Напряженное состояние в точке. Уравнения равновесия

Здесь написаны три уравнения равновесия, которые могут быть составлены для выделенного тетраэдра. Мы нашли таким образом составляющие напряжений в площадке общей ориентации, т. е. при любых значениях направляющих косинусов Пх, Пу, 2- Следовательно, если нам задано шесть компонент напряжений для трех площадок, мы можем найти напряжения в любой площадке. Значит, напряженное состояние в точке действительно определяется шестью компонентами напряжений, или, как обычно говорят, шестью компонентами напряженного состояния. [c.19]

Г . Т гу, гх И T xz- Таким образом, ДЛЯ ПОЛНОГО определения напряженного состояния в точке необходимо задание всех девяти компонент напряжения трех нормальных напряжений и шести касательных. Однако с помощью уравнения равновесия моментов можно показать, что величины х у и и а также и [c.88]

Как явствует из краткого сообщения, опубликованного в начале 1823 г. , Коши развил в этом мемуаре общий континуальный подход в механике сплошной среды. Он ввел понятие напряжения на площадке, представил его через три составляющие, параллельные осям декартовых координат, и изучил напряженное состояние в точке упругого тела. Далее с помощью предложенного Л. Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил Коши получил общие уравнения равновесия сплош- [c.49]

Достаточно важным частным случаем задач о равновесии жесткопластических оболочек являются статически определимые задачи. В статически определимых задачах для определения несущей способности и напряженного состояния оболочек достаточно уравнений равновесия, условия текучести и статических граничных условий. Решение, удовлетворяющее перечисленным условиям, будет точным, если граничные условия заданы только для внутренних сил и моментов. Если же па границе заданной скорости перемещений, то такое решение будет определять нижнюю границу несущей способности в соответствии с теоремами о границах решения. [c.168]

Назовем кинематически возможным состоянием тела такое состояние, для которого удовлетворены условия на поверхности для перемещений и условия совместности деформаций в каждой точке тела. Уравнения равновесия могут быть не удовлетворены. Очевидно, что точки, изображающие напряженные состояния в точках тела, находящегося в кинематически возможном состоянии, лежат на поверхности начала пластичности, так как иначе согласно схеме идеального жестко-пластического тела деформирование невозможно. [c.210]

В предыдущем параграфе мы заметили, что уравнения (12) являются условиями возможности существования деформации, вызванной данным напряженным состоянием, в теле без начальных напряжений. С точки зрения, принятой в 88—92, уравнениям (12) можно дать другое истолкование. Напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия и возникающее в теле без начальных напряжений, вызывает меиьшую упругую энергию, чем какое-либо другое напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия. Следовательно, уравнения (1) являются условиями минимума упругой энергии деформации, выраженной, как функция компонентов деформации. [c.395]

Если уменьшать линейные размеры тела, то первые члены уравнений (1) и (2), соответствующие поверхностным силам, будут убывать как квадраты линейных размеров, а вторые члены — как кубы тех же размеров, т. е. значительно быстрее первых членов, и при достаточно малых размерах тела они сделаются настолько малыми, что ими можно будет пренебречь по сравнению с членами, соответствующими поверхностным силам. Уравнения (1) и (2) обратятся в таком случае в уравнения равновесия только между силами, распределенными по поверхности. Этим обстоятельством мы воспользуемся при общем исследовании напряженного состояния в какой-либо точке упругого тела. [c.22]

Дифференциальные уравнения равновесия. В параграфе 5 мы рассмотрели напряженное состояние в определенной точке упругого тела. Рассмотрим теперь изменение напряженного состояния с изменением положения точки. С этой целью надлежит изучить условия равновесия малого прямоугольного параллелепипеда со сторонами ол , йу и бг (фиг, 116). [c.219]

Введение (86).— 42. Усилие на плоском элементе (86). — 43. Усилия на поверхности и массовые силы (87). — 44. Уравнения движения (87). — 45. Равновесие (88). — 46. Равновесие усилий, приложенных к поверхности элемента объема (89).—47. Характеристика напряженного состояния в данной точке (89).— 48. Единицы напряжения (91).— 49. Преобразование компонентов напряжения (91).— 50. Поверхность напряжения (92).— 51. Различные типы напряжения (92).— 52. Разложение любого напряжения на всестороннее равномерное растягивающее и срезывающее напряжения (94).— 53. Дополнения (95).— 54. Уравнения движения и равновесия, выраженные в компонентах напряжения (96). — 55. Постоянное и равномерно изменяющееся напряжение (97).—56. Замечания, относящиеся к уравнениям в компонентах напряжения (98). — 57. Графическое представление напряжений (99).—58. Уравнения в компонентах напряжения в ортогональных криволинейных координатах (100). — 59. Частные случаи уравнений в компонентах напряжения в криволинейных координатах (102). [c.8]

