Волновые функции N частиц

Чтобы понять, как возникает необратимость в газе квантовых частиц, удобно начать с рассмотрения некоторого мысленного эксперимента в замкнутой системе. Допустим, что в некоторый начальный момент времени / = О волновая функция N частиц имеет общий вид ф г, 0), где г — совокупность Л координат вида г,. Выберем некоторую пробную частицу, например, с координатой гь Чтобы избежать усложнений, связанных с тождественностью частиц, допустим, что пробный атом имеет ядро-изомер, т.е. полной тождественности данного атома с другими нет, хотя массы всех атомов одинаковы. Представим теперь функцию ф т, 0) в виде суперпозиции [c.180]

Разумеется, это выражение пишется с точностью до нормировочного множителя (если конечная волновая функция предполагается нормированной). Если воспользоваться соотношениями (314), (315), то действие проекционного оператора (320) на волновую функцию N частиц ф х, хлг) запишется как [c.302]

Для определенности рассмотрим макроскопическую систему, которая, не будучи полностью изолированной, тем не менее столь слабо взаимодействует с внешним миром, что ее энергию можно приближенно считать постоянной. Пусть число частиц в системе равно М, а объем системы равен V пусть, далее, значение энергии системы лежит между и Ё + А ("Ри этом Д Е). Пусть Н есть гамильтониан системы. Для такой системы удобно (но не обязательно) выбрать стандартную полную ортонормированную систему волновых функций Ф , в которой каждая функция Ф есть волновая функция N частиц, находящихся в объеме V, и является собственной функцией оператора Н, соответствующей собственному значению Е [c.205]

ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ N ЧАСТИЦ Система ЛГ частиц [c.485]

Удобно ввести полную систему волновых функций ЛГ частиц, с помощью которой любая волновая функция N частиц может быть получена как линейная суперпозиция этих волновых функций. Опишем такую полную систему функций. [c.486]

В системах многих одинаковых частиц во многих случаях более удобным оказывается аппарат вторичного квантования. Мы обсудим его здесь только в той мере, в какой он может быть полезен для более ясного понимания тех рассуждений, в которых привлекаются понятия операторов рождения и уничтожения частиц. Пусть есть волновая функция тождественных частиц, зависящая только от одной из пространственных координат х, для каждой г-й частицы из общего числа N. Для простоты мы допустим, что эти частицы удовлетворяют бозе-статистике, т.е. волновая функция симметрична по переменным х,. На языке вторичного квантования нет необходимости фиксировать число частиц N, допуская возможность как рождения и аннигиляции частиц, так и изменения чисел заполнения различных квантовых состояний. Поэтому вместо одной функции можно представить себе набор функций разным [c.300]

Рассмотрим идеальный газ, для которого 2(1.....ЛГ) 0. Собственными функциями гамильтониана являются волновые функции свободных частиц Фр(1,. .., ЛГ), описанные в приложении А, 2. Индекс р обозначает набор N импульсов [c.237]

Волновые функции, построенные из Ир(г) в соответствии с выражением (А. 14), являются волновыми функциями N свободных частиц. [c.489]

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц. Обозначим через Х, Х2,. ... х переменные первой, второй,. ... .., М-й частиц. Тогда волновые функции всей системы будут функциями этих переменных и времени [c.101]

Уточним наши утверждения. Пусть состояние системы определено волновой функцией F (ж), где х означает совокупность пространственных координат N частиц. Эту волновую функцию можно разложить по ортонормированным базисным функциям аналогично разложению (1.4.5) либо (1.4.16) [c.60]

Для примера рассмотрим квантовую систему, состоящую из N одинаковых частиц. В качестве полного набора одновременно измеримых физических величин можно использовать координаты частиц г ,..., Гдг координатное представление) и, если необходимо, спиновые переменные. .., (Тдг. В квантовой механике перестановка одинаковых частиц (например, перестановка г , и г , aj) не приводит к новому состоянию, поэтому волновые функции многочастичных систем должны обладать необходимыми свойствами симметрии. Мы кратко остановимся на этом моменте, используя координатное представление. [c.24]

