Уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой

Уравнения движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Если твердое тело движется таким образом, что какая-нибудь одна его точка остается неподвижной, то такое движение называется движением твердого тела вокруг неподвижной точки или сферическим движением. При этом неподвижная точка может или принадлежать телу, или находиться вне тела, но тогда следует представлять себе, ЧТО она каким-нибудь образом неизменно связана с телом, например при помощи стержня. Примером твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, может служить волчок, заостренный конец ножки которого упирается в гнездо, сделанное в подставке, так что этот конец ножки при вращении волчка остается неподвижным. [c.375]

Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела с одной неподвижной точкой, когда действующие на тело силы приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку. В этом случае результирующие моменты действующих активных сил равны нулю L = О, М = 0, = О, и, следовательно, уравнения движения твердого тела в главных осях эллипсоида инерции твердого тела относительно неподвижной точки О имеют вид [c.185]

Это —так называемые уравнения Эйлера для движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Следует подчеркнуть, что третье из этих уравнений является уравнением Лагранжа для координаты < j, однако два других не являются уравнениями Лагранжа для координат 0 и ф. Это видно хотя бы из того, что [c.179]

Интегрирование уравнений движения тяжелого твердого тела. Первые интегралы уравнений движения. Система уравнений (а) и (Ь), определяющих движение твердого тела с одной неподвижной точкой под действием силы тяжести, представляет собой систему шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами относительно шести неизвестных функций времени р, q, г, yi, у2, Уг- После того, как величины р, q, г, Уь Y2, Уз будут найдены в функции времени, для определения углов Эйлера ф, р, останется подставить найденные величины в кинематические уравнения Эйлера. Поэтому задача определения движения твердого тела сводится к нахождению шести независимых первых интегралов системы. [c.402]

Регулярная прецессия в случае Лагранжа. В случае Эйлера движения твердого тела с одной неподвижной точкой было отмечено одно любопытное движение твердого тела, называемое регулярной прецессией. При регулярной прецессии твердого тела остаются неизменными угол нутации, скорость собственного вращения и скорость прецессии. Регулярная прецессия может быть и в случае Лагранжа. Но условия регулярной прецессии в случае Лагранжа оказываются более жесткими, чем в случае Эйлера. В случае Лагранжа имеем условие г = г , а кинематические уравнения Эйлера при регулярной прецессии получают вид [c.432]

Рассмотрим движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Выбирая за оси подвижной системы координат главные оси инерции тела, запишем динамические уравнения Эйлера [c.619]

Решение в случае Эйлера (М = 0). Особый интерес представляет собой движение тела по инерции, т.е. когда внешние моменты равны нулю. Этот случай и называется случаем Эйлера. Выбрав в качестве кинематических уравнений, дополняющих динамические, уравнения Эйлера, запишем полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела с одной неподвижной точкой по инерции [c.84]

Пример 1. Выведем из уравнений Пуанкаре уравнения Эйлера для движения твердого тела с одной закрепленной точкой. Пусть X, у, Z — неподвижные оси координат. Mi, 2, Юз — параметры возможных перемещений. По формулам Эйлера [c.298]

Полученные уравнения определяют движение тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Они содержат шесть неизвестных величин р, q, г, уь у2> Уз, которые могут быть выражены через три угла Эйлера ф, -ф, и производные от этих величин. Первые три неизвестные величины непосредственно определяются кинематическими уравнениями Эйлера [c.401]

Случай Лагранжа. В IX разделе своей Аналитической механики Лагранж показал, что уравнения движения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой могут быть проинтегрированы, если центральный эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, а неподвижная точка находится на его оси симметрии. Геометрическое исследование движения в этом случае было дано Пуассоном. Симметричное тяжелое твердое тело, имеющее неподвижную точку на оси симметрии, широко применяется в технике. Результаты исследования движения такого тела легли в основу современной теории гироскопических приборов. [c.420]

Динамические уравнения Эйлера. Динамические уравнения Эйлера для твердого тела с одной неподвижной точкой выводятся из теоремы об изменении момента количества движения ( 12) [c.83]

Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой.— М. Гостехиздат, 1953. [c.357]

В таком виде, как мы знаем, уравнение кинетического момента получается для системы свободных материальных точек. Векторное уравнение кинетического момента описывает также движение абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой при этом конечные суммы переходят в интегралы (гл. VI). [c.199]

Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, или свободное твердое тело в последнем случае ограничимся только движением относительно центра масс. В любом из этих случаев основное уравнение можно написать в виде (ср. с (49.9)) [c.180]