Когда напряженное состояние в пластинке характеризуется тем, что на какой-нибудь плоскости, параллельной основаниям, напряжение одинаково, то компоненты его не зависят от л и и уравнения равновесия обращаются в такие [c.496]

Назовем статически возможным состоянием тела такое состояние, для которого удовлетворены условия на поверхности для напряжений и уравнения равновесия в каждой точке тела, а точки, изобра жающие напряженное состояние в пространстве,напряжений о,/ддя различных точек тела, лежат или внутри поверхности начала пластичности. или на ней. Обозначим эти точки Л4, а соответствующие им тензоры напряжений о / (рис. 10.1). Таким.образом, эти напряженные состояния удовлетворяют условию [c.208]

При использовании методов первой группы предполагается, что во всех точках откоса достигается предельное напряженное состояние. В этом случае математическая модель объединяет уравнения равновесия с условием предельного напряженного состояния применительно к деформациям сдвига. Если откос находится под действием собственного веса пород, а условие предельного состояния определяется законом Кулона, то математическая модель (для плоского случая) примет вид [c.178]

Величину A называют дополнительной работой внешних сил, а П — дополнительной энергией. Уравнение (6.48) выражает принцип дополнительной энергии по сравнению с различными системами напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия внутри тела и на той части граничной поверхности, где заданы внешние силы, истинное напряженное состояние, удовлетворяющее уравнениям совместности, отличается тем, что для него дополнительная энергия П имеет стационарное значение. В условиях устойчивого равновесия величина П минимальна. [c.125]

При потере устойчивости относительно деформированного состояния (например, потеря плоской формы изгиба спиральной пружины см. рис. 3.4) необходимо предварительно определить критическую равновесную форму стержня [уравнения (3.10) — (3.14)], от параметров которой (и, Q, М ) зависят линейные уравнения равновесия стержня [уравнения (3.24) — (3.27) или уравнение (3.28)] после потери устойчивости. Так как критическая форма стержня заранее не известна, то требует проверки устойчивость всех состояний равновесия при непрерывном увеличении нагрузки. При решении нелинейных уравнений равновесия, рассмотренных в гл. 2, нагрузки, приложенные к стержню, были известны, поэтому, воспользовавшись одним из возможных методов численного решения уравнений равновесия (например, методом, использующим поэтапное нагружение), можно получить векторы, характеризующие напряженно-деформированное состояние стержня, соответствующее заданным нагрузкам. [c.123]

Интегрирование линейных уравнений равновесия винтового стержня. Если винтовой стержень используется в качестве чувствительного элемента, например акселерометра, он нагружается распределенными силами, причем вектор q распределенных сил может иметь произвольное направление. В этом случае определить напряженно-деформированное состояние винтового стержня можно только решая систему дифференциальных уравнений. Если рассматриваются малые перемещения точек осевой линии, для определения напряженно-деформированного состояния стержня можно использовать уравнения равновесия нулевого приближения (1.107)— (1.111), положив Шо=0 [c.206]

Итак, при осесимметричном безмоментном напряженном состоянии для определения внутренних усилий Nq используются два уравнения равновесия (7.34), (7.36). Если граничные условия заданы в силах, то задача оказывается статически определимой. [c.217]

Упругое состояние системы, при котором предел текучести достигнут в одной или нескольких точках, является по определению статически возможным. Действительно, при решении задачи о нахождении упругого состояния мы должны были позаботиться о выполнении уравнений равновесия при этом условие текучести нигде не было нарушено и только в отдельных точках это условие достигнуто. Соответствующее значение внешней нагрузки представляет нагрузку, определенную по способу допустимых напряжений (с запасом прочности, равным единице). Таким образом, мы имеем совершенно строгое доказательство того, что расчет по предельному состоянию приводит к большим аначениям допускаемой нагрузки, чем расчет по допустимым напряжениям. [c.171]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