В этом случае гамильтониан действует в пространстве волновых функций и представляется эрмитовой матрицей Ht x,x ) = x Ht x ). В качестве иллюстрации рассмотрим систему из N бесспиновых частиц массы ш, взаимодействующих между собой с потенциалом Ф(г). В координатном представлении матричные элементы гамильтониана Ht x,x ) = (г1,...,гдг я г 1,...,г дг) имеют вид [c.25]

Для наших целей важно то, что каждая из волновых функций и полностью определяется набором чисел заполнения Пр . Поэтому суммирование по квантовым состояниям системы означает суммирование по всем различным наборам пр . С другой стороны, мы можем также считать, что Д/ -частичная волновая функция определяется набором импульсов Pi,..., Рдг . В силу принципа неразличимости частиц, любая частица может быть обнаружена в любом состоянии ) и, следовательно, суммирование по всем различным квантовым состояниям системы означает суммирование по всем наборам pi,..., рдг с множителем 1/А , где N - полное число перестановок импульсов. В пределе V оо спектр значений импульсов становится непрерывным, поэтому мы приходим к следующим правилам суммирования по различным квантовым состояниям системы из N частиц [c.31]

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из N одинаковых частиц, и введем некоторый полный набор ортонормированных одночастичных состояний /). В координатном представлении эти одночастичные состояния описываются волновыми функциями х 1) = (/ Дж) , где символом х обозначен набор координат частицы (включая спиновую переменную). Например, можно использовать волновые функции свободного движения частицы в объеме V [c.32]

Мы неоднократно будем возвращаться к феномену коллапса волновой функции. А теперь еще раз подчеркнем необратимый характер флуктуационных эффектов. Рассмотрим опять одну-един-ственную частицу в длинной трубке — термостате длиной L. Если мы локализуем частицу в какой-то точке, находящейся в средней части трубки, то она начнет диффундировать вдоль х с коэффициентом диффузии D. Это типично необратимый процесс, сопровождаемый ростом энтропии по закону S n Dt). С другой стороны, каждый удар о боковую стенку можно рассматривать как случайное событие, которое локализует частицу на длине масштаба а. Каждый такой удар — это тоже необратимый процесс, но не с возрастанием энтропии, а с ее убыванием. В чем тут дело [c.101]

Вернемся опять к проблеме прошлого, настоящего и будущего, но уже в предположении о возможности распространения сверхсветовых сигналов вследствие коллапсов волновой функции. Выберем систему координат, связанную с Солнечной системой. Основную массу вещества в такой системе координат можно считать покоящейся, поскольку перемещения всех макротел происходят в ней со скоростями, существенно меньшими скорости света. Время t такой системы условимся считать "абсолютным". Тогда для одномерного движения упрощенный график прошлого, настоящего и будущего для частицы в точке X = О, г = О выглядит так, как показано на рис. 41. На этом рисунке заштрихованная область Р соответствует прошлому наблюдатель в точке X = О, г = О имеет возможность получить сигналы на материальных носителях (волны, частицы) из всей этой области. Граница N этой области соответствует настоящему это то, что наблюдатель в точке х = О, / = О видит в свете вокруг себя, включая звезды далеких галактик. Все, что находится вне Р — это будущее если равномерно двигаться вдоль оси t, то рано или поздно любая точка вне Р пройдет через "настоящее", т.е. движущуюся границу N. Однако это будущее естественно разделяется на две области F и С. [c.336]

Рассмотрим некоторую идеализированную модель. Пусть система А представляет собой одну частицу со спином 1/2, а система В состоит из N частиц со спином 1/2. Пусть начальная волновая функция выглядит как [c.366]

Здесь as и ар — амплитуды состояний 2S и 2Р возбужденного атома водорода, Фо — невозмущенная функция всех N электронов металла (принимавших участие во взаимодействии), а функция ф соответствует суперпозиции, в которой одна из индивидуальных функций соответствует несимметричному волновому пакету вида (рис. 49в). Форма представления сложной волновой функции Т многих частиц в виде суммы (409) называется полярной формой Шмидта (или представлением Шмидта). Два слагаемых в (409) ортогональны друг другу [c.376]