Период развития механики после Ньютона в значительной мере связан с именем Л. Эйлера (1707— 1783), отдавшего большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г. Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма дифференциальных уравнений движения материальной точки) и заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку ( динамические уравнения Эйлера ), нашел решения этих уравнений при движении тела по инерции. Он же является основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические уравнения Эйлера, теорему о распределении скоростей в твердом теле). Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в аналитическом изложении. [c.11]

Ои вывел общие уравнения равновесия для пространственной изогнутой кривой стержня в предположении больших прогибов. Он доказал далее, что если силы приложены только по концам стержня, то эти уравнения оказываются тождественными с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Благодаря этому стало возможным уже известные решения динамики твердого тела применить непосредственно к определению деформации тонкого стержня. Этот прием получил известность под наименованием динамической аналогии Кирхгоффа. В качестве простого примера применения этой аналогии сопоставим поперечное выпучивание сжатого стержня АВ (рис. 131, а) с колебанием математического маятника (рис. 131,6). Оба эти явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, существующая же между ними связь сводится к следующему если точка М движется но кривой АВ с постоянной скоростью, так что дугу АВ она проходит за время, равное полупериоду маятника, и если М начинает удаляться от в тот момент, когда маятник находится в крайнем положении п касательная к кривой в А образует с вертикалью угол, равный тому, которым определяется крайнее положение маятника, то и при всяком [c.307]

Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного в одной точке. В этом случае тело не может совершать поступательного движения, так как скорость одной его точки всегда равна нулю, и движение можно представить как вращение вокруг мгновенной оси, которая изменяет свое положение и в теле, и в пространстве, но все время проходит через неподвижную точку тела. Мы могли бы выбрать три неподвижные оси, проходящие через эту точку, и написать уравнения моментов (13.25) относительно этих трех осей. Однако положение этих осей в теле, вообще говоря, будет изменяться, и связь между моментами импульса относительно трех осей и скоростями точек тела будет сложной. С другой стороны, если мы выберем оси, жестко связанные с телом, то связь между моментами импульса относительно этих осей и скоростями точек тела будет достаточно простой, но определение характера движения этих осей окажется сложной задачей. Поэтому мы не будем рассматривать в общем виде задачу о движении тела, имеющего одну закрепленную точку, а ограничимся только специальным, но важным случаем, когда тело быстро вращается вокруг мгновенной оси, а требуется определить, как будет двигаться эта ось под действием внешних моментов. [c.446]

Кинетический момент н кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возможность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая — только вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует. Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это —три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твердого тела (они описывают посту-пательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части одну [c.163]

Так, например, если у свободно падающего тела закрепляются неожиданно одна или две точки, то вводятся связи (закрепление в точке, или вдоль оси), под действием которых, по крайней мере в общем случае, должны возникнуть резкие изменения скоростей, потому что движение тела до удара в общем случае не было таким, которое характерно для твердого тела с неподвижной точкой или осью. В этом случае надо принять, что резкое изменение связей произошло до момента, начиная с которого рассматривается импульсивное движение, и уравнение (48) должно применяться только к тем виртуальным перемещениям, которые совместимы со связями, вводимыми внезапно, причем нужно иметь в виду, что в этом специальном случае не войдут активные импульсы (/ = 0). [c.501]

Аналогичных случаев может быть много и при движении летательных аппаратов, в особенности космических, когда движение должно подчиняться требованиям, выражаемым неголономными уравнениями спуск на поверхность планеты, подавление излишних периферических вращений создание, наоборот, вращений, необходимых для выполнения того или иного маневра, или выполнения тех или иных научных исследований и т. д. Уравнения связей могут быть и нелинейными и высших порядков. Совсем недавно был установлен замечательный факт в кинематике движений твердого тела вокруг неподвижной точки (в сферическом движении). Оказалось, что характер сферического движения тела тесно связан с поведением вектора угловой скорости тела. В частности, могут быть такие сферические движения, при которых вектор мгновенной угловой скорости остается в одной и той же плоскости тела, проходящей через неподвижную точку. [c.12]

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Этот частный случай движения твердого тела очень часто встречается в технике и требует более подробного рассмотрения. Неподвижность мгновенной оси вращения означает неизменное ее положение в теле и в пространстве. В данном случае она называется просто осью вращения. Если совместить оси О г и Oz подвижной и неподвижной систем координат с осью вращения тела, то при движении будет изменяться только угол ф (рис. 2.7). При таком движении тело обладает одной вращательной степенью свободы. Кинематическое уравнение вращательного движения задает угол как функции времени ф = ф(/). Во время движения отдельные точки тела описывают окружности с центрами на оси вращения. Перемещения точек тела за один и тот же промежуток времени неодинаковы и пропорциональны расстояниям их до оси вращения. Также неодинаковы и скорости различных точек тела. [c.51]

