Применение степенных рядов

Применение степенных рядов [c.61]

Применение степенных рядов для решения сильно нелинейных вырождающихся уравнений параболического типа. [c.232]

Неочевидной представляется попытка применения основных идей конструирования степенных характеристических рядов для представления решений сильно нелинейных вырождающихся параболических уравнений, каким является уравнение Лейбензона [8]. Хотя для таких уравнений типичной является ситуация [9], когда фронт возмущения, порожденного каким-либо заданным краевым режимом, движется по области нулевого фона (нулевого давления для уравнения Лейбензона) с конечной скоростью, как и для гиперболического случая, тем не менее возможность применения степенных рядов для описания решения в возмущенной зоне является нетривиальной, т.к. параболические уравнения не являются уравнениями типа Коши-Ковалевской. Для линейного уравнения теплопроводности, например, ряды Тэйлора, как правило, расходятся. В отличие от гиперболических систем, для которых характерна независимость скорости движения поверхности слабого разрыва по заданному фону от вида краевого режима, для вырождающихся параболических уравнений скорость движения фронта возмущения целиком определяется заданным краевым режимом и может быть найдена только в процессе определения возмущенного решения. Тем не менее оказалось, что степенные ряды, особенно в специальном пространстве переменных (аналог временного годографа), позволяют эффективно строить поля давления в задаче о нестационарной фильтрации газа и находить закон движения фронта фильтрации в зависимости от краевого режима. [c.282]

ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ О ТРЕЩИНАХ В НЕКОТОРЫХ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ [c.170]

Этот случай впервые был рассмотрен Блазиусом, причем решение уравнения (36) было получено путем применения разложения функции /(т]) в степенной ряд, асимптотического разложения для больших TJ и последующей стыковки обоих разложений в некоторой определенным образом выбранной точке т]. В настоящее время решение уравнения (36) легко может быть получено численными методами с высокой точностью. Значения функции м/ыо = / (т)) приведены в табл. 6.3. [c.291]

Непрерывные фазовые переходы обычно связаны с изменением симметрии системы, поэтому можно ввести характеризующий эту симметрию параметр порядка г, который равен нулю и более симметричной и отличен от нуля в менее симметричной фазе. Такой подход в теории непрерывных переходов был применен в работах Л. Д. Ландау. Вследствие нереалистического предположения о возможности разложения в степенной ряд энергии Гиббса в окрестности фазового перехода теория Ландау расходится с большинством экспериментов в этой области. По этой причине, а также потому, что теории Ландау посвящена обширная литература, мы не излагаем ее здесь . Физически последовательная теория непрерывных фазовых переходов была развита в работах В. К. Семенченко на основе представления [c.234]

Переходную функцию h(t) = 1 —е в данном случае легко можно было получить непосредственным применением обратного преобразования Лапласа к р)1р— 1/[р(Р+ )] В более сложных случаях, когда такое непосредственное получение оригиналов функций W(p) и W p)jp невозможно, представления весовой и переходной функций степенными рядами (3.3.17) и (3.319) весьма удобно для исследования динамики технологического объекта. [c.113]

Предельные отклонения от плоскостности н прямолинейности приведены в табл. 27, а примеры применения степеней точности формы плоских поверхностей — в табл. 28. Ряды допусков приведены ориентировочно. (Их уточнение будет произведено при утверждении разрабатываемого стандарта на отклонения формы и расположения поверхностей). [c.118]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Применение другого приближенного метода — метода малого параметра — также мало эффективно, что связано с трудностями разложения функции F (v) в быстро сходящийся степенной ряд. [c.125]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗЛОЖЕНИЯ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ [c.299]

Второй подход связан с применением характеристических рядов для представления решений в отдельных зонах. Здесь получены точные или приближенные аналитические решения ряда одномерных экстремальных задач, когда за фиксированный промежуток времени требуется сжать плоский, цилиндрический или сферический слой газа до произвольной конечной степени при наименьших затратах энергии. С использованием аналитических конструкций и принципа максимума Понтрягина удалось построить законы оптимального управления с одной точкой переключения для серии такого типа задач. [c.10]

Описанная методика целиком применима и в том случае, когда информация о втором классе полностью отсутствует (свободная альтернатива), и алгоритм распознавания синтезируется на основе соотношения (3.4.10). При этом для расчета соответствующих вероятностей можно вновь воспользоваться аппроксимацией величины У, аналогичной аппроксимации, примененной для величины Z. Причем, если справедлива истинная гипотеза с параметром Яи, то 1пР(у Я,) разлагается в степенной ряд около точки Яи, а если ложная и она описывается плотностью вероятности у), то около точки Яо, определяемой из условия [c.141]

При применении метода конечных элементов к расчету тонких оболочек самый обычный прием состоит в задании функций формы в виде степенных рядов по координате S, отсчитываемой вдоль меридиана элемента. [c.109]

Повышению степени реализации свойств ПМ в сварных соединениях способствует применение целого ряда методов (табл. 6.3) [44, с. 165 100 101]. [c.349]