Фиг. 64. Статистический потенциал взаимодействия частиц в идеальном газе, возникающий из-за свойств симметрии волновой функции системы N

Система N тождественных частиц характеризуется гамильтонианом Н, который инвариантен относительно перестановки координат любых двух частиц. Любая волновая функция системы может быть представлена в виде линейной суперпозиции собственных функций гамильтониана [c.483]

Обратимся теперь снова к формализму Фока. Физическая интерпретация операторов а (/) и а (/) вытекает из их определения. Если рассматриваемая система многих тел находится в состоянии, описываемом волновой функцией Ф, то а (/)Ф—волновая функция той же системы в состоянии, которое отличается от состояния, соответствующего функции Ф, лишь тем, что оно содержит на одну частицу больше. Новая частица находится в состоянии, описываемом одночастичной волновой функцией f, В этом смысле оператор а (/) есть оператор рождения частицы с волновой функцией и аналогично оператор аЦ) есть оператор уничтожения частицы с волновой функцией /, Среднее значение (ф а (/)о(/)) симметричного оператора N ( ) = а ( ) а (1), вычисленное для любого элемента Ф е равно среднему значению числа частиц с волновой функцией f, которые находятся в состоянии, описываемом волновой функцией Ф. Поэтому (самосопряженное) замыкание N симметричного оператора [c.22]

Построим теперь представление, ассоциированное с основным состоянием бесконечного бозе-газа с плотностью р 0. Следуя развитому выше формализму, мы должны прежде всего вычислить соответствующий функционал фр,оЦ, ) Заметим, что основное состояние такого газа, занимающего конечный объем Q (например, заключенного в кубический ящик с периодическими граничными условиями), представляет собой систему N частиц (Л =pQ), каждой из которых соответствует волновая функция f x) = Функционал, описывающий подобную ситуацию, [c.125]

Чтобы показать, как слёдует обобщить волновые функции N частиц, чтобы они включали спиновые координаты частиц, рассмотрим случай фермионов со спином Ь/2. В дополнение к пространственной координате г каждая частица обладает теперь еще и спиновой координатой о, которая может принимать только значения 1. Волновая функция свободной частицы ирз (г, а), помимо иА пульса р, характеризуется теперь еще спиновым квантовым числом 5, которое может принимать только вначения 1. Когда 1, говорят, что частица находится в состоянии со спином, направленным вверх, а когда = —1, — со спином, направленным вниз. В явном виде имеем [c.491]

Влияние полидисперсности взвеси. Рассмотренные выше за-впспмости волнового числа от частоты возмущения oi описывают дисперсию и затухание слабых монохроматических волн в монодиснерсных смесях, содержащих взвешенные каплп или частицы одного и того же размера. Однако реальные взвеси как естественного, так и искусственного происхождения, как правило, не являются монодисперсными, в них могут присутствовать частицы различных размеров. Дисперсный состав таких смесей характеризуется нормированной функцией распределения частиц по размерам N a), при этом [c.329]

Двухуровневая система. Выясним некоторые особенности активированного диэлектрика, допустив вначале, что он обладает двумя уровнями энергии 1 2 и Wi, эти уровни будем считать простыми, невырожденными в отличие от них энергетические уровни, которым может соответствовать несколько различных волновых функций, называют вырожденными. Переход 2 1 сопровождается выделением, а / - 2 — поглощением энергии. Излучение энергии будет преобладать над поглощением, если населенность > iVj (для простых невырожденных уровней), т. е. если на верхнем уровне излучательного перехода находится большее число частиц, чем на нижнем. Переходы с поглощением (/ - 2) и с выделением (2 /) энергии наблюдаются непрерывно возбужденные состояния не являются устойчивыми. Средняя продолжительность пребывания частиц в возбужденном состоянии называется временем жизни т метастаб ильного состояния. Такое состояние, когда > N , достигается особыми методами — инверсией населенности. Под этим понимают процесс образования избыточной концентрации частиц (населенности) на высоких уровнях с возможностью переходов на низшие уровни. Энергии квантов на высших уровнях, например, на уровне IFj распределены в некотором интервале значений F. Плотность распределения частиц по энергии [c.215]

