что решение двумерных и особенно трехмерных задач требует значительных вычислительных ресурсов и тщательного отбора соответствующего математического обеспечения. Методы решения таких уравнений, применяемые в САПР, рассматриваются в следующей главе. [c.162]

Замена дискретного обвода математическими уравнениями всегда осущесгвляется с каким-то приближением. Геометрический образ, заменяющий с определенной степенью точности исходный геометрический образ, называется аппроксимирующим, а процесс его нахождения — аппроксимацией. [c.74]

Ниже приводятся сведения о некоторых приложениях теоретической кинематики к вопросам теории механизмов. Этот параграф, пмеющгш главным образом описательное содержание, не обязателен для усвоения. Однако он целесообразен, так как относится к области, связывающей три направления механики и математического анализа теорию приближенного представления (аппроксимации) функций, теоретическую кинематику и теорию расчета и конструирования плоских механизмов. [c.212]

Целью настоящей работы является создание математической модели процесса кристиллиэацни бинарного расплава с учетом акустических течений и нелинейной аппроксимации фазовой диаграммы, исследование особенностей и определение возможности подавления ликваций с помощью внешнего воздействия. [c.82]

Математические модели на базе конечно-разностной аппроксимации исходных уравнений предусматривают замену процессов в непрерывной среде дискретной моделью, которая дает достаточно подробную и отвечающую практическим требованиям картину распределения поля внутри тела в функции координат и времени. Применение данного численного метода позволяет свести оператор Лапласа У к оператору конечных разностей, а исходные уравнения - к совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных для каждого злементарного объема выделенного в каждом г-м теле [5]. [c.121]

Предложен и реализован в составе САПР подход к определению установившихся электромагнитных процессов, использующий метод конечных элементов для расчета распределения магнитного поля в поперечном сечении машин. Кроме того, разработаны цифровые модели явнополюсных машин классической конструкции, с гребенчатым ротором, неявнополюсных синхронных машин, индукторных машин с пульсирующим и постоянным потоком, машин с внешне- и внутризамк-нутым потоком и др. на основе инженерных методов расчета. Созданы проблемно-ориентированные пакеты программ Модель и Поле , включающие программы, соответствующие названным математическим моделям электрических машин, программные модули аналитической аппроксимации одно- и двумерных функций, набор программных средств численного решения нелинейных задач и графического отображения распределения магнитного поля. [c.287]

Условие б (Т означает, что математическая погрешность аппроксимации много больше погрешности опытных данных, поэтому следует увеличить число свободных параметров. При б <Со часть свободных параметров недостоверна и надо уменьшить я. Если при выбранном исходя из указанных соображений значении я выполняется условие я<сУ, то вид аппроксимирующей функции выбран удачно. При я У следует подобрать более подходящий вид дппроксимиругощей функции. [c.99]

Приведенное выше обоснование допустимости применения конечно-разностной схемы расш,енления носило полукачественный характер. Однако можно провести и строгое математическое доказательство наличия у схемы (3.88)—(3.91) свойств аппроксимации порядка О (Лт4-/ij) и безусловной устойчивости (см., например, (241). [c.122]

Так, на рис. 30, а и б приведены вероятностные характеристики прочности (предела прочности Qg) для авиационного алюминиевого сплава АМГ6Н и тол"щины стенок А фасонных профилей [23]. Как видно из гистрограмм, эти показатели имеют дисперсию и при аппроксимации нормальным законом оцениваются математическим ожиданием М и средним квадратическим отклонением or. Хотя материал и размеры сортамента и удовлетворяют техническим условиям, рассеивание данных показателей окажет влияние на ход процесса старения (например, на развитие усталостных трещин), и каждая реализация процесса будет отражать конкретные значения начальных параметров данного изделия. [c.113]

XIX века была паровая машина. Естественно, что ее совершенствованию и было посвяш,епо развитие динамики на протяжении всего века. Значительное влияние оказала паровая машина и на развитие отдельных разделов кинематики. Как указывает В. В. Голубев, конструкции тогдашних паровых машин, теория направляюш их механизмов в них, так называемых прямил, были исходным пунктом... исследований [П. Л. Чебышева] чисто математических об аппроксимации функций, о функциях, наименее отклоняюш ихся от пуля а с другой стороны, они повели к чисто механическим исследованиям П. Л. Чебышева, которые положили начало разработке в СССР вопросов кинематики и динамики машин блестящими современными нам теоретиками [c.26]

В соответствии с изложенным, определяющей характеристикой рассеяния энергии при колебаниях является площадь петли гистерезиса. Поэтому в качестве простой аппроксимации действительной петли криволинейного очертания можно использовать петлю с прямолинейным очертанием и равновеликой площадью. В частности для практических расчетов удобно принять второе, по классификации [90], предложение И. Л. Корчинского, но так как предложенное И. Л. Корчинским математическое описание петли гистерезиса относится к стационарному режиму, то возникает необходимость видоизменить это предложение, приспособив его для описания гистерезисных явлений и при нестационарном режиме. [c.168]

В книге подробно разобраны примеры аппроксимаций, номограмм, использования эмпирических постоянств, так как, по убеждению автора, эти возможности сильно недооцениваются при технико-экономических расчетах с применением математических методов. Вообш,е, в рамках темы и общей композиции книги, автор имел в виду возможность использования ее как своеобразной хрестоматии математико-статистических методов выбора оптимальных решений в производственных условиях. [c.248]

Однако вследствие сложности и многогранности процесса до сих пор нет единой модели механизма графитации. Предложенные модели носят, скорее, описательный характер. Экспериментальные результаты объясняются на основе представлений химической кинетики, рассматривая процесс как реакцию в основном первого порядка (однако Фишбах [180] отмечает, что это пока не обосновано). Математическая запись этих результатов носит характер аппроксимаций, как правило, не согласующихся между собой. Так, например, в работе 43] изотермический процесс изменения параметра с кристаллической решетки коксов представлен временной экспоненциальной зависимостью. В то же время результаты других работ (180 136, с. 67] не могут быть аппроксимированы этой зависимостью. Из анализа приведенных Фишбахом обобщенных зависимостей параметра с от времени выдержки при температуре 2500° С (рис. 1.6) следует, что графитация должна проходить не менее чем в две стадии. На многостадийность процесса указывается и в работах по графитации (например, в [180]). [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...