В общем случае задания и (х), как некоторой произвольной функции, уравнения в частных производных (89) не могут быть сведены к обыкновенному. Существующие методы интегрирования уравнений (89), основанные на разложении и х) в степенной ряд и разыскании неизвестных функций и и V также в виде степенных рядов, сложны с вычислительной стороны и мало точны. В последнее время широкое практическое применение получили приближенные методы, сводящие решение общей задачи к вычислению простых квадратур. Изложению этих методов и посвящен настоящий параграф. [c.549]

Применение конформного отображения и преобразования краевых условий к виду (8.189) и (8.190), которые выражают эти условия на окружности круга, позволяет применить для отыскания неизвестных функций <р (С) и ф (С) разложение их в степенные ряды. Эти функции суть аналитические внутри [c.228]

Метод степенных рядов с применением конформного отображения [c.46]

Совместным применением методов функциональных уравнений и степенных рядов удается в ряде случаев построить эффективное решение задачи. Укажем некоторые работы в этом направлении. [c.61]

В конечном счете появляется возможность эффективного рассмотрения задачи при частных видах отверстий. Случай кругового отверстия поддается подробному анализу методом степенных рядов (М. П. Шереметьев, 1960). Для некруговых отверстий задача сложнее, и эффективное решение ее требует применения метода последовательных приближений. [c.65]

Однако применение намеченного в общих чертах способа Блазиуса сильно ограничивается тем, что для тонких тел, особенно важных в практическом отношении, требуется брать очень большое число членов ряда,, больше, чем это возможно для составления таблиц с допустимой затратой времени. Причина этого заключается в следующем для тонких тел, например для эллипса, обтекаемого в направлении длинной оси, или для крылового профиля, скорость потенциального течения вблизи критической точки возрастает очень резко, а дальше, позади критической точки, она изменяется на большом участке профиля незначительно, приближенное же представление такого рода функции в виде степенного ряда с малым числом членов получается плохим. Тем не менее способ Блазиуса не теряет практической ценности для тонких тел. В самом деле, в тех случаях, когда сходимости ряда недостаточно, чтобы довести расчет по способу Блазиуса до точки отрыва, можно поступить следующим образом рассчитать по способу Блазиуса, т. е. аналитически и притом с большой точностью, только ближайший от критической точки участок пограничного слоя, а затем вести расчет дальше численно, например методом продолжения. [c.162]

Погрешность при ее применении такая же, как при замене формулы (7.42) степенным рядом. [c.149]

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ ПРИМЕНЕНИИ УРАВНЕНИЯ В ВИДЕ СТЕПЕННОГО РЯДА [c.392]

Расчеты, выполненные в предположении установившейся ползучести, эквивалентны расчетам при нелинейных зависимостях между напряи ениями и деформациями. В частности, в случае использования степенной зависимости скорости пластической деформации от напряжения (11) решения этих задач эквивалентны исследованию пластического состояния деталей при степенном упрочнении. Поэтому все методы расчета при нелинейных зависимостях между напряжениями и деформациями, как, например, метод упругих решений А. А. Ильюшина [24], метод переменных параметров упругости И. А. Биргера [6] могут быть использованы и для расчетов на установившуюся ползучесть. В случае применения степенной зависимости скорости пластической деформации от напряжения, решения задач о пластическом состоянии деталей при степенном упрочнении, ряд пз которых [c.255]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Китовер К. А. Применение степенных рядов к задачам статики оболочек вращения. — В кн. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев Будивельник, 1973, вып. XXI, с. 132—139. [c.212]

Нелинейные системы, которые мог/т быть представлены функциональными степенными рядами, называются аналитическими. Применение функциональных полиномов (или рядов) Вольтерра для описания систем, содержащих нелинейные звенья, позволяет в явном виде получить связь между входным и выходным сигналами. Кроме того, поскольку ядра функциональных полиномов, как будет показано ниже, выражаются через импульсные отклики линейных звеньев системы, то такой подход, как и в случае линейных систем, в приниипе позволяет решать задачу синтеза и оптимизации звеньев электронного тракта и сервоприводов ОЭП. [c.93]

Условие (30.5.6) является основным для дальнейших рассуждений. Символ -< обозначает, что ряд в правой части является мажорирующим для ряда, стоящего слева. Символ мажоранты относится только к коэффициентам в формальном разлон<ении в степенной ряд применение этого символа не требует, чтобы ряды сходились. [c.610]

Другими положительными характеристикамиЗ лазеров являются высокая степень когерентности и узость линии излучения, позволяющие улучшить разрешающую способность примерно на пять и более порядков по сравнению с приборами, использующими обычные источники света. Эти замечательные особенности уже нашли применение в ряде направлений спектроскопии. Так, селективное возбуждение атомов и молекул открыло новые возможности спектроскопии, исследующей спектры флуоресценции в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасных частях спектра. По спектрам флуоресценции можно определить малые концентрации примесей в жидких растворах и газообразных смесях и исследовать процесс их образования в динамике, т. е. в течение химической реакции. [c.216]