Волновая функция ансамбля тождественных частиц может быть только симметричной или антисимметричной относительно перестановки любых двух частиц. В соответствии с этим признаком все сзш1 ествуюш ие в природе частицы разделяются на бозоны (которым отвечают симметричные волновые функции) и фермионы (которым отвечают антисимметричные волновые функции). Если записать волновую функцию в виде (...,. .., ж ,. . ), где Хг,. . Xf — координаты N частиц, и рассмотреть две частицы А и Z, оставив остальные неизменными, то принцип Паули требует, чтобы для каждой пары к, I выполнялось соотношение [c.34]

Другая причина, существенно отличающая квантовую теорию, связана с симметрией волновой функции системы многих частиц, обусловленной их тождественностью. При этом, если в квантовой системе N одинаковых частиц (ниже в этом параграфе мы ограничимся лип1ь таким случаем) можно пренебречь взаимодействием, то матрица плотности не представляет собой произведения матриц плотности отдельных частиц. Для системы частиц со nimoii половина, подчиняющихся статистике Ферми —Дирака, благодаря детерминантной форме волновой функции матрица плотпости системы невзаимодействующих частиц имеет вид [12] [c.211]

Здесь Е — энергия, А — обменный оператор (симметризация или аптисимметризация волновой функции), индекс с означает учет только связных диаграмм рассеяния, след берется по состояниям с числом частиц, равным N. [c.271]

Мотт [180] обобщил теорию Андерсона, чтобы рассмотреть вопрос о том, происходит ли локализация при различных значениях энергии внутри зоны. Он заявил, что определяющим фактором является плотность состояний N(E). Если (В) достаточно велика, то электрон, первоначально расположенный в некоторой области пространства, всегда найдет состояния, достаточно близкие по энергии, чтобы туннелировать на них (т. е. такие, что интеграл перекрытия между ними достаточно велик) и, таким образом, продиффундировать через весь объем. Однако, поскольку расстояние, на которое нужно туннелировать, чтобы найти другое состояние с заданной энергией, меняется как [М Е)]- существует критическая плотность состояний Ыс Е) для данного значения АУ, такая, что для меньшей плотности состояний среднее расстояние туннелирования становится слишком большим. Электрон оказывается захваченным в рассматриваемой области пространства, и, таким образом, его волновая функция становится локализованной. Эта аргументация может быть связана с классической математической теорией протекания. Согласно этой теории, можно рассмотреть точки в пространстве, соединенные сеткой связей, таких, что эти точки с переменной вероятностью обмениваются подвижной частицей. Тогда существует критическое значение Для средней вероятности , которое определяет, имеется ли конечная вероятность для этой частицы находиться [c.95]

Допустим, что мы имеем систему из N невзаимодействующих частиц, которые могут находиться в каких-то состояниях с волновыми функциями pi (i), ФзСО > образующими полную и ортонормированную систему. Здесь обозначает любые переменные, характеризующие состояние частицы, обычно это — координаты и проекция спина. Вместо полной волновой функции для описания системы, очевидно, могут быть заданы числа частиц, находящихся в состоянии срр срз,. .. Это означает переход к новому представлению, называемому представлением вторичного квантования. Роль переменных в нем играют числа yVj,. . Начнем со случая частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Полная волновая функция системы бозе-частиц, как известно, симметрична относительно перестановки переменных, соответствующих различным частицам. Нетрудно проверить, что волновая функция, отвечающая [c.44]

Отдельные каналы в задаче рассеяния будем нумеровать индексом а, предполагая, что подобных каналов конечное число N. Задачи рассеяния с бесконечным числом каналов еще не изучены. Рассмотрим вначале случай взаимодействия бесспиновых частиц, обладающих возбужденными состояниями при этом будем пользоваться галилеевской инвариантностью. Волновая функция имеет в этом случае дополнительную переменную а. Пусть и тг —массы частиц в состояниях а, а — энергии возбуждения из основного состояния (а = 0). Нумерация состояний а проводится так, что ё а монотонно возрастают. [c.212]