В то же время все величины, характеризующие напряженное состояние при изгибе гибких пластин, могут быть выражены через перемещения и, V, ик При этом и уравнения равновесия гибкой пластины (6.13), (6.15) также можно представить через перемещения. [c.134]

Если задача о напряженном и деформированном состоянии пологой оболочки решается в перемещениях, то необходимо отыскать такие функции перемещений и, и, ш, которые бы удовлетворяли уравнениям равновесия (9.62)—(9.64) и заданным граничным условиям, В этом случае не приходится заботиться об удовлетворении уравнений совместности деформаций — они будут удовлетворяться тождественно. [c.257]

Таким образом, сосредоточим внимание на исследовании деформации, которую мы назвали состоянием чистого растяжения . Растяжение в осевом направлении с необходимостью влечет за собой, разумеется, изменение размеров и формы поперечного сечения. Если в начальном состоянии волокна прямолинейны и параллельны, то переход от начального состояния к состоянию чистого растяжения определяется формулами (91). В этом случае деформация поперечного сечения тела представляет собой чистое сжатие в направлениях, перпендикулярных оси. Поскольку сдвиг отсутствует, касательное напряжение S равно нулю и уравнения равновесия удовлетворяются при Т — = Р = 0. (Уравнения равновесия имеют в точности ту же форму, что и для случая обычной плоской деформации.) Единственная ненулевая компонента тензора напряжений 5з(0, X) представляет собой нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных оси растяжения. [c.333]

Предыдущие условия характеризуют случай, когда основные уравнения упругого равновесия можно представить в такрй же простой форме, как и в случае плоской задачи, и мы можем ограничиться рассмотрением соотношений, имеющих место для точек одной и той же плоскости. Так как этот случай встречается часто, ю он заслуживает особого рассмотрения. Задача заключается в том, чтобы четыре напряжения j(, jj., т, характеризующие полностью напряженное состояние в точке X, г меридионального сечения, представить в виде функций от д и г, если на контуре заданы внешние силы или поставлены другие граничные условия. [c.144]

С 1820 по 1831 год в Петербургском институте путей сообщения работали выдающиеся французские инженеры Лямэ (1795—1870) и Клапейрон (1799—1864). В их обязанности входило не только преподавание, но и участие в проектировании ответственных сооружений, в числе которых были висячие мосты и Исаакиевский собор в Петербурге. В связи со строительством этого собора они исследовали устойчивость арок и купола. В своей книге, посвященной внутреннему равновесию твердых тел, Лямэ и Клапейрон продолжили исследования напряженного состояния в точке и применили их к решению ряда практических задач, вывели формулы для напряжений в цилиндре и сферической оболочке, находящихся под действием внутреннего или внешнего давления, и дали решения других задач. В дальнейшем Лямэ рассчитал толстостенные трубы. В 1849 году Клапейрон выдвинул идею расчета многопролетных неразрезных балок с помощью уравнений, преобразованных впоследствии в уравнение трех моментов, получившее название уравнения Клапейрона. В 1852 году была издана первая книга по теории упругости, написанная Лямэ. [c.561]

Рассмотрим основные уравнения теории напряжений. В теории пластичности, так же как и в теориц упругости, напряженное состояние в каждой точке тела, находящегося под действием объемных сил X, У, Z я поверхностных сил Х , У,, определяются шестью составляющими напряжений а , Оу, а , х у, Ху , х . Эти шесть величин связаны тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), а на поверхности тела должны выполняться три условия (4.2). [c.260]

Это одно из возможных напряженных состояний в двух измерениях, возникающих под действием силы тяжести. Это >ite состояние получается при действии гидростатического давления pgy, причем напряжения обращаются в нуль при y Q. Оно может возникнуть в пластинке или цилиндре произвольной формы при соответствующих граничных условиях для напряжений. Если обратиться к элементу, показанному на рис. 12, то уравнение (13) показывает, что на гранйце должно действовать нормальное давление pgy, а касательное напряжение должно быть пулевым. Если внешние силы действуют на пластинку каким-то иным образом, то мы должны наложить нормальное растяжение на границе pgy и новые внешние силы. Обе системы находятся в равновесии, и определение их влияния сводится к решению задачи для 0Д1Л1Х только усилий на поверхности без объемных сил ). [c.51]

