Уравнения Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли

Уравнения Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли [c.27]

Уравнения (2.3) будем называть уравнениями Эйлера — Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3) вращений твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной точки. Хорошо известно, что ее алгебра д = во Ъ) изоморфна алгебре векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со стандартным векторным произведением. В качестве левоинвариантных базисных векторных полей возьмем поля, порождаемые вращениями твердого тела с единичными угловыми скоростями вокруг трех связанных с телом ортогональных осей. Тогда [их, иг] = из, [иг, из] = их, [из, их] = иг- Уравнения (2.3), как легко понять, будут системой [c.28]

Уравнения Эйлера — Пуанкаре (2.3) не для каждой алгебры Ли д можно привести к гамильтонову виду. Препятствием является отсутствие инвариантной меры. Рассмотрим этот вопрос более подробно. [c.30]

Следуя [98], рассмотрим задачу о наличии у системы уравнений Эйлера — Пуанкаре (2.3) инвариантной меры на алгебре д = w . [c.31]

Например, если /, —однородные многочлены степени m > 1, то в (9.23) можно положить =. .. = = . Но тогда, ввиду (9.24), д = 1/(т - 1), что является целым лишь при m = 2. Итак, уравнения с квадратичными правыми частями допускают группу подобий вида (9.23). Важным примером служат уравнения Эйлера— Пуанкаре на алгебрах Ли. Более сложный пример доставляют уравнения (9.15) они допускают группу t —> t/a, щ —> ащ, Vk —> a Vk. Сходный пример — уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.120]

Если гамильтониан Н не зависит от т. е. vi H) = 0), то уравнения для квазиимпульсов Mi, Mj. замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции, при этом константы fj определяются алгеброй so(3). Для произвольной алгебры со структурными константами такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом также (как и в п. 1) называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре. [c.37]

Замечание. Как установлено в [34], уравнения Эйлера—Пуанкаре (1.11) на алгебре g допускает инвариантную меру с гладкой плотностью в том и только том случае, когда группа С унимодулярная. В этом случае фазовый поток системы (1.11) сохраняет стандартную меру на g [c.164]

Если лагранжиан С левоинвариантен (т. е. г> ( ) = 0), то С зависит лишь от переменных и матрица В обращается в нуль. В этом случае уравнения Пуанкаре являются замкнутой системой уравнений на алгебре д матрицы А и. Ь дают их представление Гейзенберга. Такое представление не всегда точное если группа С абелева, то с,у = О и уравнение (8.5) вырождается в тривиальное тождество. Однако представление Гейзенберга является точным для случая, когда д — простая алгебра (как в задаче Эйлера). [c.107]

Козлов В, В, Об инвариантных мерах уравнений Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли // Функц, анализ и его прил, —1988, т, 22, 1, 69-70, [c.421]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...