Суть квантового эффекта Зенона проще всего пояснить с помощью рис. 17а. Допустим, что при t = О волновая функция частицы отлична от нуля только в левой яме. Это значит, что начальная волновая функция равна полусумме симметричного и антисимметричного состояний. В последующие времена амплитуда волновой функции в левой яме будет осциллировать по закону os oi, а в правой яме — по закону sin со/, где со = Ae/ti, As — разность энергий симметричного и антисимметричного состояний. Допустим теперь, что в момент времени t = т -4 1/со производится измерение частицы в правой яме. Вероятность найти там частицу равна со т 1. Вероятность того, что частица останется в левой яме, равна = 1 - со т = ехр( -со2т ). Допустим теперь, что мы производим N последовательных измерений наличия частицы в правой яме в течение времени tf/ = Nx. Ясно, что вероятность того, что частица после этого останется в левой яме, равна pn = p - o x N) == ехр( -со / /Л ). Если измерения производить очень часто, то при = Nx = onst можно перейти к пределу N - оо. Тогда вероятность того, что частица останется в левой яме [c.197]

Аналогичный мысленный эксперимент можно провести по схеме рис. 17а. А именно, вместо измерения волновой функции частицы в правой яме, можно через каждый интервал времени А/ = т выпускать частицу из правой ямы так, чтобы она вылетала в направлении х оо. В таком варианте за пределами правой ямы мы получим N волновых пакетов, которые можно рассматривать как набор ортогональных состояний (если пакеты не перекрываются между собой). Эти пакеты можно не измерять, и тогда матрица плотности будет иметь ненулевые матричные элементы. А для волновой функции в левой яме совершенно безразлично, уничтожается ли волновая функция в правой яме измерением, либо просто испусканием из ямы в х оо. При 7V —> оо опять формально возникает эффект Зенона, если Nt = onst. [c.199]

За время т пакет со средней скоростью щ последовательно покрывает собой область за областью с общим объемом порядка Л Я. В этом объеме находится N = пЛ Х частиц. Будем считать, что N . Можно сказать, что за время т рассматриваемый нами волновой пакет испытывает 1 рассеяний, причем рассеянные волны заполняют объем Я . За последующие промежутки времени порядка т волны перерассеиваются, так что создается чрезвычайно сложная картина волнового поля. Если рассматриваемая нами система является изолированной, т.е. не подверженной никаким возмущениям извне, то соответствующая сложно организованная волновая функция отвечает когерентному состоянию. Это состояние, хотя и является очень зыбким и нежным, должно быть обратимым во времени при обращении времени в любой момент t система должна вернуться в начальное состояние. Это значит, что в обращенной по времени системе все ранее расходящиеся рассеянные волны должны превратиться в сходящиеся волны, притом "настроенные" настолько точно, чтобы в конце концов они могли "слиться" в исходные [c.214]

Как мы установили выше, исходный волновой пакет создает на длине свободного пробега N рассеянных волн. Слабое внешнее возмущение может легко сбить фазы между волнами, а сама микрочастица в силу ее неделимости сможет оказаться только в одной из этих волн. Но и фазы отдельных участков избранной рассеянной волны могут быть легко сбиты, так что частица может очутиться только в одном из небольших участков рассеянной волны. Происходит коллапс волновой функции в новый волновой пакет. Трудно сказать, в какой именно момент времени происходит коллапсирование, но если вернуться в прошлое вдоль траектории вновь возникшего пакета, то можно найти тот небольшой объемчик, где произошло рассеяние. Так что с точки зрения последующей эволюции волновой функции этот коллапс можно условно отнести к моменту рассеяния. [c.215]

В более общем случае, когда ф , не равно произведению (317), вместо 1 1 (х) входит одночастичная функция, усредненная по всем N переменным, кроме одной. С помощью операторов Т х), Т х) легко конструируются проекционные операторы. Допустим, например, что в результате измерения начальная функция ф коллапсирует в ф . Если у нас имеется только одна частица, то этот коллапс осуществляется оператором коллапсирования (151). А если мы имеем N частиц, то мы должны осуществить коллапс поочередно у каждой из частиц да еще симметризовать полученную таким образом волновую функцию. [c.301]