С достаточной степенью детализации рассмотрены конструктивные особенности и системы безопасности отечественных водо-водяных и уран-гра-фитовых реакторов, представлены газоохлаждаемые высокотемпературные реакторы и тяжеловодные реакторы, нашедшие применение в ряде стран. Значительное внимание уделено реакторам на быстрых нейтронах как основе широкомасштабной ядерной энергетики будущего. Рассмотрены тен-денг ии развития реакторной техники. [c.7]

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, решение задачи с условиями типа (43), (44) для уравнений гиперболического типа может быть построено методом ха рактеристических рядов, которые, по крайнем мере, в окрестности точки ж = t = О сходятся. Нетривиальным является вопрос о возможности применения аналогичных степенных рядов для построения решения уравнения (45) с условиями (43), (44) в области, ограниченной полуосью t О и некоторой кривой х = ao(t), которая описЫ вает движение фронта фильтрации по области нулевого давления. Хотя формально такие степенные ряды довольно легко построить, главным и принципиальным вопро сом при этом является вопрос о сходимости таких рядов. Ведь простейшие примеры представления решения задачи Коши для линейного уравнения теплопроводности [c.233]

Построены аналитически приближенные законы управления безударным сжатием однородных сферических слоев иолитроиного газа, требующие минимальных затрат энергии для достижения заданной степени сжатия. Показано, что оптимальный закон управления имеет одну точку переключения и состоит из двух частей. На первом участке сжимающий поршень движется с максимальной скоростью, закон изменения которой найден с применением характеристических рядов. Получен в явной форме закон управления на втором участке. [c.418]

Характеристики течения до начала отрыва точно выражаются с помощью нескольких членов нового ряда с последующей приближенной экстраполяцией или, более точно, с помощью одного или двух шагов разностного метода. Точность определения точки отрыва с помощью новых рядов обусловлена преимуществами степенных рядов. Новый ряд Гёртлера сходится значительно быстрее, чем ряд Блазиуса, и является более общим, так что с применением ряда Гёртлера решено большое число практических задач, для которых до сих пор не были получены точные решения уравнений пограничного слоя. [c.95]

Д. И. Шерман методом, примененным им в случае двух одинаковых круговых отверстий [34], рассмотрел периодическую задачу (с круговыми же отверстиями) для весомой полуплоскости [311. Сущность этого метода, как указывалось выше, заключается в одновременном использовании специально подобранных представлений комплексных потенциалов в форме степенных рядов и функционального уравнения, аналогичного уравнению 78. Решение задачи, как и в рассмотрейных выше непериодических случаях, было сведено к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. [c.581]

Установление этих связей в аналитической форме позволяет (А. Я. Александров см. ниже) выразить напряжения и смещения осесимметричного состояния через аналитические функции комплексного переменного, а это дает в свою очередь возможность свести осесимметричные задачи упругого равновесия к граничным задачам теории аналитических функций. К этим последним задачам в ряде случаев можно применить метод степенных рядов. При помощи этих же комплексных представлений осесимметричного напряженного состояния удается в частных случаях, например для шара и пространства с шаровой полостью, получить решение основных задач в замкнутой форме (в квадратурах). С этими и некоторыми другими результатами применения теории аналитических функций к пространственным задачам теории упругости можно познакомиться по работам А. Я. Александрова- [1—6], А. Я. Александрова и В. С. Вольперта [1], А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [1 ], [c.631]

Основная идея работ советской школы заключалась в применении вместо рядов, расположенных по степеням малых возмущающих масс (которые являлись основным математическим аппаратом классической небесной механики), процесса последовательных канонических преобразований, которые в той же форме применялись еще С. Ньюкомом и А. Пуанкаре но при этом в каждом приближении исключается множество частот, соответствующих тем малым делителям, которые стремятся к нулю слишком быстро (множество исключенных частот мало вместе с возмущающей массой). Эта методика, указанная впервые А. Н. Колмогоровым (1954), была затем строго обоснована В. И. Арнольдом и прил1е-нена им для доказательства устойчивости (в смысле Лагранжа) модельной системы материальных точек с отрицательной энергией типа Солнечной системы. [c.357]

В случае простейших объектов (пластинки, круговой цилиндрической и сферической оболочек) алгоритм степенного ряда может быть доведен до ИЗЯШ.НЫХ формул символического метода А, И. Лурье (1942, 1955) или до метода начальных функций В. 3. Власова (1955). Символический метод применен также для вывода упрош,енных уравнений динамики с малыми показателями изменяемости (У. К. Нигул, 1963) однако краевые условия к уравнениям равновесия толстых пластинок получены с использованием вариационной формулировки задачи (В. К. Прокопов, 1965). [c.262]

Наконец, заметим, что были получены решения (21) в виде степенных рядов по возрастающим степеням 1/6 [12, 13]. Эти ряды, по-видимому, имеюг довольно ограниченное применение, так как сходятся очень медленно. Другая трактовка, основанная на уравнениях Максвелла, в которой дифракция рас-сматривасгся как граничная задача, дана Вагнером [14]. [c.554]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...