Натуральные уравнения. Возвратимся теперь к твердому телу 5 гироскопической структуры относительно одной из его точек О, принимаемой за неподвижную (или совпадающую с центром тяжести). Мы используем при этом еще раз то положение (ср. п. 5), что для полного исследования любого движения тела 5 (около точки О) достаточно определить закон, по которому изменяются с временем, с одной стороны, направление гироскопической оси относительно точки О и, с другой, — гироскопическая угловая скорость л [c.155]

Предлагаемая небольшая книга Владимира Васильевича Голубева представляет собой, собственно говоря, не вполне законченное исследование, позволяющее дать однозначные оценки, а ряд эскизов, замечаний, личных соображений. Все они очень интересны для широкого круга читателей, потому что принадлежат перу замечательного ученого — известного специалиста по теории аналитических функций и теоретической механике, в течение всей жизни обращавшегося к творчеству С. В. Ковалевской. Собственно, одна из его самых известных книг Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки посвящена явному интегрированию случая Ковалевской с помощью теории аналитических функций комплексного переменного. [c.5]

Для составления дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, связывающих углы Эйлера ф. О, <р с силами, действующими на это тело, достаточно к уравнениям (16) присоединить кинематические уравнения Эйлера (28, 75). Таким образом, движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, вокруг этой точки описывается следующими шестью нелинейными ди()хреренциальными уравнениями первого Порядка относительно неизвестных функций <р, ф и 0 [c.702]

Постановка задачи. Рассмотрим задачу определения движения твердого тела с одной неподвижной точкой, предполагая, что на тело действует только сила тяжести. Движение такого тела будем изучать относительно системы отсчета OxiijiZi, жестко связанной с Землей, выбрав ее начало в неподвижной точке О и направив ось Z вертикально вверх. Такая система, вообще говоря, не является инерциальной, и в строгой постановке при изучении движения твердого тела необходимо учитывать кроме силы тяжести еще и влияние на тело сил инерции от кориолисова ускорения. В упрощенной идеализированной постановке предполагается, что в системе Оххухх на твердое тело действуют только силы тяжести. Движение тела будет определяться динамическими уравнениями Эйлера [c.400]

Твердое тело с одной неподвижной точкой. Здесь мы будем рассматривать, вместе с прямо приложенными внешними импульсами, реактивный импульс R, который может возникнуть в неподвижной точке О. Выбрав эту точку за центр приведения моментов, обозначим через R и М результирующую и результирующий момент одних только прямо приложенных (внешних) импульсов, благодаря чему R и М здесь также следуех рассматривать как данные задачи. Так как момент реактивного импульса R относительно точки О равен нулю, то второе основное уравнение импульсивного движения сохранит свой лервоначальный вид [c.475]

Тяжелое твердое тело с одной неподвижной точкой. Уравнения Эйлера-Иуассона представляют собой замкнутую систему дифференциальных уравнений, описывающих движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки [c.138]

В этой главе, после установления общих уравнений, на которых основана вся динамика неизменяемых систем, мы будем рассматривать, в частности, более простые случаи, а именно твердые тела, вращающиеся вокруг некоторой оси или движущиеся параллельно неподвижной плоскости. В двух следующих главах мы рассмотрим классические вопросы, относящиеся к движению твердого тела около одной из своих точек, с приложением их к гироскопам (гл. VIII), и некоторые типичные задачи о качении (гл. IX) и закончим указанием на исследования Вольтерра о неизменяемых системах с циклическими внутренними движениями. [c.7]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Плоским движением назы- Плоское движение и его уравнение. Озна-вают движение твердого комление С ПЛОСКИМ движением твердого плГ тел начнем с частного примера. Пре дста-костях, параллельных дан- вим себе, что закрытая книга лежит на ной неподвижной плоскости столе. Не раскрывая книги, будем перемещать ее по поверхности стола, но так, чтобы контакт книги со столом ни в одной точке не нарушился в остальном движение книги произвольно. При этом условии частицы книги опишут траектории, лежаш,ие в плоскостях, параллельных плоскости стола, и каждая страница будет двигаться в той плоскости, в которой она находилась до начала движения. Такое движение книги назовем плоским. [c.215]

Пусть твердое тело переменного состава имеет одну неподвижную точку О. Для получения дифференциальных уравнений движения тела воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы переменного состава. Пусть система координат Oxyz жестко связана с телом, а Ко — кинетический момент тела относительно точки О. Если о — угловая скорость тела, то из равенства (7) п. 131 получаем [c.263]