Как мы видим, у каждого пакета появляется дополнительный множитель, зависящий от переменной Всего в объеме V находится N частиц, так что все пакеты дают вклад, который отличается от (354) отсутствием фактора 7V и заменой 2 os (xx) на единицу (в силу усреднения по положениям пакетов). У волновой функции всех атомов (229) форм-фактор Ф за время т равен Ф = ср . Поэтому в приближении непрерывного коллапсирования уравнение Шрёдингера для основного состояния следует записать в виде [c.316]

Электронные пары и сверхпроводящее состояние. В только что рассмотренной задаче волновые функции описывали состояния одночастичном системы. Предположим, что мы имеем систему из Ы свободных электронов, первоначально не взаимодействующих между собой. Различные состояния Ф этой системы из N электронов можно описывать наборами одноэлектронных состояний, исходя из того, что числа заполнения в силу принципа Паули могут принимать лишь одно из двух значений либо О, либо 1. Будем обозначать одиоэлектрониое состояние через к -, здесь к — волновой вектор электрона, а стрелка указывает, что спин этого э.тектрона направлен вверх. Удобно записать волновую функцию системы N частиц (электронов) через волно-рые функции одночастичных состояний, используя для них обозначение Фз и имея в виду, что оно относится лишь к занятым состояниям. В отсутствие взаимодействия между электронами каждое одночастичное состояние будег либо занято, либо вакантно. Волновую функцию /У-частичной системы Ф можно записать в виде [c.760]

Каждый член суммы, трактуемый как оператор, приводит к рассеянию дву.х электронов (напр]1мер, на.ходящихся на р г местах в наборе одио-частичных функций в волновой функции Фа) и их переходу в другие два одноэлектронные состояния, подразумеваемые вакантными, т. е. состояния, которые не представлены как занятые в Ф . Тогда один акт рассеяния переводит систему N частиц из состояния Ф в другое Л -частичное состояние, например Ф . [c.761]

Сразу видно, что в основном состоянии выступают только куперовские пары (k, —k ). м —вероятность того, что два состояния с противоположными л II о не заняты, к —что они заняты. Если в (83.19) произвести умножение, то появятся члены с различным числом операторов рождения пар. Таким образом, (83.19) не есть состояние с определенным числом частиц. Мы можем, однако, рассматривать (83.19) как выражение для волновой функции, определяя и и v нз условий варьирования, требуя минимума энергии. Так первоначально действовали Бардин, Купер и Шри-фер. Таким образом можно получить результаты, выведенные выше другим способом. Вариацию надо провести при фиксированном числе частиц. Мы должны, следовательно, в качестве дополнительного условия потребовать N — on.st. Это может быть выполнено посредством дополнения до варьирования к оператору Гамильтона члена —jiiV. Множитель Лагранжа А, окажется равным химическому потенциалу, т. е. энергии Ферми Ер. В этом истинная причина, почему мы перед (83.5) перешли от Я к Нтел-Полученные пока результаты привели только к понижению энергии основного состояния. То, что с этим явлением связана сверхпроводимость, обнаруживается лишь прн рассмотрении возбужденных состояний. Это NUJ II пыполним в следующем параграфе. [c.327]

Если среди частиц имеются частицы одного и того же сорта, то необходимо учитывать квантовую статистику. В частности, если все N частиц рассматриваемой системы — тождественные бозоны, то волновая функция из приемлема лищь [c.18]

Рассмотренные в предыдущих главах симметричные волновые функции системы бозонов или цепочки спинов были представлены в виде сумм по перестановкам , т. е. как суммы по операторам некоторой группы отражений. Это замечание связано с оптической аналогией для систем с точечным взаимодействием (Макгайр, 1964) уравнение Шредингера для N тождественных одномерных частиц с точечным взаимодействием совпадает с уравнением оптической волны в УУ-мерном евклидовом пространстве, которая рассеивается набором Л (Л —1)/2 бесконечно тонких пластин, расположенных на гиперплоскостях [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...