Так как материал обладает идеальной пластичностью, то интенсивность напряженного состояния а,- постоянна и равна tr-r. Но в данном случае <тг — а, (Тх = <гу = —р, Тху = Тух — Тгх = 0. Поэтому, соглгхно выраженикэ (11.25), получаем (т + р = <Гт, а так как D = D 2аг, то уравнение равновесия примет вид [c.470]

Точечный дефект в такой среде будем рассматривать как некоторый точечный источник деформаций и напряжений в упругом теле. Как следует из теории упругости, в отсутствие объемных сил вектор упругого смещенпя U точек среды в равновесном состоянии долзкен удовлетворять уравнению равновесия ) [c.70]

Пусть действительные напряженные состояния в различных точках тела характеризуются компонентами сУу, а близкие напряженные состояния характеризуются компонентами а у + 5 ijJ, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям на поверхности. Поскольку сУу и внешние силы Х, и Xvi также удовлетворяют указанным условиям, то вариации напряжений 5а и вариации внешних сил БХ и БХ образуют уравновешенную систему. Принимая за возможные перемещения действительные, имеем в соответствии с принципом возможных перемещений равенство [c.96]

Допущение о сплошности, приписывающее твердому телу способность заполнять объем без всяких пустот, позволяет ввести понятие напряженно-деформированного состояния в точке тела и записать условия равновесия элемента тела в виде дифференциальных уравнений. Кроме того, это допущение дает возможность считать перемещения точек тела при деформации непрерывными и диффренцируе-мыми функциями координат и выразить компоненты деформаций через производные этих функций. [c.6]

Решим теперь эту задачу по теории эффективного модуля. Будем считать, что б настолько мало по сравнению с J o, что любую точку наружного слоя можно характеризовать (величиной R — максимальный радиус намотанного слоя.. Эта величина в процессе намотки описывает все (Новые материальные точки, и ее можно считать параметром, характеризующим процесс намотки. Текущий радиус трубы обозначим через г. Штрихом будем обозначать производную по координате г. Считаем, что в теле осуществляется осесимметричное напряженно-деформированноа состояние, так что уравнение равновесия будет всего одно относительно радиальной составляющей v вектора перемещений. [c.182]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

Если к этим равенствам добавить еще условия равновесия любой мысленно выделенной частицы тела, а также условия отсутствия внешних сил на его свободной поверхности, то мы получим возможность определить все компоненты напряженного состояния в любой интересующей нас точке. Вместе с тем в вопрос о полноте решения задач при принятии гипотезы идеально пластического состояния данного тела необходимо здесь же внести определенную ясность. Не надо забывать о том, что даже при очевидной приемлемости гипотезы идеальной пластичности точное решение задачи определения напряженно-деформированного состояния пластически формоизменяемого тела должно обращать в тождество уравнения равновесия (4-3), равенство (3-37), (т. е. условие несжимаемости), а также равенства (5-18) и (5-19), устанавливающие связь напряжений со скоростями деформации. [c.137]

Повторное пластическое течение при разгрузке. Полученное решение задачи о разгрузочном состоянии нельзя считать окончательным. Связано это с тем, что при значительном уровне накопленных материалом необратимых деформаций (Ло > г Го) напряженное состояние в процессе разгрузки может снова достигать поверхности нагружения. В рассматриваемом случае это связано с выполнение равенства (Тдд — = 2к при г = Го- Если данное условие может выполняться, то полученное решение задачи о полной разгрузке оказывается несправедливым, поскольку, начиная с момента выполняемости отмеченного условия, при дальнейшем уменьшении внешнего давления от границы цилиндрической полости распространяется зона повторного пластического течения, вызванного теперь уже растягивающими напряжениями. Теперь следует интегрировать уравнение равновесия (квазистатическое приближение) в трех областях в зоне повторного пластического течения г о г < Г2, в зоне с накопленными и изменяющимися пластическими деформациями Г2 г < Г1 и в упругой области Г1 г Яо- При этом перемещения в упругой области вычисляются зависимостью (1-21), в области с изменяющимися необратимы- [c.82]

Под плоской задачей теории упругости понимают плоскую деформацию упругой среды, параллельную заданной плоскости (деформация длинного цилиндра со свободными основаниями), либо плоское ее напряженное состояние (деформация тонкой пластинки силами, лежащими в ее плоскости). Определение упругого равновесия в этих случаях сводится к решению краевых задач для бигармонического уравнения. К бигармоничес-скому же уравнению сводятся задачи равновесия упругих пластинок, подверженных нормальной нагрузке. Плоские задачи и задачи об изгибе пластинок в математической их формулировке весьма сходны между собой, сходны и методы их решений. Поэтому целесообразно совместное рассмотрение этих двух типов задач. [c.40]