Ю. А. Гартунг разработал теорию движений тела с обобщенными прецессиями угловой скорости а) с точечным относительны М годографом угловой скорости (случай Лагранжа — Эйлера) б) с орямоли нейным годографом угловой скорости в подвижной плоскости, иосителе вектора угловой скорости (случай Гриоли) в) с круговым годографом г) с эллиптическим годографом. Применялись уравнения Ценова для систем с неголономными связями второго порядка, причем в одних случаях находились управляющие моменты в виде реакций связей, а в других эти дополнительные управляющие воздействия отсутствовали, т. е. находились новые частные случаи, вернее, может быть подслучаи в классической задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.14]

Введение. Твердое тело представляет собой частный случай механической системы точек, когда расстояния между любыми двумя точками системы остаются постоянными во все время движения. Одним из наиболее эффективных методов изу-чершя движения твердого тела под действием приложенных к нему сил является метод, основанный на применении основных теорем динамики системы. Для изучения поступательного движения тела мы будем исходить из теоремы о движении центра масс при изучении вращения твердого тела около неподвижной оси наиболее рационально пользоваться теоремой об изменении кинетического момента. На примерах изучения простейших движений твердого тела под действием приложенных сил весьма отчетливо выявляется значение основных теорем динамики системы, позволяющих исследовать свойства движений систем ма-териальных точек, подчиненных некоторым дополнительным условиям (связям). Основные теоремы динамики системы были исторически первым, наиболее простым и естественным методом изучения движения несвободных механических систем точек, и в частности изучения динамики твердого тела В последующем развитии механики Лагранжем был создан метод обобщенных координат, позволяющий свести составление дифференциальных уравнений движения системы с 5 степенями свободы к ясной, логически безупречной последовательности алгебраических преобразований, однако физическая наглядность рассуждений была в значительной мере утрачена [c.400]

Применим уравнения Эйлера (52.10) к исследованию движения свободного симметрического волчка (например, некоторого тела вращения), имеющего одну неподвижную точку, совпадающую с его центром масс С. Закрепление твердого тела в точке С осуществляется с помощью специального устройства, называемого кар-дановым подвесом (рис. 52.1), которое обеспечивает свободное изменение ориентации тела в трех взаимно перпендикулярных направлениях АА, ВВ и СС. Рассматриваемая задача включает также случай свободного вращения незакрепленного симметрического волчка в отсутствие внешних сил. [c.297]

Качественное объяснение стремления оси быстрого вращения к параллельности с моментом действующих сил. Чтобы изложить вопрос в наиболее общем виде, возьмем твердое тело какой угодно структуры и рассмотрим любое движение тела вокруг одной из его точек О, предполагаемой неподвижной или совпадающей с центром тяжести. Уравнение моментов количеств движения, отнесенное к инер-.циальной системе осей и написанное в виде [c.75]

Взаимодействие колебательных систем с источником возбуждения ограниченной мощности. Систематическое рассмотрение данной проблемы на основе использования асимптотических методов, а также соответствующие библиографические сведения приведены в гл. VII, При изучении вопроса с помощью изложенного выше подхода будем исходить из схемы системы и уравнений движения, представленных в п. 3 таблицы. Первое из уравнений является уравнением движения ротора обозначения параметров, характеризующих ротор и действующие на него моменты, то же, что в п, 2 таблицы. Через М (ф, и) обозначен момент сил, действующих на ротор вследствие колебаний тела, на котором он установлен. Второе уравнение описывает дви-жеиие колебательной части системы, предполагаемой линейной (и есть вектор ее обобщенных координат). Колебательная часть системы может, в частности, состоять из некоторого числа твердых тел 5 .....5 , связанных одно с другич, а также с неподвижным основанием системой линейных упругих и демпфирующих элементов. Через М, С и К обозначены матрицы соответственно инерционных, квазиупругих коэффициентов и коэффициентов демпфирования, а через F (ф) — вектор обобщенных возмущающих сил, действующих на колебательную систему при вращении ротора-возбудигеля. [c.251]

Следует подчеркнуть, что с математической точки зрения уравнения (2) и (3) тождественны и дают, конечно, при решении задач одни и те же результаты. Различие здесь лишь в подходе к составлению уравнения и в его истолковании, а именно составляя уравнение в виде (3), мы подвижную систему отсчета 2 рассматриваем как неподвижную, а ту часть ускорения Ю2, которая фактически появляется вследствие движения системы 2 (т. е. ускорения —й пер и —йУкор) получаем, присоединяя к действующей силе Р так называемые силы инерции Т пер и / кор- Такой путь практически удобен, так как позволяет использовать для решения задач все, разработанные в динамике методы, в том числе, например, общие теоремы, что особенно важно при изучении относительного движения механической системы, в частности, твердого тела. [c.25]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...