Мы показали, что в ограниченном цилиндрической поверхностью теле, при наличии виешних сил только на концах балки, когда компоненты напряжения будут линейными функциями от г, наиболее общее напряженное состояние обладает свой ствами 1) Х , и не зависят от г и 2) Х , У X равны нулю. Единственный, зависящий от г компонент напряжения будет он будет линейной функцией г. Если, обратно, массовых снл нет я Х , Уу, Ху равны нулю, то уравнения равновесия получат вид [c.371]

Предположим, так же, как и в предыдущем параграфе, что тело, находящееся в равновесии, занимает объем V, ограниченный поверх-ностью 5. Допустим, что на части поверхности заданы поверхностные силы X,, а на части поверхности — перемещения ы,. Сопоставим действительные напряженные состояния в различных точках тела, характеризуемые компонентами напряжений Оц, со всеми близкими напряженными состояниями, характеризуемыми компо-. пентами напряжений a + 6а,/, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности. Используя сокращенные тензорные записи последних (1.4) и (1.2), имеем для статически возможного напряженного состояния [c.141]

Теория напряжений ставит перед собой задачу определения внутренних сил в твердом теле. Эти силы выражают взаимодействие между собой молекул. Меру внутренних сил называют напряжением. При действии внешних сил тело деформируется и изменяется взаимное расстояние между его точками вследствие этого возникают дополнительные внутренние силы. Для их обнаружения в теории напряжений используются метод сечений и аксиома связей, известная читателям из курса теоретической механики. Напряжения изменяются при переходе от одной частицы к другой и потому напряженное состояние тела является в общем случае неоднородным, образуя поле напряжений. Вследствие этого уравнения равновесия в МДТТ составляются для произвольной бесконечно малой час- [c.41]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

Эти соотношения необходимы и с математической точки зрения. Действительно, деформированное состояние тела описывается тремя непрерывными функциями Uj Xh), через которые на основании зависимостей Коши (1.40) определяются компоненты тензора деформации, а напряженное состояние тела определяется шестью независимыми компонентами ои тензора напряжений. Однако для определения этих девяти функций щ Xk) и ffjj (Xk)) в зависимости от внешнего воздействия на тело пока что имеем лишь систему трех дифференциальных уравнений равновесия (2.26), решение которых должно удовлетворять граничным условиям, например (2.28). Такая система уравнений называется ле-замкнутой, так как не позволяет найти функции u хи) и Oij (л й,), каковы бы ни были для них граничные условия. Это вполне понятно, го-скольку не учтены физические свойства рассматриваемой сплошной среды. [c.49]

Полным решением задачи теории идеальной пластичности называется такое решение, которое удовлетворяет уравнениям равновесия, условию пластичности в пластических областях, где напряжения и скорости деформирования связаны ассоциированным законом, и граничным условием, статическим и кинематическим. При этом должно выполняться еще одно условие, относящееся к возможному распределению напряжений в жестких зонах. По доказанному в жесткой зоне может существовать любое напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия, граничным условиям и условиям сопряжения с пластическими законами. Необходимо, чтобы напряженное состояние, возможное в жесткой зоне, удовлетворяло условию /"(ооО О, т, е. было допустимым для жесткопластического тела. При этом достаточно, чтобы можно было найти хотя бы одно точное раснределение напряжений. В отношении распределения скоростей и конфигурации жестких зон полное решение не единственно, однако из теоремы о единственности распределения напряжений следует единственность предельной нагрузки, переводящей тело в пластическое состояние, если условие пластичности строго выпукло. Если поверхность текучести только не вогнута, то предельная нагрузка определяется неединственным образом как правило, природа этой неединственности находит простое объяснение. [c.490]

Если тело подверг тС тивной деформации поверхностными нагрузками X, У, Z, то для опре т еления напряженно-деформированного состояния тела необходимо отыскать такие функции перемещений и(х, г/, в), и(х, у, в), и (х, у, в), которые бы при заданной диаграмме щ(б() материала удовлетворяли уравнениям равновесия (10.40) и условиям на поверхности (10.41). [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...